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2021-2022学年第一学期沪教版九年级数学期末模拟卷二
（详解版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共18分)
1．已知向量与非零向量方向相同，且其模为的2倍：向量与方向相反，且其模为的3倍．则下列等式中成立的是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的方向和模的关系可得=2，=-3，从而可得=，即可求出结论．
【详解】
解：由题意可知：=2，=-3
∴=
∴=2=
故选：B．
【点睛】
此题考查的是向量的数乘运算，根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键．
2．下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．
【详解】
A选项=，故正确
B选项=，故错误
C选项=，故错误
D选项=，故错误
故选：A
【点睛】
本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化．21教育网
3．将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是（ ）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【分析】
根据“左加右减，上加下减”的平移原则选出正确选项．
【详解】
抛物线要通过平移得到，需要先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即．
故选：A．
【点睛】
本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握抛物线的平移方法．
4．已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线可以经过的点是（ ）
A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C
【答案】C
【分析】
先把，代入抛物线的详解式，求解抛物线的详解式为：，再判断不在抛物线上，从而可得答案．
【详解】
解：把，代入抛物线的详解式，
即：
解得：
抛物线为：
当时，
不在抛物线上，
抛物线可以经过的点是
故选：
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的详解式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．
【详解】
解：根据题意作图如下：
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由题意知：AB=m，∠A=，
∴，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】
此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．
6．如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列结论不成立的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．
【详解】
解：∵DEBC，EFCD，
∴∠ADE=∠B，∠ACD=∠AEF，
又∵∠ACD=∠B，
∴∠ADE=∠AEF，
∵∠ADE=∠AEF，∠A=∠A，
∴AEF∽ADE，
∴，
∴，故选项A正确；
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴ACD∽ABC，
∴，
∴，故选项B正确；
∵DEBC，
∴，
∵EFCD，
∴，
∴，
∴，故选项D正确；
∵EFCD，
∴，
∴，故选项C错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．21·世纪*教育网
二、填空题(共36分)
7．正十边形的中心角等于______度．
【答案】
【分析】
根据正多边形的中心角的定义即可求解．
【详解】
正十边形的中心角等于360°÷10=°
故答案为：36．
【点睛】
此题主要考查中心角，解题的关键是熟知正n边形的中心角等于．
8．已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
根据二次函数的增减性即可得．
【详解】
二次函数的图象在直线的左侧部分是下降的，
即在直线的左侧部分，y随x的增大而减小，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．
9．已知点P位于第二象限内，，且与x轴负半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是________．
【答案】（，）
【分析】
根据题意，画出图形，过点P作PA⊥x轴于A，根据正切值可知，设OA=x，则PA=2x，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出OA和PA，即可求出结论．
【详解】
解：如下图所示，过点P作PA⊥x轴于A
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由题意可知：tan∠POA=2
∴
设OA=x，则PA=2x
∵OA2＋PA2=OP2
∴x2＋（2x）2=52
解得：x=或x=（不符合实际，舍去）
∴OA=，PA=
∵点P在第二象限
∴点P的坐标为（，）
故答案为：（，）．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形和求点的坐标，掌握利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键．
10．已知三角形的三边长为a、b、c．满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________．21*cnjy*com
【答案】16
【分析】
设=k，根据三角形的周长列出方程即可求出k的值，从而求出结论．
【详解】
解：设=k
∴a=2k，b=3k，c=4k
由题意可知：a＋b＋c=36
∴2k＋3k＋4k=36
解得：k=4
∴该三角形的最大边长为4×4=16
故答案为：16．
【点睛】
此题考查的是比例的性质，掌握设参法是解题关键．
11．已知⊙和⊙的半径长分别为和，若⊙和⊙内切，那么圆心距的长等于______．
【答案】
【分析】
根据圆心距和两圆半径之间的关系即可得出两圆内切时的圆心距．
【详解】
∵⊙和⊙内切，
∴圆心距为：4-3=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考察两圆的位置关系，熟练掌握两圆位置关系的判断方法是解题关键．
12．如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 _____ ．
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【答案】
【分析】
由已知条件，根据同角的余角相等得，根据得，求出，得出，利用和勾股定理即可得的长．
【详解】
解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
设的长是x，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去负值），
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
13．如图，在中，点分别在边上， ，如果和四边形的面积相等，，那么 的长是 _____ ．21世纪教育网版权所有
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【答案】2
【分析】
根据题意可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．
【详解】
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
又∵和四边形的面积相等，
∴，
∴，即：，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
14．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是________cm．21cnjy.com
【答案】
【详解】
较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是(4 x)cm.
则x2=4(4 x)，
解得x=或 (舍去).
