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2021-2022学年第一学期沪教版九年级数学期末模拟卷三（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共18分)
1．如果，那么下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 4 3 0 …
A．-1 B．3 C．4 D．0
4．如图，在直角梯形中，，，对角线的交点为点O．如果梯形的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）
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A．点O到边的距离 B．点O到边的距离
C．点O到边的距离 D．点O到边的距离
5．在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为（ ）
A． B． C． D．
6．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共36分)
7．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．
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8．已知三角形的三边长为a、b、c．满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________．21世纪教育网版权所有
9．如图，已知在△ABC中，∠B=45 ，∠C=60 ，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为______．
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10．如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么______．
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11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数详解式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______m．21cnjy.com
12．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形 的面积是正方形面积的倍，那么的余切值是_____．
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13．如图，在中，点分别在边、 上，，将沿直线翻折后与 重合，、分别与边交于点、，如果 ，，那么的长是 _____ ．www.21-cn-jy.com
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14．如图，在中，，，点在边上，点在边上，，，如果的面积是，那么的长是_____．
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15．如图，已知⊙中，，弦，那么⊙的半径长等于______．
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16．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是________cm．2·1·c·n·j·y
17．已知在中，，，，以点为直角顶点的的顶点在的延长线上，交的延长线于点，若，，那么的长等于______．【来源：21·世纪·教育·网】
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18．如图，在□中，点在边上，交对角线于，若，的面积等于，那么的面积等于______．21·世纪*教育网
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三、解答题(共66分)
19．(本题4分)计算．
20．(本题6分)如图，在中，平分，与交于点，，．
（1）求的值；
（2）设，=，求向量（用向量、表示）．
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21．(本题6分)为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时千米的道路（如图所示），当无人机在限速道路的正上方处时，测得限速道路的起点的俯角是，无人机继续向右水平飞行米到达处，此时又测得起点的俯角是，同时测得限速道路终点的俯角是（注：即四边形是梯形）．21·cn·jy·com
（1）求限速道路的长（精确到米）；
（2）如果李师傅在道路上行驶的时间是分秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：，，，）
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22．(本题8分)已知：如图，⊙与⊙外切于点，经过点的直线与⊙、⊙分别相交于点和点．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
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23．(本题12分)如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，
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（1）求反比例函数详解式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．2-1-c-n-j-y
24．(本题15分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B，交y轴于点C．
（1）求的面积；
（2）D为抛物线的顶点，连接，点P为抛物线上点C、D之间一点，连接，，过点P作交直线于点M，连接，求四边形面积的最大值以及此时P点的坐标：21教育网
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位后得到新的抛物线），新抛物线与原抛物线的交点为E，在原抛物线上是否存在点Q，使得以B，E，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．21*cnjy*com
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25．(本题15分)如图1，在RtACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；
（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；【出处：21教育名师】
（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出ACH的面积．【版权所有：21教育】
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2021-2022学年第一学期沪教版九年级数学期末模拟卷三
（详解版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共18分)
1．如果，那么下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用零指数幂的定义分别得出结果即可求解
【详解】
A选项，故错误
B选项，故错误
C选项，故错误
D选项，故正确
故选：D
【点睛】
熟记任何非零次幂的零次幂等于1是解决本题的关键
2．下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
形如： 这样的函数，则是的二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：，当时，不是的二次函数，故错误；
，不是的二次函数，故错误；
，不是的二次函数，故错误；
，符合是的二次函数的定义，故正确；
故选：
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 4 3 0 …
A．-1 B．3 C．4 D．0
【答案】D
【分析】
利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论．
【详解】
解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0）
∴抛物线的对称轴为直线x==1
而
∴x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0
故选D．
【点睛】
此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键．
4．如图，在直角梯形中，，，对角线的交点为点O．如果梯形的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是（ ）
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A．点O到边的距离 B．点O到边的距离
C．点O到边的距离 D．点O到边的距离
