高考试卷中几个与圆相关的解析几何问题
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高考试卷中几个与圆相关的解析几何问题
分析思路，发展能力，调适心理
( 2005年湖北卷理科第21题 )
设是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于两点（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得四点在同一个圆上？并说明理由
（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为，
代入，整理得： ①
设， ，则，是方程①的两个不同的根，
∴，②
且，由是线段的中点得=2，
∴，解得，代入②得，
∴的取值范围是，直线的方程为，即
解法二：设， ，则有
依题意，
∵是的中点，∴=2，=6，从而
又由在椭圆内，∴，
∴的取值范围是，直线的方程为，即
（Ⅱ）解法一：∵垂直平分，∴直线的方程为，即
将直线的方程代入椭圆方程，整理得③
设，设的中点为，则，是方程③的两根，
∴，且，即
于是由弦长公式可得④
将直线的方程代入椭圆方程得⑤
同理可得⑥
当时，>，
假设存在，使得四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心
点到直线的距离为⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得
故当时，四点均在以M为圆心，为半径的圆上
注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
共圆为直角三角形，为直角，
即⑧由⑥式知，⑧式左边=，
由④⑦知，⑧式右边=
∴⑧式成立，即四点共圆
解法二：由（Ⅱ）解法一知，直线的方程为，即
将直线的方程代入椭圆方程，整理得③
将直线的方程代入椭圆方程，整理得⑤
解③和⑤式可得，，
不妨设，
，
∴，
，
计算可得，∴在以为直径的圆上
又为关于的对称点，∴四点共圆
解法三：直线，直线，椭圆方程：
可设过点的二次曲线系方程为：
整理得：
令得，配方得
∴在圆上，四点共圆
( 2006年湖北卷理科第20题 )
设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内.
解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝，故椭圆的方程为 .
（Ⅱ）方案之一：先求圆的方程，再研究点的位置关系
方案之二：不求圆的方程，直接研究点与圆心的距离与半径的大小关系
方案之三：研究点对直径的张角是钝角，可利用向量的夹角
解法一：由（Ⅰ）得，设
∵点在椭圆上，∴
又点异于顶点，∴，
由三点共线可以得
从而，
∴
将代入，化简得
∵，∴，则为锐角，从而为钝角，
故点在以为直径的圆内.
解法二：由（Ⅰ）得.设， ，
则，，又的中点的坐标为，
依题意，计算点到圆心的距离与半径的差
又直线的方程为，直线的方程为，
而点两直线与的交点在准线上，
∴，即
又点在椭圆上，则，即
于是将、代入，化简后可得.
从而，点在以为直径的圆内
优化：
，,<0,要证
只要证，只要证，只要证
又，即，只要证，显然成立
所以.从而，点在以为直径的圆内
( 2010年全国卷Ⅰ 理科第21题 )
已知抛物线的焦点为,过点的直线与相交于两点, 点关于轴的对称点为.（Ⅰ）证明: 点在直线上;（Ⅱ）设,求的内切圆的方程.
（Ⅰ）证明：设， ，，设代入得 从而，直线，令，得，故点在直线BD上. （Ⅱ），
，
所以的方程为或
的方程为或
因为为的角平分线，故可设圆心
点到和的距离相等，，得和（舍）
故的内切圆的方程为
学生最熟悉的证明三点共线的基本方法之一那就是利用三点中相关点连线的斜率相等，于是就有
（Ⅰ）解法一: 设直线的方程为则,
由 得 又 ,
对,上述结论仍成立.故点在直线BD上.
稍作改进立得
解法二:(向量法)设则,又易知,,设直线的方程为
由,有
即点在直线BD上.
学生中另外一种朴素的想法是去证明
解法三: 设则,易知,则,于是设直线的方程为
由,有
则
即点在直线BD上.
倘若学生的平面几何知识能力较强，结合抛物线的定义，从而就产生了
解法四:(几何法) 过点分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为点,而的延长线与交于点,
又,,
关于直线对称,又
从而
即点在直线上.
（很明显，对大多数学生而言，此种解法显得困难些）
我们再来看本题的第二问，
欲求三角形的内切圆方程，需要确定它的圆心和半径，而内心是三角形内角平分线的交点，依题设轴是的平分线，故只需求出另一条角平分线所在直线的方程就可以了
(II)
,联立,由对称性,不妨取则故直线KD的方程为, 即;直线FD的方程为,由点到直线距离公式得的内角平分线所在直线的方程为,即,令得,故的内切圆的圆心为,半径,故的内切圆的方程为.
