专题 《概率与分布列》讲义
15.2 条件概率与独立事件
题型一. 条件概率
1．在一副扑克牌中任取一张，记事件A表示“抽到草花”，事件B表示“抽到草花的数字为“5”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
2．某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ）
A．0.85 B．0.80 C．0.60 D．0.56
3．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．一张储蓄卡的密码共有8位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率：
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
6．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品，求采购员拒绝购买的概率．
7．已知A学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，B学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校，然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在B学校抽取到市里上公开课的是男老师的情况下，从A学校抽到B学校的老师也是男老师的概率是 .
题型二. 独立事件
1．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中机取出一个球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（ ）
A．事件B与事件A1不相互独立
B．A1、A2、A3是两两互斥的事件
C．P（B）
D．P（B|A1）
2．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
3．如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．系统N1，N2正常工作的概率分别为p1，p2，
（Ⅰ）若元件A、B、C正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求p1，p2；
（Ⅱ）若元件A、B、C正常工作的概率的概率都是p（0＜p＜1），求p1，p2，并比较p1，p2的大小关系．
4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是 ．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是 ．
5．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
课后作业. 条件概率与独立事件
1．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为4名“同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
2．已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为 ．
4．甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为，乙猜对每个谜语的概率为，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为 ．
5．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是（ ）
A．0.175 B．0.085 C．0.125 D．0.225
6．某地市场调查发现，的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为，而在实体店购买的家用小电器的合格率为．现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（ ）
A． B． C． D．专题 《概率与分布列》讲义
15.2 条件概率与独立事件
题型一. 条件概率
1．在一副扑克牌中任取一张，记事件A表示“抽到草花”，事件B表示“抽到草花的数字为“5”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在一副扑克牌中任取一张，记事件A表示“抽到草花”，
事件B表示“抽到草花的数字为“5”，
P（A），P（AB），
∴P（B|A）．
故选：B．
2．某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（ ）
A．0.85 B．0.80 C．0.60 D．0.56
【解答】解：某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，
两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，
设事件A表示“第一个路口遇到红灯”，事件B表示“第二个路口遇到红灯”，
则P（A）＝0.75，P（AB）＝0.60，
∴在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为：
P（B|A）0.8．
故选：B．
3．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，
则所求的概率即P（A|B）．
又，，
结合条件概率公式可得：．
故选：C．
4．一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，
设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取出白球”，
则P（A），P（AB），
∴第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是：
P（B|A）．
故选：B．
5．一张储蓄卡的密码共有8位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率：
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
【解答】解：记“第i次按对密码”为事件Ai（i＝1，2）“不超过2次就按对密码“为事件A
（1）P（A）＝P（A1）+P（A2）
（2）记“最后一位按偶数”为事件B
则P（A|B）＝P（A1|B）+P（（A2|B）．
6．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品，求采购员拒绝购买的概率．
【解答】解：记事件B1为“取到的是含有4个次品的包”；事件B2为“取到的是含一个次品的包”，
事件A为“采购员拒绝购买”，则P（B1）＝0.3；P（B2）＝0.7．
根据条件概率公式可知，P（A|B1）＝1；P（A|B2）＝1，
所以由全概率公式得P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）．
所以采购员拒绝购买的概率为．
7．已知A学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，B学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校，然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在B学校抽取到市里上公开课的是男老师的情况下，从A学校抽到B学校的老师也是男老师的概率是 .
【解答】解：设“在B学校抽取到市里上公开课的是男老师”为事件M，“从A学校抽到B学校的老师是男老师”为事件N，
则P（M），
P（MN），
∴P（N/M）．
题型二. 独立事件
1．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中机取出一个球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（ ）
A．事件B与事件A1不相互独立
B．A1、A2、A3是两两互斥的事件
C．P（B）
D．P（B|A1）
【解答】解：由题意A1，A2，A3是两两互斥事件，
P（A1），P（A2），P（A3），
P（B|A1），
P（B|A2），P（B|A3），
P（B）＝P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3） ．
所以C不正确．
故选：C．
2．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
【解答】解：对于A，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的情况是：
前2个路口都遇到绿灯，第3个路口遇到红灯，
其概率为P，故A正确；
对于B，此密码被破译的对立事件是三个人同时没有破译密码，
∴此密码被破译的概率为P＝1﹣（1）（1）（1），故B错误；
对于C，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为：
P，故C正确；
对于D，由题意得，
解得P（A）＝P（B），故D错误．
故选：AC．
3．如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．系统N1，N2正常工作的概率分别为p1，p2，
（Ⅰ）若元件A、B、C正常工作的概率依次为0.5，0.6，0.8，求p1，p2；
（Ⅱ）若元件A、B、C正常工作的概率的概率都是p（0＜p＜1），求p1，p2，并比较p1，p2的大小关系．
【解答】解：（1）设元件A、B、C正常工作为事件A，B，C，则A，B，C相互独立
P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，P（C）＝0.8，
故p1＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝0.5×0.6×0.8＝0.24，
p2＝P（A （B+C））＝P（A）[1﹣P（）]＝0.5×（1﹣0.4×0.2）＝0.46．
（2）P（A）＝P（B）＝P（C）＝p，，
p2＝P（A （B+C））＝P（A）[1﹣P（）]＝p[1﹣（1﹣p）2]，
又0＜p＜1，故p1﹣p2＜0，即p1＜p2．
4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是 ．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是 ．
【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为 ．
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为 ，
故答案为：；．
5．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，
从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，
若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，
则此时取出黄色球的概率为：P1，
若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，
则此时取出黄色球的概率为：P1，
∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：
P＝P1+P2．
故选：A．
6．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，
其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球，
现从两袋中各随机取一球，基本事件总数n＝5×5＝25，
两球不同颜色包含的基本事件个数m＝3×3+2×2＝13，
则两球不同颜色的概率为p．
故选：D．
课后作业. 条件概率与独立事件
1．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为4名“同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：事件A的基本事件有种，A∩B事件的基本事件有6种，
则P（B|A）．
故选：A．
2．已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，
设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，
P（A），P（AB），
则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是：
P（B|A）．
故选：C．
3．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为 ．
【解答】解：我们把从顶点A到3的路线图单独画出来：
分析可得，
从顶点A到3总共有C52＝10种走法，每一种走法的概率都是，
∴珠子从出口3出来是（）5．
4．甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为，乙猜对每个谜语的概率为，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为 ．
【解答】解：甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，
甲猜对每个谜语的概率为，乙猜对每个谜语的概率为，
甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，
则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为：
P．
故答案为：．
5．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是（ ）
A．0.175 B．0.085 C．0.125 D．0.225
【解答】解：某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．
统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．
“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，
则一个被保险人在一年内出事故的概率是：
P＝0.05×20%+0.15×50%+0.30×30%＝0.175．
故选：A．
6．某地市场调查发现，的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为，而在实体店购买的家用小电器的合格率为．现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵大约的人喜欢在网上购买家用小电器，
网上购买的家用小电器合格率约为，
故网上购买的家用小电器被投诉的概率为（1），
又∵实体店里的家用小电器的合格率约为．
∴实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为（1）×（1），
故工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P．
故选：C．