【答案】D
【分析】
变化后的梯形为，对角线的交点为，连接，利用平行证出△ABO∽△CDO，△∽列出比例式即可证出，从而证出∥，然后根据平行线之间的距离处处相等即可证出结论．21cnjy.com
【详解】
解：如下图所示，变化后的梯形为，对角线的交点为，连接
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由题意易知：CD=
∵AB∥CD，AB∥
∴△ABO∽△CDO，△∽
∴，
∴
∴∥
根据平行线之间的距离处处相等，可得点O和点到DA的距离相等，点O和点到AB、BC、CD的距离不一定相等www.21-cn-jy.com
∴不变量是点O到边的距离
故选D．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质和平行线之间的距离，找出相似三角形并证出∥是解题关键．
5．在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
【详解】
解：当时，不能判定DE∥BC，A选项错误；
时，不能判定DE∥BC，B选项错误；
时，DE∥BC，C选项正确；2·1·c·n·j·y
时，不能判定DE∥BC，D选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．
6．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．
【详解】
∵，，
而，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．
二、填空题(共36分)
7．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．
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【答案】
【分析】
作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，
∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2，
∴BC＝2，AC＝4，
∴CM＝＝＝4，
∵正方形DEFG内接于△ABC，
∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
解得：EF＝；
故答案为：．
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【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．已知三角形的三边长为a、b、c．满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________．2-1-c-n-j-y
【答案】16
【分析】
设=k，根据三角形的周长列出方程即可求出k的值，从而求出结论．
【详解】
解：设=k
∴a=2k，b=3k，c=4k
由题意可知：a＋b＋c=36
∴2k＋3k＋4k=36
解得：k=4
∴该三角形的最大边长为4×4=16
故答案为：16．
【点睛】
此题考查的是比例的性质，掌握设参法是解题关键．
9．如图，已知在△ABC中，∠B=45 ，∠C=60 ，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为______．
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【答案】
【分析】
由旋转得出∠=75°，在△中，过点B作BM⊥于M,设,由勾股定理计算出BD的长，由此解答即可．
【详解】
解：由题意知，AC∥BB1，°，∠C=60°，
∴=75°
∵∠∠ABC=45°
∴∠=30°，则∠=75°
在△中，过点B作BM⊥于M,设
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在Rt△BMB1中，∠=30°
∴BM=，
∴
则BD=
∵=
【点睛】
本题考查了旋转知识平行线的性质和勾股定理等知识，掌握勾股定理是解题的关键．
10．如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么______．
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【答案】
【分析】
根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答．
【详解】
解：如图，延长CG与AB交于点D，过D作DE⊥CB于点E，
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∵G是△ABC 的重心，∴CG=2GD，
∵CG=2，∴GD=1，∴CD=2+1=3，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB，∴AC∥DE，
∵D是AB中点，∴E是CB中点，
∴CE=，∴cos∠GCB=，
故答案为．
【点睛】
本题考查三角形的综合运用，熟练掌握重心的性质和余弦函数的定义是解题关键．
11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数详解式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______m．【出处：21教育名师】
【答案】3
【详解】
由题意可得：y=﹣= (x2 x)+= (x )2+，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：m.
故答案为.
点睛：此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题的关键.
12．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形 的面积是正方形面积的倍，那么的余切值是_____．
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【答案】
【分析】
根据题意可设小正方形EFGH面积是，则大正方形ABCD的面积是，则小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是，设AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用三角函数即可解答．
【详解】
设小正方形的面积为，则大正方形的面积为，其中，
∴，，
∵△ADH≌△BAE，
∴，设，则，
则：，
解得：，（舍去），
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理解直角三角形，以及余切函数的定义，准确根据题意解直角三角形是解题关键．
13．如图，在中，点分别在边、 上，，将沿直线翻折后与 重合，、分别与边交于点、，如果 ，，那么的长是 _____ ．
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【答案】4
【分析】
设，从而可得，先根据平行线的性质可得，再根据翻折的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据三角形的中位线定理即可得．
【详解】
设，则，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
，即点M是DF的中点，
又，
是的中位线，
，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．
14．如图，在中，，，点在边上，点在边上，，，如果的面积是，那么的长是_____．
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【答案】
【分析】
过点F作交AC于F，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，通过解直角三角形、勾股定理及三角形面积公式求出CF，再通过解直角三角形求出CH，即可解得答案．
【详解】
解；过点F作交AC于F，
∵，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
即
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【点睛】
本题考查了解直角三角形及勾股定理，解题的关键是根据题意做出辅助线．
15．如图，已知⊙中，，弦，那么⊙的半径长等于______．
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【答案】
【分析】
过O作OC⊥AB于C，由垂径定理可得AC=AB=6；再由可得∠OAC=30°；则OC=AO,最后在Rt△AOC中应用勾股定理列式求出OA即可．
【详解】
解：如图：过O作OC⊥AB于C，
∴AC=AB=6
∵，OA=OB
∴∠OAC=30°
∴OC=AO
在Rt△AOC中，由勾股定理可得：,即,解得OA=．
故答案为：．
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【点睛】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．
16．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是________cm．21世纪教育网版权所有
【答案】
【详解】
较长的线段MP的长为xcm，则较短的线段长是(4 x)cm.
