江苏省新马中学2013届高三年级第七周周自主练习数学理 含答案

淮安市新马中学2013届高三年级第七周周自主练习
数学试卷Ⅰ（理科）2012/10/20
1．已知集合，，则集合= ▲ .
2．若，其中是虚数单位，则实数a的值为 ▲ ．2．
3．函数的值域是___▲___．（0，＋∞）
4．已知平面向量a=(-1,1),b=(x-3,1)，且a⊥b，则
5、已知函数y＝sin（）（＞0，0＜）的部分图象 如图所示，则的值＿
6．．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y＋1＝0相切，则圆C的半径为 ▲ ．
7设表示等比数列（）的前项和，已知，则 ▲ .7
8. 在中，角的对边分别为，若，则=____▲____.4
9． 若椭圆的点到左焦点的距离大于它到右准线的距离，则椭圆离心率e的取值范围是 .
10如图，在△中，，为边上的点，且，，则____▲____.1
11．已知正数x，y满足2x+y-2 =0，则的最小值为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，设点、，定义：． 已知点，点M为直线上的动点，则使取最小值时点M的坐标是 ▲ ．
13．设，，若不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是　▲ .
14．在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得=，则的取值范围是 ▲ ．
15.（本小题满分14分）设的三个内角所对的边分别为，且满足
(2a+c) ·+c·=0.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，试求·的最小值.
15解：（Ⅰ）因为，所以
即，则 ……4分
所以，即，所以………………8分
（Ⅱ）因为，所以，即
当且仅当时取等号，此时最大值为4…………12分
所以=，即的最小值为………………………14分
16．已知为实常数．命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题q：方程表示双曲线.
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若命题为假命题，求的取值范围；
(3) 若命题或为真命题，且命题且为假命题，求的取值范围．
16. 解：（1）据题意，解之得0＜m＜；
故命题为真命题时的取值范围为…………4分
（2）若命题为真命题，则，解得，故命题为假命题时的取值范围；…………9分
（3）由题意，命题与一真一假，从而
当真假时有解得；
当假真时有解得；
故的取值范围是．…………14分
17. （本小题满分14分）
现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失。如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x (cm),高为y (cm),体积为V （cm3）
求出x 与 y 的关系式；
求该铁皮盒体积V的最大值；
17．⑴由题意得，
即，． …………6分
⑵铁皮盒体积，………………10分
，令，得， ……………………………12分
因为，，是增函数；
，，是减函数，
所以，在时取得极大值，也是最大值，其值为．
答：该铁皮盒体积的最大值是． ……………………14分
18．已知⊙由⊙O外一点P（a,b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足 （1）求实数a,b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程。
18．解：（1）连OP，为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有 又由已知
即：
化简得实数a、b间满足的等量关系为：
…………………4分
（2）由，得b=－2a+3 。
故当，即线段PQ长的最小值为………………8分
（3）设⊙P的半径为R，
OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，
而
故当
得半径取最小值⊙P的方程为
……………14分
19．已知函数f(x)=x|x2-3|，x∈［0，m］其中m∈R，且m>0.
若m<1，求证：函数f(x)是增函数。
如果函数f(x)的值域是［0，2］，试求m的取值范围。
若,试求函数f(x)的值域。
19.(本题15分)
（3）当时，f(x)在[0,m]的值域为[0,2]　　　　　　　　　　　　12分
当m>2时，f(x)在[0,m]的值域为　　　　　　　　　　16分
20. （本小题满分16分）
已知数列
（Ⅰ）计算
（Ⅱ）令是等比数列；
（Ⅲ）设、分别为数列、的前，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）由题意，……… 2分
同理 …………………………………… 3分
（Ⅱ）因为
所以……… 5分
………… 7分
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列…… 9分
（Ⅲ）由（2）得，
又
所以………… 13分
由题意，记
则…………………… 15分
故当…… 16分
选修
B．选修4—2：矩阵与变换
设a＞0，b＞0，若矩阵A＝ 把圆C：x2＋y2＝1变换为椭圆E：＋＝1．
（1）求a，b的值；
（2）求矩阵A的逆矩阵A－1．
B．选修4—2：矩阵与变换
解（1）：设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，
经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）
则 ＝＝，所以． ………………2分
因为点P′（x′，y′）在椭圆E：＋＝1上，
所以＋＝1，这个方程即为圆C方程． ………………6分
所以，因为a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝． ………………8分
（2）由（1）得A＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4(2 0,0 ))，所以A－1＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4( 0,0 eq \F(,3)))． ………………10分
C.选修4—4：坐标系与参数方程。
已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 （t为参数）距离的最小值。
解
（1）
为圆心是（，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（2）当时，
为直线
从而当时，
22．一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分ξ的分布列；
（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．
22． 解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记为甲总得分．
，，
，．………………………4分
6 7 8 9
P（x＝）
………………………………………7分
（2）甲总得分ξ的期望
E（ξ）＝ ＝．………………10分
23．已知数列{}满足：，．
（1）求，的值；
（2）证明：不等式对于任意都成立．
（1）解：由题意，得． ……………………………………………2分
（2）证明：①当时，由（1），知，不等式成立．………………4分
②设当时，成立，……………………6分
则当时，由归纳假设，知．
而，
所以，
即当时，不等式成立．
由①②，得不等式对于任意成立．………………10分
学校________ ___ 班级 ______ _____ 姓名 ___________ 考号_____ ___
装订线内请勿答题
A
B
C
D
E