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5.1 任意角和弧度制
【学习要求】
1、了解任意角的概念，理解象限角的概念.掌握终边相同的角的含义及其表示．
2、理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
3、体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
4、掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
【思维导图】
【知识梳理】
1．任意角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示 如图所示：①始边：射线的起始位置OA．②终边：射线的终止位置OB．
③顶点：射线的端点O．④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
(3)正角、负角、零角
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角
这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角．
【注】(1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．
(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：
①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．
②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．
2．象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与坐标轴重合．如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．
【注】要正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}所表示的角．这四个概念不能混淆．
3．终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
【注】理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：
(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；
(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．
4．弧度制
(1)定义：以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制．
(2)度量方法：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．
【注】一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)记法：弧度单位用符号 rad 表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．
5．弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝ ．
【注】对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)．
6．弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad，即
根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．
弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n·rad．
(2)常用特殊角的弧度数
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0 π 2π
【注】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
7．弧长公式与扇形面积公式
(1)弧长公式：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式：由圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
名称 角度制 弧度制
弧长公式 l＝ l＝|α|r
扇形面积公式 S＝ S＝r2＝lr
其中： r是扇形的半径，n是圆心角的角度数，α是圆心角的弧度数，l是弧长， S是扇形的面积。
【注】弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆．
【高频考点】
高频考点1. 任意角
【方法点拨】理解角的定义、正负角等相关概念。
【例1】（1）（2021·上海市建青实验学校高一期中）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ）
A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角一定是钝角
C．始边相同且相等的角的终边一定重合 D．始边相同且终边重合的角一定相等
（2）（2021·山东高一月考）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（ ）
A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处
【答案】（1）C（2）B
【解析】（1）对于选项A：小于的角不一定是锐角，如负角和零角均小于，但不是锐角，故A错误；对于选项B：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如是第二象限角但不是钝角，故B错误；对于选项C：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确；
对于选项D：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差的整数倍，故D错误.故选：C.
（2）一个周期是60分钟,则100分钟是一个周期,故100分钟后分针指在10点处.故选：B
【变式1-1】（2021·安徽蚌埠二中高一期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等
C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角
【答案】A
【解析】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确；
对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；
对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；
对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.
故选：A.
【变式1-2】（2021·全国高一专题练习）如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】C
【解析】解：一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为，丑时与午时相差个时辰，故丑时与午时的夹角为故选：C
【变式1-3】（2021·咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将钟表的分针拨快5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为，故选：C
【变式1-4】（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；
对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角. 故②错误；
对于③：显然是第一象限角. 故③错误；
对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是. 故④错误；
对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；
对于⑥：因为，所以，是第四象限角. 故⑥正确.
综上，①⑥正确.故选：B.
高频考点2 . 角度制与弧度制的互化
【方法点拨】角度制与弧度制互化的关键与方法：
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×()°＝度数；
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度；
(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数．
【注意】弧度与角度的概念的区别与联系
区别 (1)定义不同．(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位．
联系 (1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.
【例2】（2021·全国高一课时练习）把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到0.01°）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）；（2）；
（3）；（4）．
【变式2-1】（2021·江苏高一专题练习）下列转化结果错误的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】C
【解析】对于A，，正确;对于B，，正确;
对于C，，错误;对于D，，正确.故选:C.
【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）将下列各角度化成弧度.
_______________； _______________；
_______________； _______________.
【答案】
【解析】，，， 故答案为：；；；
【变式2-3】（2021·全国高一专题练习）将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
（1），（2），（3），（4），（5），（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【解析】（1）弧度弧度，（2）弧度弧度，
（3）弧度弧度．（4）弧度，
（5）弧度，（6）弧度．
【变式2-4】（2021·上海高一课时练习）将下列各弧度化成角度.
_______________； _______________；
_______________； _______________.
【答案】-15° 135° 210° -171°54′
【解析】；；
；，
故答案为：-15°；135°；210°；-171°54′.
高频考点3 . 终边相同的角
【方法点拨】1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
【例3】（1）（2021·陕西省洛南中学高一月考）与角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·横峰中学高一月考（理））下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）B
【解析】，所以与角终边相同的角的集合是.
故选：B.