则x2=4(4 x)，
解得x=或 (舍去).
故答案为.
17．已知在中，，，，以点为直角顶点的的顶点在的延长线上，交的延长线于点，若，，那么的长等于______．21*cnjy*com
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【答案】
【分析】
根据题意画图，作AH⊥CE于H，根据得出，由等边对等角得，根据三角形的内角和可得出，得出AK=AC，利用等腰三角形三线合一得KH=CH，再证出AH为的中位线，可得出AK，AD的长，利用勾股定理求出AB，AB+AD即可得的长．
【详解】
解：如图，作AH⊥CE于H，
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∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AK=AC=2，
∵AH⊥CE，，
∴KH=CH，，
∴AH为的中位线，
∴A为DK的中点，DK=2AK=4，AD=AK=2，
∵，，，
∴AB=，
∴BD=AD+AB=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
18．如图，在□中，点在边上，交对角线于，若，的面积等于，那么的面积等于______．【版权所有：21教育】
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【答案】
【分析】
由□可得AD=BC、AD//BC,由可得AD=BC=3BE,过F作FN⊥BC、FM⊥AD,则△ABC的高为MN,△AFD的高为FM,再说明△ADF∽△CEF和△ENF∽△DMF进而得到,进而求得△AFD的面积，最后根据相似三角形的性质求得△EFC的面积即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵□
∴AD=BC、AD//BC
∵
∴AD=BC=CE+BE=3BE
如图：过F作FN⊥BC交BC于N，交AD于M，
∵AD//BC，
∴FM⊥AD，
∴△ADF∽△CEF，△ENF∽△DMF
∴，,
∴
∵AD=BC
∴,即，解得=9
∴,即，解得=4
故填：4．
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【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答本题的关键．
三、解答题(共66分)
19．(本题4分)计算．
【答案】
【分析】
根据特殊三角函数值化简即可求解．
【详解】
=
=
=．
【点睛】
此题主要考查不同特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值．
20．(本题6分)如图，在中，平分，与交于点，，．
（1）求的值；
（2）设，=，求向量（用向量、表示）．
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【答案】（1）BF:DF=2：3，（2）．
【分析】
（1）先证 BFE DFA，得出 ，在利用角平分线的性质进行等量代换，得到再结合平行四边形的性质即可求得答案．21*cnjy*com
（2）利用第（1）小问的结论，得到DF与DB的数量关系，进而得到与的关系，根据向量=即可求解．
【详解】
（1）在中，
∵BC∥AD
∴∠BEA=∠DAE，
又∵∠BFE=∠DFA，
∴ BFE DFA，
∴ ，
又∵平分，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴
又∵，．
∴
∴BF:DF=2：3
（2）∵BF:DF=2：3
∴DF=
∴=
∵BC∥ AD， BC=AD，，=，
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，平面向量的加减法等知识点，证明 BFE DFA并且进行等量代换、理解平面向量的加减法是解决本题的关键．
21．(本题6分)为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时千米的道路（如图所示），当无人机在限速道路的正上方处时，测得限速道路的起点的俯角是，无人机继续向右水平飞行米到达处，此时又测得起点的俯角是，同时测得限速道路终点的俯角是（注：即四边形是梯形）．
（1）求限速道路的长（精确到米）；
（2）如果李师傅在道路上行驶的时间是分秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：，，，）
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【答案】（1）限速道路的长约为1514米；（2）李师傅超速了，理由见详解．
【分析】
（1）如图（见详解），先根据矩形的判定与性质可得米，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，在中，利用直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得x的值，最后根据线段的和差即可得；
（2）根据“速度路程时间”求出李师傅行驶的速度，由此即可得出答案．
【详解】
（1）如图，由题意得：，米，
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过点C作于点M，过点D作于点N，
则四边形CDNM是矩形，
米，
，
，，，
是等腰直角三角形，，
设米，
在中，米，米，
米，
在中，，即，
解得（米），
则（米），
答：限速道路的长约为1514米；
（2）因为分秒等于小时，1514米等于千米，
所以李师傅在道路上行驶速度为（千米/小时），
因为，
所以李师傅超速了．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．21·世纪*教育网
