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2021-2022学年第一学期沪教版九年级数学期末模拟卷一（学生版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共18分)
1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（ ）
A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°
2．下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（ ）21世纪教育网版权所有
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，且，下列说法中，不正确的是（ ）
A． B．∥ C． D．与方向相同
6．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
二、填空题(共36分)
7．如图，，如果， ，，那么的长是______．
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8．已知点在线段上，如果，，那么的长是_____．
9．已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图像的对称轴是直线________．
10．如果，那么代数式的值是_____．
11．计算：______．
12．已知，那么______．
13．已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为________．
14．如图，一个管道的截面图， ( http: / / www.21cnjy.com )其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数详解式是________．（不必写定义域）21教育网
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15．如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为______．
16．抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下降”）
17．如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______．21cnjy.com
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18．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DEAB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF=______．21·cn·jy·com
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三、解答题(共66分)
19．(本题4分)计算：．
20．(本题5分)已知线段x、y满足求的值．
21．(本题8分)某条过路上通行车辆限速为千米，在离道路米的点处建一个监测点，道路的段为监测区（如图）在中，已知，．一辆车通过段的时间为秒，请判断该车是否超速，并说明理由．
（参考数据：，，，，）
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22．(本题10分)如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，点M为边上一点，，联结交于点N．www.21-cn-jy.com
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（1）求的值；
（2）设，，如果，请用向量、表示向量．
23．(本题12分)己知，在矩形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．2·1·c·n·j·y
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（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数详解式，并写出定义域；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）
24．(本题12分)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C．21·世纪*教育网
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（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；
②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．
25．(本题15分)已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上．www-2-1-cnjy-com
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（1）如果点P与点C重合，求线段的长；
（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标；
（3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．
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2021-2022学年第一学期沪教版九年级数学期末模拟卷一
（详解版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共18分)
1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（ ）
A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°
【答案】A
【分析】
根据三角函数的定义即可求解．
【详解】
解：∵cosB＝，
∴BC＝ABcosB＝10cos50°．
故选：A．
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【点睛】
此题主要考查三角函数的定义．余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝．2·1·c·n·j·y
2．下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【答案】D
【分析】
根据三角形相似和相似多边形的判定解答．
【详解】
A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；
B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；
C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；
D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大．
3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（ ）21世纪教育网版权所有
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【分析】
根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，即可得出答案．
【详解】
解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°，www-2-1-cnjy-com
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解是解题的关键．
4．在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．
【详解】
A、,不可证明DE∥BC,故本选项正确；
B、,可证明DE∥BC,故本选项错误；
C、,不可证明DE∥BC,故本选项不正确；
D、不可证明DE∥BC,故本选项不正确．
故选B．2-1-c-n-j-y
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，对应线段成比例，两直线平行．
5．已知，，且，下列说法中，不正确的是（ ）
A． B．∥ C． D．与方向相同
【答案】D
【分析】
根据向量的和与差运算可以得到向量与的关系即可解答．
【详解】
解：∵，，且，
∴，即=﹣3，
∴，∥，与方向相反，
所以，选项A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查平面向量，熟练掌握向量的基本性质和运算是解答的关键．
6．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
【答案】C
【分析】
根据题意描述的概念逐项分析即可．