（2）与终边相同的角的集合为：，
当时，得.故选：B
（3）因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
【变式3-1】（2021·全国高一课时练习）终边落在轴上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A表示的角的终边在x轴非负半轴上；B表示的角的终边x轴上；
C表示的角的终边在y轴上；D表示的角的终边在y轴非负半轴上.故选：C
【变式3-2】（2021·全国高一课前预习）下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ）
A．-56°与664° B．800°与-1360°
C．150°与630° D．-150°与930°
【答案】C
【解析】因终边相同的两个角总是相差的整数倍，
对于A，，即角-56°与664°终边相同，A不正确；
对于B，，即角800°与-1360°终边相同，B不正确；
对于C，，即角150°与630°终边不相同，C正确；
对于D，，即角-150°与930°终边相同，D不正确，
所以角150°与630°终边不相同.故选：C
【变式3-3】（2021·全国高一课时练习）把下列各角化为的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）第二象限角，终边相同的角的集合为；（2）第四象限角．终边相同的角的集合为；（3）第四象限角，终边相同的角的集合为．
【解析】（1），它是第二象限角，终边相同的角的集合为．
（2），它是第四象限角．终边相同的角的集合为．
（3），而．
所以是第四象限角，终边相同的角的集合为．
【变式3-4】（2021·上海高一课时练习）（1）若角的终边与角135°关于x轴对称，且，则__________；
（2）若锐角与它的9倍角的终边关于y轴对称，则__________；
（3）若角为正角，角为负角，且与的终边关于原点对称，则__________.
【答案】225°或-135° 18°或54° ，
【解析】（1）由题意得，因为，所以当时，；当时，，所以或；
（2）由题意得，且，所以当时，；当时，，所以或；
（3）因为与的终边关于原点对称，则与的终边在同一条直线上，又角为正角，角为负角，所以，
故答案为：或；或；.
高频考点4. 终边在某条直线上的角的集合与区域角的表示
【方法点拨】
1．求解终边在某条直线上的角的集合的思路
1）若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2）若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
2.区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
【例4】（2021·山东高一月考）终边在直线yx上的角的集合为 ．
【解析】解：∵直线yx的斜率为，则倾斜角为60°，
∴终边落在射线yx（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°+k 360°，k∈Z}，
终边落在射线yx（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°+k 360°，k∈Z}，
∴终边落在直线yx上的角的集合是：
S＝{α|α＝60°+k 360°，k∈Z}∪{α|α＝240°+k 360°，k∈Z}
＝{α|α＝60°+2k 180°，k∈Z}∪{α|α＝60°+（2k+1） 180°，k∈Z}
＝{α|α＝60°+n 180°，n∈Z}．
故答案为：{α|α＝60°+n 180°，n∈Z}．
【变式4-1】（2021·广东高一课时练习）如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
（1）终边落在射线OB上；（2）终边落在直线OA上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
【解析】解：由图形得，（1）终边落在射线OB上的角的集合为：{α|α＝60°+k 360°，k∈z}，
（2）终边落在直线OA上的角的集合为：{α|α＝30°+k 180°，k∈z}，
（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：
{α|30°+k 180°≤α≤60°+k 180°，k∈z}．
【变式4-2】（2021·重庆高一课时练习）如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
【解析】解：如图，终边落在阴影部分的角为：30°≤α＜105°或210°≤α＜285°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为：
{α|30°+k 360°≤α＜105°+k 360°或210°+k 360°≤α＜285°+k 360°，k∈Z}
＝{α|30°+k 180°≤α＜105°+k 180°，k∈Z}．
【变式4-3】（2021·湖南高一月考）终边落在y轴上的角的集合是 ．
【解析】解：当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ＝2kπ，k∈Z，
当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ＝2kπ，k∈Z，
故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ＝2kπ，或θ＝2kπ，k∈Z}
＝{θ|θ＝2kπ，或θ＝2kπ+π，k∈Z}＝{θ|θ＝nπ，n∈Z}．
故答案为 {θ|θ＝nπ，n∈Z}．
【变式4-4】（2021·浙江高一月考）若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为 ．
【解析】解：在（0，2π）内第二象限角平分线的度数为，
所以和终边相同的角的集合为，
故答案为：
高频考点5 . 分角、倍角所在角限的判断思路
【方法点拨】1．已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限时，可根据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．
2．已知角α终边所在的象限，确定终边所在象限时，运用分类讨论法时要对k的取值分k被n整除，k被n整除余1，k被n整除余2，……，k被n整除余n－1进行讨论，然后再下结论；运用几何法时，依据数形结合的思想，简单直观．
