数列求和（难）
题型一、公式法
理论基础：
1.等差数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，；
②当q≠1时，
3.常见的数列的前n项和：
①++…=；
②++…=。
例1.（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，是的前项和，且，求数列的通项公式.
变式1.（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））在等比数列中，，且成等差数列．
（1）为的前项和，证明:;
（2）为的前项积，求数列中落入区间中的所有项．
作业1.（2021·福建·高三月考）公差为2的等差数列中，，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足：，求，的前20项和．
题型二、裂项相消
理论基础：
1．；
2.，特别地当时，；
3.；
4.；
5.；
6.)=.
例2-1．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为.已知，___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，且数列的前项和为，求.
变式2-1.（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（文））已知数列的首项为，且，，令，数列的前n项和，则满足的最小正整数n的值为
变式2-2．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（理））已知数列的前n项和为，且，对任意的数列满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求的取值范围.
变式2-3.（2021·上海交大附中高三月考）设、分别是数列、的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并求的最小值.
作业2-1.（2020·江苏·姜堰中学高二月考）公差不为0的等差数列中，前n项和记为，若且，，成等比数列，数列 的前n项和为，若对任意，均成立，则实数t的取值范围
作业2-2．（2021·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．
作业2-3．（2021·河北·高三月考）已知数列的前n项和为，其中，满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
题型三、错位相减
理论基础：
对于求数列，其中一个为等差数列，另一个为等比数列，就用错位相减法求和。（解题方法：乘公比再作差）
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，，且是，的等差中项，数列满足，数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
变式3．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且＝1（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
作业3-1．（2021·全国·高三专题练习）已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，求数列的前项和.
作业3-2．（2022·湖南·雅礼中学高三月考）已知等比数列的前项和为（为常数）.
（1）求的值和数列的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和.
题型四、分组求和法
理论基础：
对于求数列的和，其中分别为易于求和的数列（一般为等差或等比数列），就用拆项分组法求和。
例4．（2021秋 五华区月考）已知等差数列的前项和为，，，令，求数列的前项和．
变式4．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））等比数列的首项，前项和记作，且也是等比数列 .记，求数列的前项和.
作业4-1．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）已知各项都为正数的数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
作业4-2．（2021秋 山东月考）已知数列满足，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
题型五、倒序相加
理论基础：
将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（），其中一般是定值。这也是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法。
例5-1.（2020·安徽·蚌埠二中高二月考（文））推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________.
例5-2．（2020·全国·高三专题练习（理））已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为
变式5-1．（2021·江西·进贤县第一中学高一期中（理））函数，数列满足，其前项和为，则_____.
变式5-2．（2019·湖北·襄阳四中高三月考（理））在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为____________．
作业5-1．（2019·全国·高三开学考试（理））已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前7项和为__________.
作业5-2．（2021·全国·高三专题练习（文））已知
（1）若，求；
（2）若，求除以5的余数
题型六、绝对值型
理论基础：
绝对值型实际就是一个去绝对值的过程，绝对值的临界值就是分类讨论的点。
例6．（2020·江苏·姜堰中学高二月考）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，.
（1）求，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
变式6．（2021·浙江宁波·高三月考）已知数列为等差数列，数列满足，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求的前n项和．
作业6．（2021·河南南阳·高二月考（文））设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
（1）求通项公式an；
（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和.
题型七、并项（奇偶）求和
理论基础：
一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．而对于前n项求和，涉及奇偶问题，则需要讨论n的奇偶性。
例7.求
变式7-1．（2021·湖南郴州·高三月考）设数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和.
变式7-2.（2021·广东·深圳市福田区福田中学高三月考）已知等差数列{an}前n项和为Sn，，.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设，求{bn}前n项和Tn.
作业7-1．（2021秋 山东月考）已知数列满足，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
作业7-2.（贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考）已知数列满足，则数列的前32项之和为__________.数列求和（难）
题型一、公式法
理论基础：
1.等差数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，；
②当q≠1时，
3.常见的数列的前n项和：
①++…=
②++…=
例1.（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，是的前项和，且，求数列的通项公式.
【详解】令得，即，解得：或（舍），
由可得：当，，
两式相减得，所以，
所以，所以，
因为数列是正项数列，所以，所以，
所以数列是一个以为首项，以为公差的等差数列.
所以，即数列的通项公式为.