故答案为.
15．如图，点D、E、F分别位于的三边上，且，．如果的面积为2，的面积为8，那么四边形的面积是________．
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【答案】8
【分析】
根据平行线的性质可得∠AED=∠C，∠A=∠CEF，从而证出△ADE∽△EFC，然后根据相似三角形的性质即可求出，从而求出，然后利用平行证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出，即可求出，最后根据S四边形=－－即可证出结论．【版权所有：21教育】
【详解】
解：∵，
∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF
∴△ADE∽△EFC
∵的面积为2，的面积为8，
∴
∴
∵
∴△ADE∽△ABC
∴
∴
∴
∴S四边形=－－=8
故答案为：8．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．21教育名师原创作品
16．如图，在梯形中，，，设，，那么向量用向量、表示为______．
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【答案】
【分析】
根据题意得，再求出，由即可求出结果．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算方法．
17．在中，，那么______．
【答案】
【分析】
先由勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再根据正切的定义求解即可.
【详解】
设，
则，
是直角三角形，且，
，
故答案为：2
【点睛】
此题考查了正切的定义.再直角三角形中锐角的正切值等于对边和邻边的比是解答此题的关键.
18．如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求 ( http: / / www.21cnjy.com )株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米（结果保留根号）．
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【答案】2.
【详解】
试题分析：如图，
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Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=6，
∴BC=AC tanA=6×=2．
根据勾股定理，得：AB=．
即斜坡上相邻两树间的坡面距离是2米．
故答案为：2．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
三、解答题(共66分)
19．(本题8分)如图，在中，点、分别在边、上，且，，，，
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（1）求的长
（2）联结，如果，．试用、表示向量．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据SAS判定，再根据相似三角形对应边成立解题即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质解题即可．
【详解】
解：（1），，，，
；
（2）由（1）中，
，
．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
20．(本题5分)计算：．
【答案】
【分析】
把各三角函数的值代入式中计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=
=
=．
【点睛】
本题考查特殊角三角函数值的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
21．(本题8分)已知一个二次函数的图像经过点、、．
（1）求这个函数的详解式及对称轴；
（2）如果点、在这个二次函数图像上，且，那么_____．（填“<”或者“>”）
【答案】（1），x=1；（2）<
【分析】
（1）直接用待定系数法代入三点求出函数详解式，运用对称轴公式可求出对称轴；
（2）通过判断二次函数增减性可得出结果．
【详解】
解：（1）设二次函数的表达式为，
已知二次函数经过A、B、C三点，将三点坐标代入二次函数表达式中，
，可得，
则这个函数的详解式为，
其对称轴为直线；
（2），抛物线开口向下，
对称轴为直线x=1，x<1时，y随x的增大而增大，
又本题，．
故答案为：<．
【点睛】
本题考查了二次函数的基本性质，包括求详解式，求对称轴以及二次函数增减性，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
22．(本题8分)某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，．）
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【答案】
【分析】
延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形EDNC，设AE=x米，通过解直角三角形分别求出BE、CE的长度，继而求出BC，进而可得关于x的方程，解方程求得x，即AE，继而即可求解．
【详解】
解：延长BC交AD于点E，
∵BM＝CN且CN⊥DM，BM⊥DM
∴BM∥CN，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∵∠CNM＝∠BMN＝90°
∴四边形BCNM是矩形，
同理：四边形CEDN是矩形，
∴DE＝CN＝BM＝1.6米
∠AEC＝90°
∵BC＝MN，
设AE=x米，
∵tan53°＝，tan30°＝，
∴CE＝≈0.75x，≈1.73x，
∴BC＝BE－CE＝1.73x－0.75x＝0.98x，
又MN＝0.98，
∴0.98x＝0.98，
∴x＝1，
即AE＝1米
∵DE＝CN＝BM＝1.6米
∴AE＋DE＝1+1.6＝2.6米
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．
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【点睛】
本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，涉及到矩形的判定及其性质解题的关键是做辅助线构造直角三角形并解直角三角形．www.21-cn-jy.com
23．(本题10分)已知：如图，在Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．www-2-1-cnjy-com
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（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）先证，再证，利用相似三角形的判定求解即可；
（2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出和，再根据△ACE∽△ABD，得出结果．
【详解】
证明（1）∵∠ACB=90°，CH⊥AB，
∴∠CHA=90°=∠ACB，
∴∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH，
∴，
∵，
∴，
∵∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°，
∴，
∴；
（2）∵△ACE与△ACD同高，
∴，
∵△ACD与△ABD同高，
∴ ，
∵CD=CE，
∴，
∵△ACE∽△ABD，
∴ ，
∴ ，
∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
24．(本题13分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
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（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：
（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线为，；（2）；（3）
【分析】
（1）将两个点坐标代入详解式即可求出，令x为0，求得C点坐标；
（2）过D作CA延长线的垂线，通过证明求出DE和EC的长度，再求出正切值；
（3）设，通过可求出参数t，从而得出P点坐标．
【详解】
解：（1）将，代入抛物线，
解得：，
∴抛物线为，
令x=0，得y=4，
故．
（2）过作交延长线于，
