切线的概念、切线的判定和性质
【教学目标】
一、知识目标
1.探索切线与过切点半径之间的关系；
2.掌握切线的性质和判定定理；
3.能判断一条直线是否为圆的切线。
二、过程目标
1.在操作过程中体会到判定切线的两个重要点；
2.运用两个定理进行恰当的逻辑推理，解决相关的数学问题；
三、情感、态度目标
1.说出切线在解决直线与圆的相关问题的作用，克服学习畏难情绪；
2.体会学习的乐趣，逐渐树立获取解题思路和方法的类比与归纳意识。
【教学重点】
1.切线的性质和判定的应用。
【教学难点】
1.判定切线的证明方法。
【教学过程】
一、回顾
设计意图：让学生回忆直线与圆的几种位置关系，使学生的知识在最近发展区，并由此引出课题，时间约2分钟。
（1）通过回顾，思考：如何判定直线与圆相切？
答：1、根据直线与圆的公共点的个数；（定义法）
2、根据直线到圆心的距离与半径的大小关系；（数量法）
设计意图：加深学生对相切的判定方法，为下面的学习作好铺垫。
（2）操作题：已知⊙O如图所示，完成下列任务并回答问题。
1.在⊙O上取一点为A，连结OA；
2.作直线垂足于A。
回答下列问题：
1.圆心O到直线的距离是多少？
答：即OA的长度；
2.直线和⊙O有什么位置关系？
答：相切。因为圆心到直线的距离等于半径。
设计意图：通过动手操作和思考，使得学生对于判定定理的两个要素有更深的体会，并能从中总结出定理。
二、归纳总结
（1）操作题从一个新的角度来判断一条直线与圆相切的位置关系，即从圆的半径和直线的某种位置关系来推导直线与圆是否相切，同学们试着总结这条半径和直线满足什么样的位置关系？试着用一句话总结。
答：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。必须同时满足两个要素：一、过半径的外端；二、与半径垂直。
设计意图：锻炼学生的总结和观察能力。
（2）判定直线与圆相切你学习了哪几种方法？
答：1、根据直线与圆的公共点的个数；（定义法）
2、根据直线到圆心的距离与半径的大小关系；（数量法）
3、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（定理法）
设计意图：使得学生对相切的判定更加清晰。
（3）将操作题的问题反过来思考，即如果直线是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线垂直吗？并说明理由。
答：相切。
理由：假设直线l与OA不垂直，过圆心O作OB⊥l，垂足为B，由于直线l与与⊙O相切，因此OB就是与⊙O的半径，点B在与⊙O上，这样直线l与⊙O相切有A、B两个公共点，这与“直线l与⊙O相切只有一个公共点”相矛盾。因此l⊥OA.
此题也充分说明：圆的切线垂直于过切点的半径。（切线的性质定理）
设计意图：引出切线的性质定理。
三、定理应用
例1 如图1，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证直线AB是⊙O的切线。（连半径，证垂直）
证明：连结OC.
∵ OA=OB
∴ △OAB是等腰三角形
∵ CA=CB
∴ OC是底边AB上的中线.
∴ OC⊥AB
∴ AB是⊙O的切线
例2如图2，在△ABC中，CA=CB，AB的中点为点D，当⊙D恰与CA相切于E点。
求证：BC也是⊙D的切线。（作垂直，证半径）
证明：连接DE，作DF⊥BC.
∵ CA是⊙D的切线.
∴ CA⊥DE，∴∠AED=900
∵ DF⊥BC, ∴∠BFD=900
∵ CA=CB，∴∠A=∠B
∵ D是AB的中点，∴AD=BD
∴ △AED≌△BFD
∴ DF=DE
∵ DE是⊙D半径 ∴DF是⊙D半径
∴ BC是⊙O的切线
四、课堂作业
P101页第3小题、第4小题
五、板书设计
一、回顾 （1）表格 （2）操作题 二、归纳总结 （1）切线的判定定理 （2）切线的性质定理 三、定理应用 例1 例2
六、教学反思切线长定理、三角形的内切圆、内心
教学目标
情感态度与价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。
知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理。
过程与方法：通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想。
教学重点: 切线长定理是教学重点
教学难点:切线长定理的灵活运用是教学难点
教学过程
温故知新：
如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
这样的切线能画出几条？
如果∠P=50°,求∠AOB的度数？
（二）观察、猜想、证明，形成定理
1、提出问题：
过平面内的一点作圆的切线，可以作出几条切线？（注意分类讨论）
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
2.切线长的概念
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
3、观察
变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系。
4、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB (PA＝PB)。
5、证明猜想，形成定理。
猜想是否正确。需要证明。
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)等。
选一名学生板演证明过程
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
6、切线长定理的基本图形研究
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C。
(1）写出图中所有的垂直关系。
（2）图中有哪些线段相等(除半径外)、弧相等？
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础。
7. 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。
应用、归纳、反思
【例1】 已知： △ABC的内切圆⊙O与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝13厘米,求AF、BD、CE的长。
分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米．后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果。