【例5】（2021·成都市·高一月考）已知α是第一象限角，那么是第 象限角．
【解析】解：∵α是第一象限角，
∴α的取值范围是（2kπ，2kπ） （k∈Z）
∴的取值范围是（kπ，kπ） （k∈Z）
分类讨论①当k＝2i+1 （其中i∈Z）时，的取值范围是（π+2iπ，2iπ）即属于第三象限角．
②当k＝2i（其中i∈Z）时，的取值范围是（2iπ，2iπ）即属于第一象限角．
故答案为：一或三．
【变式5-1】（2021·河南焦作·）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
令，，终边位于第二象限；令，，终边位于第三象限，
令，，终边位于第四象限，令，，终边位于第二象限
所以的终边不可能在第一象限，故选：A
【变式5-2】（2021·辽宁·高一月考）若角α是第四象限角，则是第 象限角．
【解析】解：∵α是第四象限角，∴α∈（2kπ，2kπ+2π），k∈Z．∴∈（kπ，kππ），k∈Z．
k＝0时是第二象限角，k＝1时，是第三象限角，k＝2时，是第四象限角．
∴是第二或第三或四象限角，故答案为：第二或第三或第四象限角．
【变式5-3】（2021·广东·高一月考）已知∠α是第二象限角，则∠2α是第 象限角．
【解析】解：∵∠α是第二象限角，∴2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z；
∴π+4kπ＜2α＜2π+4kπ，k∈Z；∴∠2α是第三、四象限角或y轴上的角；
故答案为：y轴上的角或三、四．
【变式5-4】若是第二象限角，那么和都不是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】设,此时,故为第一、三象限的角.
又,故为第四象限角.所以和都不是第二象限.故选B.
高频考点6 . 扇形的弧长与面积
【方法点拨】1. 弧长面积的计算问题：熟练掌握对应的计算公式即可。
2.弧长面积的最值问题：当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想。
【例6】（2021·咸阳百灵学校高一月考）已知扇形周长是60.
（1）当半径r=20，求扇形面积.（2）当半径为何值时，扇形有最大面积？
（3）并求出最大面积和此时扇形的圆心角.
【答案】（1）；（2）；（3），.
【解析】（1）设扇形所对应的圆心角为，由题意知，所以，因此扇形的面积为；
（2）设扇形所对应的圆心角为，半径为，由题意知，即，则因此扇形的面积为；根据二次函数的性质，当时，扇形的面积最大；
（3）由（2）知当时，扇形的面积最大，扇形的面积最大值为，此时；
【变式6-1】（2021·广东高一月考）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，
∴，即，得，
∴弧田面积，而，∴.
（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，
∴当且仅当时等号成立.
∴当时，该扇形面积最大
【变式6-2】（2021·全国）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
（1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
（2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）由题意得，解得(舍去)，.
故扇形圆心角为.
（2）由已知得，.
所以，所以当时，取得最大值25，此时，.
【变式6-3】（2021·重庆高一期末模拟）已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为R．
（1）若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【解析】解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，则：α＝90°，R＝10，l10＝5π（cm），
S弓＝S扇﹣S△5π×10102＝25π﹣50（cm2）．
（2）扇形周长C＝2R+l＝2R+αR，∴R，∴S扇α R2α（）2 ．
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值．
【变式6-4】（2021·辽宁高一课时练习）已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.
【答案】13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.
【解析】（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；
（2）扇形周长，，
．
当且仅当，即时，扇形面积有最大值．
（3）扇形的面积，所以
所以当且仅当即时周长取得最小值
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·河北张家口·高一期末）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为.故选：A.
2．（2021·重庆高一课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
【答案】D
【解析】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确；1rad的角是，故C正确；无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误.故选：D
3．（2021·蚌埠田家炳中学高一月考）下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】D
【解析】由得，对于A选项：化成弧度是，故A不正确；
对于B选项：化成角度是，故B不正确；
对于C选项：化成弧度是，故C错误；
对于D选项：化成角度是，故D正确，故选：D.
4．（2021·全国高一课时练习）角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以角与角是终边相同的角，
又，所以角的终边在第四象限.故选：D
5．（2021·全国）是一个任意角，则的终边与的终边（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称
【答案】C
【解析】因为的终边与的终边相同，而的终边与的终边关于轴对称，
所以的终边与的终边关于轴对称.故选：C.
