湖北省荆门市龙泉中学2013届高三10月月考数学（理）试题

龙泉中学2013届高三10月月考
数学（理）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数，映射，则的原象是
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的是
A．命题“若，则”的逆命题是真命题
B．命题“，使得”的否定是：“，都有或”
C．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题
D．已知，则“”是“”的必要不充分条件
4．若函数，又，且的最小值为，则正数的值是
A． B． C． D．
5．已知三点的坐标分别是，，，，若，则的值为
A． B． C．2 D．3
6．已知向量、不共线，,如果，那么
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
7．已知函数在其定义域上单调递减，则函数的单调增区间是
A. B. C. D.
8．已知函数是的导函数，则过曲线上一点的切线方程为
A． B．
C． D．
9．在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过二分钟后，该物体位于点，且，则的值等于
A． B． C． D．
10．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知函数的定义域为，集合，若：“”是：“”的充分不必要条件，则实数的取值范围 ；
12．已知等差数列的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为 ；
13．在平行四边形中, 点是的中点, 与相交于点,
若, 则的值为 ；
14．设= ；
15．已知函数与函数的图象关于对称，
(1)若则的最大值为 ；
(2)设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 。
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本题满分12分)
已知集合,,.
（1）求, ;
（2）若,求的取值范围.
17. (本题满分12分)
在中，角所对的边分别为，且满足，．
（1）求的面积；
（2）若，求的值．
18. (本题满分12分)
某风景区有40辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日72元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。
（1）求函数的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
19. (本题满分12分)
已知是一个公差大于的等差数列,且满足．数列，，，…，是首项为，公比为的等比数列．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 若，求数列的前项和．
20. (本题满分13分)
已知函数是上的偶函数．
（1）求的值;
（2）设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围．
21. (本题满分14分)
设函数
⑴当且函数在其定义域上为增函数时，求的取值范围；
⑵若函数在处取得极值，试用表示；
⑶在⑵的条件下，讨论函数的单调性。
龙泉中学2013届高三10月月考
数学（理）试卷参考答案及评分标准
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B B B D D C C A
二、填空题：
11． 12． 13． 14． 15．；
三、解答题：
16. 解：（1）, ………………………………………………………………2分
因为, ………………………………………………………………………4分
所以. …………………………………………………………6分
（2）由（1）知,
①当C=时,满足,此时,得; …………………………………………8分
②当C≠时,要,则解得. ………………………………………11分
由①②得, ……………………………………………………………………………………12分
17. 解：（1）因为，所以，又,所以.……………3分
由，得所以.
故 . …………………………………………………………………6分
（2）由，且，解得或 ………………………………………………9分
由余弦定理得，故. ……………… ………………12分
18. 解：（1）当
……………………………………………………2分
………………………………………4分
， …………………………………………………………………………6分
故 ……………………………………………………7分
（2）对于，
显然当（元）， ………………………………………………………………9分
………………………………………………11分
∴当每辆自行车的日租金定在10元时，才能使一日的净收入最多。 …………………………12分
19. 解： (1) 解: 设等差数列的公差为, 则依题知 ，
由且 得
； ……………………………………………………………………4分
(2) 由（1）得： （）．
b1=1，当n≥2时，，
因而，． ，…………………………7分
∴
令 ①
则 ②
①-②得：
……………………………10分
∴． ∴． …………………………………………………………12分
20. 解：（1）由函数是偶函数可知：
……………………………………………………2分
即对一切恒成立 ……………………………………4分
………………………………………………………………………………………5分
（2）函数与的图象有且只有一个公共点
即方程有且只有一个实根 …………………………7分
化简得：方程有且只有一个实根
令，则方程有且只有一个正根 …………………………9分
①，不合题意； ……………………………………………………………10分
②或 ………………………………………………………………………11分
若，不合题意；若 ……………………………………12分
③一个正根与一个负根，即
综上：实数的取值范围是…………………………………………………13分
21. 解：（1）当时，函数，其定义域为。
。函数是增函数，
当时，恒成立。 ……………………………………2分
即当时，恒成立。
当时，，且当时取等号。
的取值范围为。………………………………………………………………4分
（2）,且函数在处取得极值，
此时 ………………………………………………6分
当，即时，恒成立，此时不是极值点。
………………………………………………………………………8分
（3）由得
①当时，当时，
当时，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。……………………10分
②当时，当
当
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。
③当时，当
当
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。
……………………………………………………13分
综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。
………………………………………………………………14分