【例2】如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P。
求证： AD+BC=AB+CD
证明：由切线长定理得
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等。
跟踪练习
1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长。
2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F.求AE、CD、BF的长。
随堂练习
1．如图，PA、PB是⊙ O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（ ）
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
3.已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长。
（四）小结
1.提出问题学生归纳
（1）这节课学习的具体内容；
（2）学习用的数学思想方法；
（3）应注意哪些概念之间的区别
2．通过本课时的学习，需要我们掌握切线的6个性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）切线长定理。
（五）作业
教材P102页11,12题
教学反思：
在本节课教学中，对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长的基本图形研究环节，学生能充分利用已有的知识和新课内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密结合，体现了本节课知识点的工具性。直线和圆的位置关系及其判定
一、教学目标：
1.知识与技能：
经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、 转化、数形结合等数学思想，学会科学地思考问题。
2．过程与方法：
理解直线和圆的三种位置关系—相交、相离、相切。
3．情感、态度与价值观：
会正确判断直线和圆的位置关系。
二、教学重难点：
重点：理解直线和圆的三种位置关系。
难点：会正确判断直线和圆的位置关系。
三、教学过程设计：
（一）、创设情境引入新课：
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝的著名诗句，它描述了黄昏落日时分，塞外沙漠寂寞的景象，你欣赏过日出或落日的美景吗？如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，你能根据直线与圆公共点的个数来思考直线与圆有哪几种位置关系吗？本节我们研究直线与圆有哪几种位置关系。（展示多媒体
课件，让学生观察太阳升起的过程）
（设计意图：由著名的诗句和熟悉的落日引入课题，既能激发学生的兴趣，也感受到教学知识渗透到生活的各个领域。）
（二）、新知探究：
1.动手做一做：
请同学们在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作图，在纸上移动硬币。你能发现直线与圆的公共点个数的变化吗？公共点个数量少时有几个？最多时有几个？然后让一位学生上讲台，用一个圆圈和一根胶棒来演示直线和圆的位置关系。
（设计意图：通过一个非常容易操作的实验，让学生从运动变化的观点直观感知直线与圆的位置关系。）
讨论结果：从以上例子可以看到，直线与圆有三种位置关系，是用直线与圆的公共点的个数来定义的。这也是判断直线与圆的位置关系的重要方法。直线和圆的位置关系1（图形特征——用公共点的个数来区分）：直线和圆有两个公共点时，该直线和圆相交，该直线叫圆的割线；直线和圆有唯一的公共点时，该直线和圆相切，该直线叫圆的切线；直线和圆有没有公共点时，该直线和圆相离。
2. 动手做一做：
除了用公共点的个数来区分直线与圆的位置关系外,能否像点和圆的位置关系一样用数量关系的方法来判断直线与圆的位置关系呢？
学生活动：给学生充分的探究时间，可以量一量，也可综合定义及点与圆的位置关系的判别方法来分析。
教师活动：用几何画板动态演示直线与圆的位置关系，让学生更直观感受判断方法。
讨论结果：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线和圆的位置关系2（数量特征——用d和r的大小来区分）：当d＜r时，直线和圆相交，该直线和圆有两个公共点；当d＝r时，直线和圆相切，该直线和圆有唯一公共点；；当d＞r时，直线和圆相离。
所以，直线与圆的位置关系，可利用直线与圆公共点的个数或者圆心到直线的距离d与半径r的数量关系加以判断，反过来。在三种位置关系下，圆心到直线的距离d与半径r也有相应的数量关系，二者是等价的。
四、应用新知解决问题：
课堂练习1：快速判断下列各图中直线与圆的位置关系。
课堂练习2： 圆的半径r是6.5cm，如果直线与圆心的距离d分别是
（1）4.5cm ；（2） 6.5cm ；（3）8cm，那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
（设计意图：直接检测学生通过对直线与圆位置关系的判定方法的理解，根据直线与圆的位置关系，进而判断点与圆的位置关系 。）
解：（1） ∵ d=4.5cm， r = 6.5cm d＜ r ∴ 直线与圆相交，有两个公共点；
（2）∵ d=6.5cm， r = 6.5cm d＝r ∴ 直线与圆相切，有一个公共点；
（3） ∵ d=8cm， r = 6.5cm d＞ r ∴ 直线与圆相离，没有公共点。
课堂练习3：
(1)、已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是相切;直线a与⊙O的公共点个数是1。
(2)、已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距离为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是相离;直线a与⊙O的公共点个数是0。
课堂练习4：
已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则X轴与⊙A的位置关系是（ ）, Y轴与⊙A的位置关系是（ ）。
五、课堂小结：
直线与圆的位置关系，可利用直线与圆公共点的个数（图形特征）或者圆心到直线的距离d与半径r的数量大小关系（数量特征）加以判断，反过来。在三种位置关系下，圆心到直线的距离d与半径r也有相应的数量关系，二者是等价的。
六、作业设计：
课本习题24.2： 2