6.（2021.广东高一月考）已知是第一象限角，那么是（）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【答案】D
【解析】依题意得，则，
当 时，是第一象限角；当 时，是第三象限角
7．（2021·浙江省桐庐中学）若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设该扇形半径为，又∵圆心角，弧长，
∴扇形弧长公式可得，，解得，.故选：B.
8．（2021·上海宝山·）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，则，，则，
所以扇面的面积.故选：.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在平面直角坐标系中，集合中的元素所表示角的终边不会出现在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】AD
【分析】利用终边相同的角的集合，即可求解.
【详解】当时，，此时角的终边在轴正半轴，
当时，，此时角的终边在第二象限，
当时，，此时角的终边在第三象限，
所以终边不会出现在第一、四象限，故选：AD.
10．下列说法错误的是（ ）
A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同角
C．钝角一定是第二象限角 D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为
【答案】AB
【分析】取特殊值可判断A，利用终边相同的角的关系可判断B,根据钝角概念可判断C,根据旋转角概念可判断D.
【详解】A中，第二象限角比第一象限角大不正确，如是第二象限角，是第一象限角；
B中，因为,所以角与角终边不同，故错误；
C中，因为钝角的范围为，所以钝角是第二象限角，故正确；
D中，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为正确.故选：AB
11．关于角度，下列说法正确的是（ ）
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是 B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
【答案】BD
【分析】利用角的知识逐一判断即可.
【详解】对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为，是终边在轴正半轴上的角，故错误；
对于D，角的终边在第二象限，，，，
当为偶数时，，，得是第一象限角；
当为奇数时，，，得是第三象限角，故正确．故选：BD
12．若角满足，则的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴非负半轴上 D．y轴非正半轴上
【答案】ABD
【分析】对整数赋值计算，即可判断AB选项的正确性，而对于CD选项，可以先假设的终边满足条件，求出，并判断是否为整数即可.
【详解】当时，，此时的终边在第一象限，故A正确；
当时，，此时的终边在第二象限，故B正确；
若的终边在x轴非负半轴上，则，即，故C错；
若的终边在y轴非正半轴上，则，即，故D正确.故选：ABD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·江西省靖安中学高一月考）-1104°是第________象限角.
【答案】四.
【解析】，
又是第四象限角，所以也是第四象限角．故答案为：四．
14．与角终边重合的角中，最小的正角是_________，最大的负角是____________．
【答案】
【分析】求出与角终边重合的角为，，时，取最小的正角；当时，取最大的负角；代入求得结果.
【详解】由题知，与角终边重合的角为，，
则取最小的正角时，时，此时角为；当时，取最大的负角为；
故答案为：；
15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦的长是，则弧田的弧长为________；弧田的面积是________.
【答案】
【分析】在等腰三角形中求得，由扇形弧长公式可得弧长，求出扇形面积减去三角形面积可得弧田面积．
【详解】∵弧田所在圆的半径为6，弦的长是，∴弧田所在圆的圆心角，
∴弧田的弧长为；扇形的面积为，三角形的面积为，∴弧田的面积为.故答案为：；．
16．若一个扇形的周长是为定值，则当该扇形面积最大时，其中心角的弧度数是_________．
【答案】.
【分析】设扇形的周长是为定值，扇形所在圆的半径为，中心角的弧度数为，得到，化简扇形的面积为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设一个扇形的周长是为定值，扇形所在圆的半径为，中心角的弧度数为，
可得，则，所以扇形的面积为，
当且仅当时，即时，等号成立，此时，
即该扇形面积最大时，其中心角的弧度数是.故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高一课时练习）将下列角度与弧度进行互化.
（1）20°；（2）－15°；（3）（4）－.
【答案】（1）20°＝；（2）－15°＝－；（3）＝105°；（4）－＝－396°.
【解析】（1）20°＝＝.（2）－15°＝－＝－.
（3）＝×180°＝105°.(4)－＝－×180°＝－396°.
18．（2021·全国高一课时练习）已知角α＝2100°.
（1）将改写成的形式，并指出是第几象限的角；
（2）在区间上找出与终边相同的角．
【答案】（1），为第四象限角；（2）与终边相同的角．
【解析】（1），是第四象限角，因此是第四象限角；
（2）与终边相同的角可表示为，
在区间上，则，依次可求得＝．
19．已知在半径为的圆中，弦的长为.（1）求弦所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，
所以.
