辽宁省大连市普兰店区第一中学2022届高三上学期期中联考数学试卷（Word版，含答案）

大连市普兰店区第一中学2022届高三上学期期中联考
数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.已知复数满足，则的虚部为( )
A． B． C． D．
3．“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． 2 B．-2 C．1 D．-1
5.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的半径为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A. B. C. D.
6.设向量满足，则（）
A. 1 B. -1 C.4 D. -4
7.已知的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ）
A． B．是的一个周期
C．当时， D．的解集为
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知平面向量，若是直角三角形，则的可能取值是（ ）
A．-2 B．2 C．5 D．7
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A.圆锥的侧面积为
B.三棱锥体积的最大值为
C.的取值范围是
D.若，为线段上的动点，则的最小值为
12.在平面直角坐标系中，、、，动点满足，则（ ）
A.
B.
C.有且仅有个点，使的面积为
D.有且仅有个点，使的面积为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么椭圆的离心率为______．
14.已知正方体，则直线与平面所成的角为_________．
15.在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为______．
16.关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是__________．
四 解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17.已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，设，求数列的前n项和为.
18.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
19.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)若点，求过点的圆的切线方程.
20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，且二面角的大小为30°，
求四棱锥的体积．
21.在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知直线与椭圆：相交于，两点，与轴交于点，若存在使得，求的取值范围.
22.已知函数.
（1）当时，求的导函数在上的零点个数；
（2）若关于的不等式在R上恒成立，求实数的取值范围.
答案
一、1-8. BCCAB ADD
二、9.BD 10.ACD 11.AB 12.BC
三、13. 14. 15. 16.
四、17. 解：（1）设等差数列的公差为d，
则， --------------1分
又，得，解得，--------------2分
所以； --------------4分
（2）设等比数列的公比为q，
则，，所以，，
， --------------8分
则，
所以
. --------------10分
18. 解：（1）在中，由正弦定理得，--------1分
∵，∴，∴，------3分
，即，-----------5分
∵，∴ ----------------6分
（2）由题意得. --------------7分
在中，由正弦定理得. --------------8分
， --------------10分
∴. --------------12分
19. 解：（1）由题意，设圆的标准方程为：，
圆关于直线对称，
圆与轴相切：…① -------------2分
点到的距离为：，
圆被直线截得的弦长为，，------4分
结合①有：，，
又，，， --------------5分
圆的标准方程为：. ----------------6分
（2）当直线的斜率不存在时，满足题意--------------7分
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.
又圆C的圆心为，半径，
由 ， --------------9分
解得. --------------10分
所以直线方程为，即 ---------11分
即 直线的方程为或. --------------12分
20.解：（1）因为侧面底面，
侧面底面，
又底面为矩形，
所以，平面，
平面，
平面，
所以， --------------2分
又侧面是正三角形，M是的中点，
所以， --------------3分
，，平面，
所以平面．----------------5分
（2）取中点O，过点O作的平行线连接，
由（1）同理知平面，
以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系---6分
设，则，，，，
，，，
记平面的法向量，则，
从而，则可得，--------------8分
因为平面，
则平面的法向量与共线，可取， -----------9分
因为二面角的大小为30°，
解得， ---------------11分
所以四棱锥的体积为．----------------12分
21. 解：（1）设，则，
所以可得动点P的轨迹C的方程为-----4分(没写扣1分)
（2）设又，由得
--------------5分
联立可得
即且， --------------7分
又则 --------------9分
代入得
--------------10分
的取值范围是----------------12分
22. 解：（1）， --------------1分
∴，所以是的一个零点. --------------2分
令，则时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则.
又且，所以在上存在唯一零点，-----4分
则在上亦存在唯一零点.
因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点.--------------5分
综上在上有3个零点. ------------6分
（2）不等式在R上恒成立，即不等式恒成立.
令，则等价于不等式……（*）恒成立，---------7分
①若，即时，不等式（*）显然成立，此时 --------------8分
②若时，不等式（*）等价于
设，是偶函数，当时，，
令，则，
∵，，且，
∴在上单调递减，在单调递增，--------------10分
又，所以在上恒成立，
即在上恒成立所以在上单调递减，则，
显然为偶函数，故在上的最大值为1，因此
综上所述，满足题意得实数a的取值范围为.------------12分