变式1.（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））在等比数列中，，且成等差数列．
（1）为的前项和，证明:;
（2）为的前项积，求数列中落入区间中的所有项．
【详解】证明:设等比数列的首项为，公比为，因为成等差数列，
，则，解得，
即为首项为，公比为的等比数列，所以，因为，
所以;
解:
由得，解得所以，
所以数列中有项落入区间分别是:.
作业1.（2021·福建·高三月考）公差为2的等差数列中，，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足：，求，的前20项和．
【详解】（1）由题意，公差为2的等差数列中，，，成等比数列，所以，即，解得，故数列的通项公式．
（2）由数列满足，
所以，
所以
．
题型二、裂项相消
理论基础：
1．；
2.，特别地当时，；
3.；
4.；
5.〔〕；
6.)=.
例2-1．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为.已知，___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，且数列的前项和为，求.
【详解】（1）若选①，设等比数列的公比为，，，而，，解得或，，，.
若选②，设等比数列的公比为，且，由可得.
，，即.，，.
若选③，当时，，
即，也满足，即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则.
（2）由（1）知，
.
变式2-1.（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（文））已知数列的首项为，且，，令，数列的前n项和，则满足的最小正整数n的值为
【详解】数列的首项为，且，，可得，
则是首项和公差都为1的等差数列，可得，即，
则，
可得，，
即，解得，可得最小正整数n的值为9.
变式2-2．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（理））已知数列的前n项和为，且，对任意的数列满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以当时，，
所以，得，所以，
所以.
（2）因为，
所以，
因为为单调递增数列，所以当时，取得最小值，
又，所以的取值范围是.
变式2-3.（2021·上海交大附中高三月考）设、分别是数列、的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并求的最小值.
【详解】（1）由，当时，，解得；
当时，由可得，
上述两式相减得，即，
所以，数列是等比数列，公比为，因此.
设数列的公差为，由题意可得，解得，，；
（2）由（1）可得：，
数列的前项和.
因为，所以数列单调递增，所以时，取最小值，故最小值为.
作业2-1.（2020·江苏·姜堰中学高二月考）公差不为0的等差数列中，前n项和记为，若且，，成等比数列，数列 的前n项和为，若对任意，均成立，则实数t的取值范围
【详解】设公差不为0的等差数列中，前项和记为，若，且，，成等比数列，则，即有，由，解得，
则；所以，，
则，所以
作业2-2．（2021·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，
所以有，
由题意可知：，化简得：，
所以，，
因此；
（2）由（1）可知：，，，因为为等差数列，
所以，因此，
因为，
因此有：
作业2-3．（2021·河北·高三月考）已知数列的前n项和为，其中，满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【详解】（1）由可得，因为，所以
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列
根据（1）可得：，
所以，
所以，
所以．
题型三、错位相减
理论基础：
对于求数列，其中一个为等差数列，另一个为等比数列，就用错位相减法求和。（解题方法：乘公比再作差）
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，，且是，的等差中项，数列满足，数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【详解】（1）是，的等差中项，，即，
，，，通项公式：.
（2）令，则数列的前项和为，
当时，，
当时，也满足，则的通项公式，
，，
当时，，
当时，，也满足，则的通项公式，
设，其前项和为，则，
运用数列的错位相减，
，①
，②
由①②可得，.
变式3．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且＝1（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
【详解】（1）由题意，可知：当n＝1时，，∵当n≥2时，，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，故，∴，n∈N*，
则当n≥2时，，
∵当n＝1时，a1＝3也满足上式，∴；
（2）由（1），可得，
，
，
两式相减，可得，
令，则，
两式相减，可得
，∴，
，.
作业3-1．（2021·全国·高三专题练习）已知数列是公比为的等比数列，且满足，，成等比数列，为数列的前项和，且是和的等差中项，求数列的前项和.
【详解】依题意得，
又因为，，成等比数列，所以
则，解得，所以，；
因为是和的等差中项，所以，当时，，有
当时，，有
所以，得，故
所以，设的前项和为，则
①
②
由①－②得
所以．
作业3-2．（2022·湖南·雅礼中学高三月考）已知等比数列的前项和为（为常数）.
（1）求的值和数列的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和.
【详解】（1）由题设，显然等比数列的公比不为1，
若的首项、公比分别为，，则，
∴且，，故的通项公式为，.
（2）数列在中的项的个数为，则，
∴，则
两式相减得.∴.
