纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行
高三二轮导数压轴题最优解（一题多解）方法答案解析
1. （1）方法一：参变分离
因为函数恰有两个零点所以
设，导函数
设，，令，所以
由单调性可知：，所以，函数单调递增
函数图像如下：
从上图可知：实数的取值范围为.
（2）方法一：极值点平移（对数不等式）
导函数，令，所以
由题意可知：①；②
由①-②得：
因为，所以，所以
综上所述：
2. 解：（1）当时，函数
所以，，
则函数在处的切线方程.
（2）方法一：对数不等式应用
情景铺垫：
因为
所以
数学问题：对于动点来说，是否存在定点与动点之间的斜率等于中点处的斜率，给出你的证明.
解题过程：
因为
，
所以
由对数不等式可知：（证明略:构造法或等面积法）
综上所述：不存在定点，对于任意的（）都有成立
方法点评：
对数不等式是解决极值点偏移不错的方法，但是对数不等式不仅仅解决极值点偏移；本题的结论方程
类似于“拉格朗日中值定理”，但是拉格朗日通过“构造法”来证明“零点存在性”，而本题却要求求区间端点与“拉格朗日中值定理”方法确实不同，仅仅是代数式结构相同，所以代数式结构相同条件不同时，方法可能会迥然不同.
3. 解：（1）因为函数（）
所以导函数
① 当时，，函数单调递增；
② 当时，令，，.
Ⅰ、当或时，，函数单调递增；
Ⅱ、当时，，函数单调递减；
综上所述：当时，函数单调递增；
当时，当或时，函数单调递增；
当时，函数单调递减.
（2）由题意可知：、是方程两个根，所以，
所以导函数，所以
因为、是方程两个根
所以①；②.
由①-②得：
所以
设，，函数
导函数，函数单调递增
因为的取值范围是
所以，因为，，所以
综上所述：实数的取值范围为.
4. 解：方法一：分类讨论法（求单调性）
解：因为函数，所以导函数
① 当时，，函数在定义域上单调递增；
② 当时，令，.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减
（2）方法一：放缩（指数函数万能公式的应用、黄金函数）
由题意可知：函数
因为
设，则
依据导数切线一般式可知：
所以，，即，
，设
导函数，令，，根据单调性可知：函数
综上所述：最小值为.
方法二：构造法
构造法转化恒成立问题，利用最值解决问题，列出参数与参数关系，进行消参，转化分式结构的黄金函数，求导较麻烦，但是整体思路较流畅.
5.解：方法一：权方和不等式应用（二维柯西不等式的应用）
所以，即的最大值为8，选择B.
方法二：换元（均值不等式）
设，则
因为，，所以
所以，即的最大值为8，选择B.
6. 解：（1）定义法（切线方程问题）
当时，函数
所以导函数为，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）方法一：隐零点问题
导函数，令，所以
取对数可知：
根据单调性可知：
因为恒成立，所以实数的取值范围为.
方法二：放缩（对数函数和指数函数切线放缩）
因为，（取到等号条件为）
所以
因为恒成立，所以实数的取值范围为.
7. 方法一：指数函数放缩一般式的应用（x轴零点的巧用）
因为，所以
设，所以
根据指数函数切线放缩一般式可知：
所以，
所以
设，令，
根据单调性可知：
所以的最小值为为.
8. 情景铺垫：
在高考中比较喜欢考“极值点偏移”和“非极值点偏移”，非极值点偏移一直以来都是高考真题的“宠儿”，例如新高考一卷就考察了非极值点偏移中“端点效应问题”，而非极值点偏移中数值又有很多特点，本文双哥将谈一谈“非极值点偏移中齐次化构造问题”。
第一问属于常规性问题，但是能够排除一些基础不好的学生，对于含参直线求定点问题还是有一定的难度，难度系数0.85，从得分上看 ：基础好学生分值明显高于基础不好的，所以基础问题的基础解法要引起学生的注意，学习要系统化.
方法一：定义法（证明恒成立问题）
导函数，所以，因为
所以曲线在点处的切线方程.
所以，即恒过定点为.
知识点归纳：
第一：函数求导以及导数的几何意义；第二：已知斜率和点坐标，求直线方程；第三：求含参直线恒过定点问题。
（2）方法一：极值点偏移（方法：齐次化构造法和降幂法（提取公因式法）、和与差皆用）
情景铺垫：
本题是一个综合性比较大的数学问题，数学思想为极值点偏移和降幂，数学方法：齐次化构造法和提取公因式法。
解题过程：
因为有零点，所以
所以
所以
设，，则
设，，求导研究单调性可知：
所以
因为，所以.
方法点评：
本题采用了降幂、换元、消参、均值不等式放缩以及转化的小类的数学方法，利用齐次化构造大类的数学方法来解决平方和放缩的问题，齐次化构造法中涉及了换元和消参的数学方法，我们解决构造以做差和做和为主，但是也可以通过比例论思想来解决，如：合分必定理，所以该问问题综合性比较大，不利于考生把握，如果考生想完全解决问题，那么要把握好“细节”，因为细节决定成败.
9.解：构造法（隐函数构造）
由题意可知：，设，所以
由于原函数单调递增，所以
所以，故
10.解：(1)方法一：分类讨论法
由题意可知：导函数
① 当时，，函数单调递增；
② 当时，令，
Ⅰ、当时，，函数单调递减；
Ⅱ、当时，，函数单调递增.
（2）方法一：隐零点问题（消参构造函数）（略该方法为通性通法，比较麻烦）
方法二：放缩（指数函数和对数函数的平移切线放缩）
因为，（取到等号条件为“”）
所以
所以函数的切线为
若函数与函数有两个交点
所以，即的范围为.
11.解：方法一：定义法
导函数，令，所以
① 当时，，函数单调递减；
② 当时，，函数单调递增.
（2）方法一：端点效应问题
由题意可知：设，
因为，所以函数单调递增
① 当时，函数单调递增，
所以，即
② 当时，题意恒成立，满足题意.
综上所述：实数的最大值为2.
12. 解：方法一：分类讨论法
导函数
① 当时，，函数单调递增；
② 当时，令，.
Ⅰ、当时，，函数单调递增；
Ⅱ、当时，，函数单调递减；
（2）方法一：放缩（过原点的指数函数和对数函数的切线放缩）
由题意可知：
因为取等号条件为“”）
所以只需证明：，设函数，即
导函数（取等号条件为“”）
所以函数单调递增，因为，所以
综上所述：当时，.
2纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行
高三二轮导数压轴题最优解（一题多解）方法讲义
1. 【2022届-广东联考衡水金卷 -22】已知函数恰有两个零点，（）
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
2. 【2022届-浙江 –A9】已知，其导函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2） 函数的图像上是否存在一个定点（），使得对于任意的（），都有成立？证明你的结论.
3. 【2022届-沙坪坝区重庆八中 –22】已知函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若函数的两个极值点，（）恰为函数的两个零点，且的取值范围是，求实数的取值范围.
4. 【2022届-湖北新高考9+N –22】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若在上恒成立，证明：最小值为.
5.已知，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A. 10 B. 8 C. 4 D. 1
6. 【2021-安徽六校联考–22】函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围.
7. 【2021-苏州期末】已知是函数的切线，则的最小值为 .
8. 【2021-广东一模-22】已知（）.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
9.已知是函数的零点，则 .
10.已知函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个实根，求的范围.
11.设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，若在上恒成立，求实数的最大值.
12. 【2021-A10联盟开学考】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）对任意，证明：当时，.
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