【详解】
A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；
B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；
C、由题意可知，则点在函数图像上，故正确；
D、例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．
二、填空题(共36分)
7．如图，，如果， ，，那么的长是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】3.75
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】
解：∵直线，，，，
∴ ，
∴．
故答案为：3.75．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．21*cnjy*com
8．已知点在线段上，如果，，那么的长是_____．
【答案】
【分析】
设AP=x，则PB=4-x，根据AP2=AB PB列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解．
【详解】
解：设AP=x，则PB=4-x，
由题意，x2=4（4-x），
解得x=或（舍弃）
故答案为：．【出处：21教育名师】
【点睛】
本题考查的是比例线段与黄金分割的概念，把一 ( http: / / www.21cnjy.com )条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．注意方程思想的应用是解题的关键．
9．已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图像的对称轴是直线________．
【答案】x=5
【分析】
根据抛物线的对称性可知：点和关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．
【详解】
解：∵二次函数图像经过点和，
∴该二次函数图像的对称轴是直线x==5
故答案为：x=5．
【点睛】
此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．
10．如果，那么代数式的值是_____．
【答案】
【分析】
根据比例的性质可得，则代入原代数式计算即可．
【详解】
由题意：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查比例的性质，熟练根据比例的性质变形求解是解题关键．
11．计算：______．
【答案】
【分析】
直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
此题考查了平面向量的运算，注意去括号时的符号变化，熟练掌握法则是解题的关键，属于基础题
12．已知，那么______．
【答案】
【分析】
计算自变量为-2对应的函数值即可．
【详解】
把代入得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求函数的值，简单题，正确计算是关键．
13．已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为________．
【答案】3
【分析】
设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：，解方程即可．
【详解】
解：设这个锐角为α，
∴
由①，得③
将③代入②，得
解得：或
当时，
∴=3＞
∵α的正切值比余切值大
∴此时不符合题意，舍去；
当时，
=＜
∴此时符合题意．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．
14．如图，一个管道的截面 ( http: / / www.21cnjy.com )图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数详解式是________．（不必写定义域）21*cnjy*com
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【答案】
【分析】
根据阴影部分的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求出结论．
【详解】
解：由题意可得：y==
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求函数关系式，掌握环形面积=大圆面积－小圆面积是解题关键．
15．如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为______．
【答案】
【分析】
先求抛物线：向右平移（＞）个单位的函数详解式，再把代入平移后的详解式，求解即可得到答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：抛物线：向右平移（＞）个单位可得：
：
把代入
或
或
经检验：不合题意，取
故答案为：
【点睛】
本题考查的是抛物线的平移，抛物线上的点的坐标特点，利用待定系数法求解二次函数的详解式，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
16．抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下降”）
【答案】上升
【分析】
根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】
解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大
∴在轴的左侧部分是上升的．
故填：上升．
【点睛】
本题主要考查二次函数的增减性，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．
17．如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______．21·世纪*教育网
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【答案】
【分析】
如图，过作交于，设 由三角形的周长关系可得：再证明：利用相似三角形的性质求解再证明：可得：再解方程组可得答案．21教育名师原创作品
【详解】
解：如图，过作交于，
设
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为的中点，
即：
解得：或，
经检验：不合题意，舍去，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
18．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点D作DEAB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF=______．
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【答案】
【分析】
分别过点C、B作CH⊥AB，BG⊥EF，垂足分别为点H、G，先根据勾股定理得到AB=13，进而可求得CH= ，再证明FBE∽ACB，根据相似三角形的性质可得，由此计算即可．
【详解】
解：如图，分别过点C、B作CH⊥AB，BG⊥EF，垂足分别为点H、G，
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∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB=，
∵CH⊥AB，
∴CH=，
∵DEAB，BG⊥DE，AD⊥AB，AD=0.4，
∴BG=AD=0.4，∠FEB=∠ABC，
∵BF⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠FBE=90°，
∵∠FEB=∠ABC，∠ACB=∠FBE=90°，
∴FBE∽ACB，
又∵CH⊥AB，BG⊥EF，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质以及勾股定理的应用，根据题意得到是解决本题的关键．
三、解答题(共66分)
19．(本题4分)计算：．
【答案】．
【分析】
将各三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算．
【详解】
解：原式=
=
=．
【点睛】
此题考查不同三角函数值的混合运算，二次根式混合运算，熟记各三角函数值是解题的关键．
20．(本题5分)已知线段x、y满足求的值．
【答案】．
【分析】
利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为，然后解一元二次方程，即可求解．
【详解】
解：，
．
∵，∴，∴．
∵x、y表示线段，
∴负值不符合题意，
∴．
【点睛】
本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x、y的非负性．
21．(本题8分)某条过路上通行车辆限速为千米，在离道路米的点处建一个监测点，道路的段为监测区（如图）在中，已知，．一辆车通过段的时间为秒，请判断该车是否超速，并说明理由．
（参考数据：，，，，）