（2）因为，所以.，
又，
所以.
20．已知集合，，.
（1）若，且角与的终边垂直，求；（2）求.
【答案】（1）或或或0或；（2）.
【分析】（1）由与终边垂直求，再根据求出具体的,即可；
（2）分别取值化简，再由交集运算得答案．
【详解】解：（1）由与终边垂直，可得，或，
即，或，．
①由，得，，或．
②由，得，，或0．
所有的为：或或或0或；
（2），，当时，，
当时，，当时，，
又．,,,．
21．（2021·上海高一期末）高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为，所在圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，.
（1）求绿化区域面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）所在圆的半径为取何值时，才能使绿化区域的面积最大，并求出此最大值.
【答案】（1），（2）当时，最大为
【解析】（1）当半径为,所以弧长为所以
由弧度定义可知,而所以,解得
综上可知,
（2）因为
由二次函数的性质可知,当时,最大为
22．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）.已知，线段、与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度.
（1）求关于的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值.
【答案】（1）；（2）当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.
【解析】(1)根据题意，可算得()， ().
又，于是，，所以
(2) 依据题意，可知
化简，得 .
于是，当(满足条件)时，().
答 所以当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.
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5.1 任意角和弧度制
【学习要求】
1、了解任意角的概念，理解象限角的概念.掌握终边相同的角的含义及其表示．
2、理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
3、体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
4、掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
【思维导图】
【知识梳理】
1．任意角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示 如图所示：①始边：射线的起始位置OA．②终边：射线的终止位置OB．
③顶点：射线的端点O．④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
(3)正角、负角、零角
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角
这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角．
【注】(1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．
(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：
①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．
②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．
2．象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与坐标轴重合．如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．
【注】要正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}所表示的角．这四个概念不能混淆．
3．终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
【注】理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：
(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；
(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．
4．弧度制
(1)定义：以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制．
(2)度量方法：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图所示，圆O的半径为r，的长等于r，∠AOB就是1弧度的角．
【注】一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)记法：弧度单位用符号 rad 表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．
5．弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝ ．
【注】对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)．
6．弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad，即
根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．
弧度与角度的换算公式如下：
若一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝()°，n°＝n· rad．
(2)常用特殊角的弧度数
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0 π 2π
【注】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
7．弧长公式与扇形面积公式
(1)弧长公式：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
(2)扇形面积公式：由圆心角为1 rad的扇形面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为 rad，故其面积为S＝×＝lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝lr＝|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示
名称 角度制 弧度制
弧长公式 l＝ l＝|α|r
扇形面积公式 S＝ S＝r2＝lr
其中： r是扇形的半径，n是圆心角的角度数，α是圆心角的弧度数，l是弧长， S是扇形的面积。
【注】弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆．
【高频考点】
高频考点1. 任意角
【方法点拨】理解角的定义、正负角等相关概念。
【例1】（1）（2021·上海市建青实验学校高一期中）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ）
A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角一定是钝角
C．始边相同且相等的角的终边一定重合 D．始边相同且终边重合的角一定相等
（2）（2021·山东高一月考）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（ ）
A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处
【变式1-1】（2021·安徽蚌埠二中高一期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等
C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角
【变式1-2】（2021·全国高一专题练习）如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.则丑时与午时的夹角是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【变式1-3】（2021·咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
高频考点2 . 角度制与弧度制的互化
【方法点拨】角度制与弧度制互化的关键与方法：
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
(2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×()°＝度数；
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度；
(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数．
【注意】弧度与角度的概念的区别与联系
区别 (1)定义不同．(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位．
联系 (1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.
【例2】（2021·全国高一课时练习）把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到0.01°）：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【变式2-1】（2021·江苏高一专题练习）下列转化结果错误的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）将下列各角度化成弧度.
_______________； _______________；
_______________； _______________.
【变式2-3】（2021·全国高一专题练习）将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
（1），（2），（3），（4），（5），（6）．
【变式2-4】（2021·上海高一课时练习）将下列各弧度化成角度.