此题这样做虽计算量有些大，但却是很直接的思维产生的自然解法.
分析思路，发展能力，调适心理
( 2005年湖北卷理科第21题 )
设是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于两点（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得四点在同一个圆上？并说明理由
（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为，
代入，整理得： ①
设， ，则，是方程①的两个不同的根，
∴，②
且，由是线段的中点得=2，
∴，解得，代入②得，
∴的取值范围是，直线的方程为，即
解法二：设， ，则有
依题意，
∵是的中点，∴=2，=6，从而
又由在椭圆内，∴，
∴的取值范围是，直线的方程为，即
（Ⅱ）解法一：∵垂直平分，∴直线的方程为，即
将直线的方程代入椭圆方程，整理得③
设，设的中点为，则，是方程③的两根，
∴，且，即
于是由弦长公式可得④
将直线的方程代入椭圆方程得⑤
同理可得⑥
当时，>，
假设存在，使得四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心
点到直线的距离为⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得
故当时，四点均在以M为圆心，为半径的圆上
注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
共圆为直角三角形，为直角，
即⑧由⑥式知，⑧式左边=，
由④⑦知，⑧式右边=
∴⑧式成立，即四点共圆
解法二：由（Ⅱ）解法一知，直线的方程为，即
将直线的方程代入椭圆方程，整理得③
将直线的方程代入椭圆方程，整理得⑤
解③和⑤式可得，，
不妨设，
，
∴，
，
计算可得，∴在以为直径的圆上
又为关于的对称点，∴四点共圆
解法三：直线，直线，椭圆方程：
可设过点的二次曲线系方程为：
整理得：
令得，配方得
∴在圆上，四点共圆
( 2006年湖北卷理科第20题 )
设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内.
解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝，故椭圆的方程为 .
（Ⅱ）方案之一：先求圆的方程，再研究点的位置关系
方案之二：不求圆的方程，直接研究点与圆心的距离与半径的大小关系
方案之三：研究点对直径的张角是钝角，可利用向量的夹角
解法一：由（Ⅰ）得，设
∵点在椭圆上，∴
又点异于顶点，∴，
由三点共线可以得
从而，
∴
将代入，化简得
∵，∴，则为锐角，从而为钝角，
故点在以为直径的圆内.
解法二：由（Ⅰ）得.设， ，
则，，又的中点的坐标为，
依题意，计算点到圆心的距离与半径的差
又直线的方程为，直线的方程为，
而点两直线与的交点在准线上，
∴，即
又点在椭圆上，则，即
于是将、代入，化简后可得.
从而，点在以为直径的圆内
优化：
，,<0,要证
只要证，只要证，只要证
又，即，只要证，显然成立
所以.从而，点在以为直径的圆内
( 2010年全国卷Ⅰ 理科第21题 )
已知抛物线的焦点为,过点的直线与相交于两点, 点关于轴的对称点为.（Ⅰ）证明: 点在直线上;（Ⅱ）设,求的内切圆的方程.
（Ⅰ）证明：设， ，，设代入得 从而，直线，令，得，故点在直线BD上. （Ⅱ），
，
所以的方程为或
的方程为或
因为为的角平分线，故可设圆心
点到和的距离相等，，得和（舍）
故的内切圆的方程为
学生最熟悉的证明三点共线的基本方法之一那就是利用三点中相关点连线的斜率相等，于是就有
（Ⅰ）解法一: 设直线的方程为则,
由 得 又 ,
对,上述结论仍成立.故点在直线BD上.
稍作改进立得
解法二:(向量法)设则,又易知,,设直线的方程为
由,有
即点在直线BD上.
学生中另外一种朴素的想法是去证明
解法三: 设则,易知,则,于是设直线的方程为
由,有
则
即点在直线BD上.
倘若学生的平面几何知识能力较强，结合抛物线的定义，从而就产生了
解法四:(几何法) 过点分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为点,而的延长线与交于点,
又,,
关于直线对称,又
从而
即点在直线上.
（很明显，对大多数学生而言，此种解法显得困难些）
我们再来看本题的第二问，
欲求三角形的内切圆方程，需要确定它的圆心和半径，而内心是三角形内角平分线的交点，依题设轴是的平分线，故只需求出另一条角平分线所在直线的方程就可以了
(II)
,联立,由对称性,不妨取则故直线KD的方程为, 即;直线FD的方程为,由点到直线距离公式得的内角平分线所在直线的方程为,即,令得,故的内切圆的圆心为,半径,故的内切圆的方程为.
此题这样做虽计算量有些大，但却是很直接的思维产生的自然解法.