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因为，，
∴，
∵AD=4，DE=AE，由勾股定理得，DE=AE=2，
∴，
∴，，EC=6，
∴．
（3）设，连接DP、AP，
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∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得
∴．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法 ( http: / / www.21cnjy.com )，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
25．(本题14分)如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如果点D为边的中点，求的正切值；
（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数详解式及定义域；
（3）联结如果与相似，求线段的长．
【答案】（1）；（2）；（3）4-4、或．
【分析】
（1））过点D作于H，在中，利用勾股定理解得AD、AB的长，再结合等积法，解得DH、AH的长即可解题；2-1-c-n-j-y
（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示， 再证明
由即得到与x的关系；
（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y关于x的函数详解式联立方程组，继而解得x、y的值即可解题．21*cnjy*com
【详解】
（1）过点D作于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，
；
（2）过E作EH⊥CB于H
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∵，
∴．
∴ 即．
∴ ．
∵EH⊥CB，，
∴ ，．
∴
∵，
∴ ．
∵
∴．
∵
∴．
∴即．
整理得，；
（3）在Rt△MDB中，DB=4-x,
所以MD=MB=
在Rt△ADM中，AM=AB一MB=
所以tan∠DAB=
按照点F的位置，分两种情况讨论△CDF与△AGE相似:
①点F在线段AC上，此时y=4-2x.
如图，
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如果∠FDC=∠DAB，由tan∠FDC=tan∠DAB,得
结合y=4-2x，整理，得x2+8x+16=0.
解得x=4-4 或-4-4 （舍去）,
如果∠CFD=∠DAB，由tan∠CFD=tan∠DAB，得
结合y=4-2x,整理，得x2-16x+16=0.
解得或（舍去）
②点F在线段AC的延长线上，此时y=2x-4
如图
( http: / / www.21cnjy.com / )
如果∠FDC=∠DAB,由结合y=2x-4，整理，得
解得x=或（舍去）
如果∠CFD=∠DAB, 与y=2x-4
整理，得
此方程无解.
综上，CD的值为4-4、或．
【点睛】
本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．【来源：21·世纪·教育·网】
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共18分)
1．已知向量与非零向量方向相同，且其模为的2倍：向量与方向相反，且其模为的3倍．则下列等式中成立的是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
2．下列多项式中，是完全平方式的为（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是（ ）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
4．已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线可以经过的点是（ ）
A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列结论不成立的是（ ）21教育网
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A．
B．
C．
D．
二、填空题(共36分)
7．正十边形的中心角等于______度．
8．已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是_____．
9．已知点P位于第二象限内，，且与x轴负半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是________．
10．已知三角形的三边长为a、b、c．满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________．21cnjy.com
11．已知⊙和⊙的半径长分别为和，若⊙和⊙内切，那么圆心距的长等于______．
12．如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 _____ ．
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13．如图，在中，点分别在边上， ，如果和四边形的面积相等，，那么 的长是 _____ ．www.21-cn-jy.com
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14．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是________cm．2·1·c·n·j·y
15．如图，点D、E、F分别位于的三边上，且，．如果的面积为2，的面积为8，那么四边形的面积是________．
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16．如图，在梯形中，，，设，，那么向量用向量、表示为______．
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17．在中，，那么______．
18．如图，在坡度为1： ( http: / / www.21cnjy.com )3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米（结果保留根号）．
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三、解答题(共66分)
19．(本题8分)如图，在中，点、分别在边、上，且，，，，
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（1）求的长
（2）联结，如果，．试用、表示向量．
20．(本题5分)计算：．
21．(本题8分)已知一个二次函数的图像经过点、、．
（1）求这个函数的详解式及对称轴；
（2）如果点、在这个二次函数图像上，且，那么_____．（填“<”或者“>”）
22．(本题8分)某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，．）
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23．(本题10分)已知 ( http: / / www.21cnjy.com )：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．21·cn·jy·com
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（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．
24．(本题13分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
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（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：
（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．
25．(本题14分)如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）如果点D为边的中点，求的正切值；
（2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数详解式及定义域；
（3）联结如果与相似，求线段的长．
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