_______________； _______________；
_______________； _______________.
高频考点3 . 终边相同的角
【方法点拨】1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
【例3】（1）（2021·陕西省洛南中学高一月考）与角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·横峰中学高一月考（理））下列各角中，与终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021·全国高一课时练习）终边落在轴上的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2021·全国高一课前预习）下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ）
A．-56°与664° B．800°与-1360°
C．150°与630° D．-150°与930°
【变式3-3】（2021·全国高一课时练习）把下列各角化为的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．
（1）；（2）；（3）．
【变式3-4】（2021·上海高一课时练习）（1）若角的终边与角135°关于x轴对称，且，则__________；
（2）若锐角与它的9倍角的终边关于y轴对称，则__________；
（3）若角为正角，角为负角，且与的终边关于原点对称，则__________.
高频考点4. 终边在某条直线上的角的集合与区域角的表示
【方法点拨】
1．求解终边在某条直线上的角的集合的思路
1）若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2）若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
2.区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
【例4】（2021·山东高一月考）终边在直线yx上的角的集合为 ．
【变式4-1】（2021·广东高一课时练习）如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
（1）终边落在射线OB上；（2）终边落在直线OA上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
【变式4-2】（2021·重庆高一课时练习）如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
【变式4-3】（2021·湖南高一月考）终边落在y轴上的角的集合是 ．
【变式4-4】（2021·浙江高一月考）若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为 ．
高频考点5 . 分角、倍角所在角限的判断思路
【方法点拨】1．已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限时，可根据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．
2．已知角α终边所在的象限，确定终边所在象限时，运用分类讨论法时要对k的取值分k被n整除，k被n整除余1，k被n整除余2，……，k被n整除余n－1进行讨论，然后再下结论；运用几何法时，依据数形结合的思想，简单直观．
【例5】（2021·成都市·高一月考）已知α是第一象限角，那么是第 象限角．
【变式5-1】（2021·河南焦作·）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式5-2】（2021·辽宁·高一月考）若角α是第四象限角，则是第 象限角．
【变式5-3】（2021·广东·高一月考）已知∠α是第二象限角，则∠2α是第 象限角．
【变式5-4】若是第二象限角，那么和都不是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
高频考点6 . 扇形的弧长与面积
【方法点拨】1. 弧长面积的计算问题：熟练掌握对应的计算公式即可。
2.弧长面积的最值问题：当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想。
【例6】（2021·咸阳百灵学校高一月考）已知扇形周长是60.
（1）当半径r=20，求扇形面积.（2）当半径为何值时，扇形有最大面积？
（3）并求出最大面积和此时扇形的圆心角.
【变式6-1】（2021·广东高一月考）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
【变式6-2】（2021·全国）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
（1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
（2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【变式6-3】（2021·重庆高一期末模拟）已知一扇形的圆心角为α（α＞0），所在圆的半径为R．
（1）若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【变式6-4】（2021·辽宁高一课时练习）已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·河北张家口·高一期末）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·重庆高一课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的的角是周角的
C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
3．（2021·蚌埠田家炳中学高一月考）下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
4．（2021·全国高一课时练习）角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2021·全国）是一个任意角，则的终边与的终边（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称
6.（2021.广东高一月考）已知是第一象限角，那么是（）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
7．（2021·浙江省桐庐中学）若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021·上海宝山·）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在平面直角坐标系中，集合中的元素所表示角的终边不会出现在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．下列说法错误的是（ ）
A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同角
C．钝角一定是第二象限角 D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为
11．关于角度，下列说法正确的是（ ）
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是 B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
12．若角满足，则的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴非负半轴上 D．y轴非正半轴上
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·江西省靖安中学高一月考）-1104°是第________象限角.
14．与角终边重合的角中，最小的正角是_________，最大的负角是____________．
15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦的长是，则弧田的弧长为________；弧田的面积是________.
16．若一个扇形的周长是为定值，则当该扇形面积最大时，其中心角的弧度数是_________．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高一课时练习）将下列角度与弧度进行互化.
（1）20°；（2）－15°；（3）（4）－.
18．（2021·全国高一课时练习）已知角α＝2100°.
（1）将改写成的形式，并指出是第几象限的角；
（2）在区间上找出与终边相同的角．
19．已知在半径为的圆中，弦的长为.（1）求弦所对的圆心角的大小；
（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.
20．已知集合，，.
（1）若，且角与的终边垂直，求；（2）求.
21．（2021·上海高一期末）高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为，所在圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，.
（1）求绿化区域面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）所在圆的半径为取何值时，才能使绿化区域的面积最大，并求出此最大值.
22．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）.已知，线段、与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为弧度.
（1）求关于的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值.
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