22．(本题8分)已知：如图，⊙与⊙外切于点，经过点的直线与⊙、⊙分别相交于点和点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
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【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）联结，即为连心线，根据⊙与⊙外切于点，推出经过点，由求出，即可得到结论；
（2）利用，得到，代入数值得，计算即可．
【详解】
（1）证明：联结，即为连心线，
又∵⊙与⊙外切于点，
∴经过点；
∵,
∴,
∵，
∴，
∴．
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（2）∵，
∴；
∵，，，
∴，
解得：．
【点睛】
此题考查两圆外切的性质，平行线的判定定理平行线截线段成比例，熟记两圆外切的性质是解题的关键．
23．(本题12分)如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，
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（1）求反比例函数详解式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．21教育网
【答案】（1）；（2），证明见详解
【分析】
（1）根据正比例函数和反比例函数的图像关于坐标原点中心对称，设，进而求得的坐标，进而求得的长，根据的面积为8，即可求得的值；
（2）过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,根据题意以及（1）的结论，可知，,，进而求得，进而证明，可得，，同理可得，可得，即可求得．
【详解】
（1）设
由中心对称可知点
∴，
∵
∴
∴
∴反比例函数详解式为
（2），理由如下：
联立，可得，
∵点E、F的横坐标为a
∴
如图所示，过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,
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则
∴
又∵
∴，
同理：
∴
∴
【点睛】
本题考查了反比例函数与正比例函数图像的性质，求已知面积求，相似三角形的性质与判定，掌握反比例函数与几何图形的性质是解题的关键．
24．(本题15分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B，交y轴于点C．
（1）求的面积；
（2）D为抛物线的顶点，连接，点P为抛物线上点C、D之间一点，连接，，过点P作交直线于点M，连接，求四边形面积的最大值以及此时P点的坐标：
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位后得到新的抛物线），新抛物线与原抛物线的交点为E，在原抛物线上是否存在点Q，使得以B，E，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）3；（2）最大，；（3）存在，或或或
【分析】
（1）求出点A、B、C的坐标，即可求出AB、OC的长度，从而求出△ABC面积；
（2）设CD与x轴交于F，连接BP、过P作y轴平行线，交CD于G，交BD延长线于H，先求出S△BCD=，设P（t，），则G（t， t+2），H（t，t 3），求出S四边形CPDB，由PM∥BD，得S△MDB=S△PDB，从而S四边形CPDM，当t=2时，S四边形CPDM最大=4，此时P（2， 1）；
（3）由OC=2，OB=4，可得BC=，抛物线沿射线BC方向平移，即向左平移6个单位，向上平移3个单位，可求出新抛物线，然后可以求出点E，设Q（m，），则BE2=50，BQ2=（m4）2+（）2，EQ2=（m+1）2+（）2，直角三角形按直角分类，利用勾股定理逆定理列方程即可求出点Q坐标．
【详解】
解：（1）当时，，
∴
当时，，
解得：，，
∴，
；
（2）设CD与x轴交于F，连接BP、过P作y轴平行线，交CD于G，交BD延长线于H，如图：
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∵，
∴顶点D（，），
∵C（0，2），B（4，0），
∴直线CD详解式为，直线BD详解式为，
在中，令y=0得x=，
∴F（，0），
∴BF=，
∴S△BCD=BF |yC-yD|=××（2+）=，
设P（t， ），则G（t， ），H（t，），
∴GP=，PH=
∴S△CPD=GP |xD-xC|=××()＝；
S△PDB=PH |xB-xD|=××()=；
∴S四边形CPDB=S△CPD+S△BCD=，
∵PM//BD，
∴S△MDB=S△PDB，
∴S△MDB=，
∴S四边形CPDM=S四边形CPDB-S△MDB=（）（）
=t2+4t=（t2）2+4，
∴当t=2时，S四边形CPDM最大=4，
此时P（2， 1）；
（3）存在，理由如下：
∵OC=2，OB=4，
∴BC=，
抛物线沿射线BC方向平移，相当于抛物线向左平移6个单位，向上平移3个单位，
∵，
∴新抛物线详解式为：，
联立详解式得：
解得：，
∴交点E（-1，5），
设Q（m，），则BE2=50，BQ2=（m-4）2+（）2，EQ2=（m+1）2+（）2，
①当BQ为斜边，即∠QEB=90°时，如图：
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∵BE2+EQ2=BQ2，
∴50+（m+1）2+（）2=（m-4）2+（）2，
∴50+（m+1）2-（m-4）2=（）2-（）2，
∴50+10m-15=（m2-5m-1）×5，
解得：m=8或m=-1（舍去），
∴Q（8，14）；