题型四、分组求和法
理论基础：
对于求数列的和，其中分别为易于求和的数列（一般为等差或等比数列），就用拆项分组法求和。
例4．（2021秋 五华区月考）已知等差数列的前项和为，，，令，求数列的前项和．
【解答】由题意，设等差数列的公差为，则，整理得，解得，，．，
．
变式4．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））等比数列的首项，前项和记作，且也是等比数列 .记，求数列的前项和.
【详解】设等比数列的公比为，由已知得：
当时，
为等比数列，又，
所以数列的公比也为且，.，，为等差数列，首项为，公差为。
作业4-1．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）已知各项都为正数的数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【详解】（1）由，可得，
因为各项都为正数的数列，可得，所以，即，
所以为首项为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由题意，可得，则的前项和为
.
作业4-2．（2021秋 山东月考）已知数列满足，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】（1）数列满足，，得到，
所以，即，
由于，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；
故，整理得：；
（2）由（1）得：，，
所以，
．
题型五、倒序相加
理论基础：
将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（），其中一般是定值。这也是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法。
例5-1.（2020·安徽·蚌埠二中高二月考（文））推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________.
【详解】设，
，
，则
，即，
例5-2．（2020·全国·高三专题练习（理））已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为
【详解】在R上为奇函数，
故,代入得: ，当时,.
令,则,上式即为:.
当为偶数时:
.
当为奇数时:
.综上所述,.
变式5-1．（2021·江西·进贤县第一中学高一期中（理））函数，数列满足，其前项和为，则_____.
【详解】（法一）：，，
，
（法二）：，
，所以，
，所以，
，所以，所以.
变式5-2．（2019·湖北·襄阳四中高三月考（理））在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为____________．
【详解】为等比数列，
设，则
上下两式相加得：
，。
作业5-1．（2019·全国·高三开学考试（理））已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前7项和为__________.
【详解】数列满足，，数列是等差数列，
，，
，
同理，数列的前7项和为7.
作业5-2．（2021·全国·高三专题练习（文））已知
（1）若，求；
（2）若，求除以5的余数
【详解】（1）因为
所以
，
（2）因为.
除以5余数为1，所以除以5的余数为1.
题型六、绝对值型
理论基础：
绝对值型实际就是一个去绝对值的过程，绝对值的临界值就是分类讨论的点。
例6．（2020·江苏·姜堰中学高二月考）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，.
（1）求，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【详解】（1）当时，，得；
当时，，由，得.
故为等比数列，其公比为2，所以.
由，，得，，
因为为等差数列，所以其公差，所以.
（2）因为，所以当时，，当时，.
所以当时，.
当时，.
故数列的前项和.
变式6．（2021·浙江宁波·高三月考）已知数列为等差数列，数列满足，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，求的前n项和．
【详解】（1）数列为等差数列，，，则，，，，
（2），设，为数列的前n项和，则有：
，（*）
，（**）
（*）式-（**）式，得
．
当时，；
当时，，
即
作业6．（2021·河南南阳·高二月考（文））设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
（1）求通项公式an；
（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和.
【详解】（1）由题意得：，则，
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
（2）设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.
当n≥3时，Tn＝3＋，经验证，当n＝2时也符合上式.
所以，Tn＝.
题型七、并项（奇偶）求和
理论基础：
一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．而对于前n项求和，涉及奇偶问题，则需要讨论n的奇偶性。
例7.求
解：当n是偶数时，
。
当n是奇数时，
。
综上，。
变式7-1．（2021·湖南郴州·高三月考）设数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和.
【详解】（1）法一：∵，∴，
两式相减得：，即，∴.
∴，
而满足上式，∴.
法二：∵，∴，
两式相减得：，即，∴，∴，
∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列，∴，∴.
当时，满足上式，
∴.
（2）法一：由（1）知，，∴，
∴，
即数列是以4为公差的等差数列.
∴.
法二：由（1）知，∴
.
变式7-2.（2021·广东·深圳市福田区福田中学高三月考）已知等差数列{an}前n项和为Sn，，.
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设，求{bn}前n项和Tn.
【详解】（1）由得.又因为，所以，
则，解得；故，.
.
当为偶数时：
.
当为奇数时：
，综上得.
作业7-1．（2021秋 山东月考）已知数列满足，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】（1）数列满足，，得到，
所以，即，
由于，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；
故，整理得：；
（2）由（1）得：，，
所以，
．
作业7-2.（贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考）已知数列满足，则数列的前32项之和为__________.
【详解】当为奇数时，，，两式相减得，
当为偶数时，，，两式相加得 ，
所以
.