②BE为斜边，即∠BQE=90°时，如图：
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∵QE2+BQ2=BE2，
∴（m-4）2+（）2+（m+1）2+（）2=50，
∴（m+1）（m-4）（m-2）（m-5）=0，
解得：m=-1（与E重合，舍去）或m=4（与B重合，舍去）或m=2或m=5，
∴Q（2，-2）或Q（5，2）；
③QE为斜边，即∠QBE=90°，如图：
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∵BQ2+BE2=QE2，
∴（m-4）2+（）2+50=（m+1）2+（）2，
解得：m=3或m=4（与B重合，舍去），
∴Q（3，-1），
综上所述：或或或．
【点睛】
本题考察二次函数综合应用， ( http: / / www.21cnjy.com )涉及二次函数图象中三角形，四边形面积问题，关键在于面积的转化，以及直角三角形的存在性问题，注意要分类讨论，利用勾股定理逆定理来求解，计算过程需要仔细点．【来源：21cnj*y.co*m】
25．(本题15分)如图1，在RtACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．
（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；
（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；
（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出ACH的面积．
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【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【分析】
（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．解直角三角形求出CD，CE可得结论．
（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．想办法证明△ACF≌△EAJ（AAS），可得结论．21·cn·jy·com
（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．易知AH＝AD，求出AD的最小值可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．
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∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠DBC＝90°，
∴∠ACD＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tan∠ACD＝2，
∴＝2，
∵AC＝BC＝6，
∴BD＝，CD＝，
∵EH⊥BC，∠EBH＝45°，
∴∠EHB＝90°，∠EHB＝∠HBE＝45°，
∴EH＝BH，
设EH＝BH＝m，则HC＝2EH＝2m，
∴3m＝6，
∴m＝2，
∴EH＝2，CH＝4，
∴EC＝，
∴DE＝CD﹣CE＝．
（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．
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∵EJ＝EG，
∴∠EJG＝∠EGJ，
∵∠CFG＝EGJ，
∴∠CFG＝∠EJG，
∴∠AFC＝∠AJE，
∵∠ATC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACT+∠DCB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，
∴∠ACT＝∠CBD，
∵AC＝BC，
∴△ATC≌△CDB（AAS），
∴CT＝BD，
∵EC＝2BD，
∴CT＝ET，
∵AT⊥EC，
∴AC＝AE，
∴∠ACT＝∠AEC，
∴∠ACF+∠FCD＝∠EAJ+∠FDC，
∵FC＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴∠ACF＝∠EAJ，
∴△ACF≌△EAJ（AAS），
∴AF＝EJ＝EG．
（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．
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∵AC＝BC＝6，∠ACT＝90°，CT＝TB＝3，
∴AT＝，
∵CD⊥BD，
∴∠CDB＝90°，
∴DT＝BC＝3，
∴AD≥AT﹣DT，
∴AD≥3﹣3，
∴AD的最小值为3﹣3，
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴DH＝EH，
∴AH＝DE＝AD，
∴AH的最小值为；
此时，A，D，T共线，如图3﹣1中，过点D作DQ⊥AC于Q，过点E作EP⊥CA交CA的延长线于P，过点H作HJ⊥AC于J．
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∵DQ∥CT，
∴，
∴，
∴DQ＝，AQ＝
由△AQD≌△EPQ，可得PE＝AQ＝，
∵EP∥HJ∥DQ，EH＝HD，
∴PJ＝JQ，
∴JH＝（PE+DQ）＝
∴△ACH的面积＝×6×＝．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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