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【答案】不超速，理由见详解
【分析】
过点P作PD⊥AC于D，解直角三角形分别求出AD、BD，进一步求出AB，然后可求出实际车速便可判断出结果.21教育网
【详解】
解：不超速，理由如下：过点P作PD⊥AC于D，则PD=50（m），
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在Rt△APD中，，
在Rt△BPD中，
，
故答案为：不超速.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，从复杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类问题的关键.21cnjy.com
22．(本题10分)如图，已知在中，点D、E分别在边、上，，点M为边上一点，，联结交于点N．21·cn·jy·com
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（1）求的值；
（2）设，，如果，请用向量、表示向量．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由平行线的性质得到△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，可得，即，根据可求出的值；
（2）根据可得，所以=，根据=，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴∠AND=∠B，∠AND=∠AMB，∠ANE=∠AMC，∠AEN=∠C，
∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴=；
（2）∵，
∴，
∴==，
∵=，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，向量等相关知识．熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．【版权所有：21教育】
23．(本题12分)己知，在矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．
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（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数详解式，并写出定义域；
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案；
（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；
（3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可．
【详解】
解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1
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易得四边形ADHM是正方形，
∵
又∠FED=∠MEA
∴△
∴
∵
∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90°
∵，
∴∠FMH+∠HMC=90°
∴∠FMH=∠HCM
∴△FMH∽△MCH
∴
∴，
∴
（2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2，
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∵，
∴，
∵MH⊥DC，
∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90°
∵∠FMC=90°，
∴∠FMH+∠HMC=90°
∴∠FMH=∠HCM
∴
∴，即，
∴
∴，，
∴
∴
由 可得
∴定义域为
（3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，连接AG，AF，如图
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∵
∵
∴，
∵，
∴
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
∴垂直平分
∴
∵
∴
点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，连接DM，如图
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∵，
∴，
∴
∵∠，∠FMC为直角，
∴，垂直平分
∴，，
∴
综上，或
【点睛】
收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．
24．(本题12分)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．
①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；
②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】
（1）根据点，的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点、、的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求出、、的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cot∠DCB的值；
②过作轴的平行线，过作轴平行线交于，根据平行线的性质推导出，从而得出三角形相似，利用相似比求出点D的坐标．
【详解】
（1）将、代入y＝ax2+bx+2，
得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）①当时，，
当时，，
∴，，，
∴，
,
,
，
为直角三角形，其中，
∴;
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②过作轴的平行线，
过作轴平行线交于，
设点D坐标为,则，
，
∵，
∴，
,
,
，，
,
∴，
解得：，（舍），
∴．
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【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数详解式 ( http: / / www.21cnjy.com )、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用这些知识点并根据已知条件做好辅助线．
25．(本题15分)已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上．
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（1）如果点P与点C重合，求线段的长；
（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标；
（3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）且．
【分析】
（1）根据题意求出C点的坐标，由点P与点C重合列等式求解即可；
（2）由题意代入原点坐标可得出点P的坐标，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，根据三角函数值可证明，从而得到OG=PG，得到G点的坐标，求出PG所在直线的详解式，联立等式求解即可；
（3）分别求出B、P的坐标，求出直线BP的详解式，令y=0，可得直线BP与x轴的交点横坐标，求其小于0的取值范围即可．
【详解】
（1）如图1，抛物线与x轴相交于C点，
，
，
C点在D点的左侧，C(m-2，0)，
又点P与点C重合，，
m-2=1，m=3，
，A(3，4)，P(1，0)，
；
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（2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入，
得，
顶点A在第一象限，m=2，
=，当x=1时，y=3，P(1，3)，
如图2，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，
，，
，
设PQ延长线与x轴交于点G（x，0），
又OG=PG，，解得x=5，
检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解，
G（5,0），
设直线PG的详解式为：y=kx+b，
将P，G两点坐标代入得，求得 ，
PG所在直线的详解式为，
联立直线PG和抛物线详解式可得 ，
解得或，Q；
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（3）如图3，点在该抛物线上，代入中，
，，
又抛物线与y轴交于点B，B（0，），
设直线BP的详解式为：y=kx+b，
代入B、P两点，，
则，直线BP的详解式为：，
令y=0，，
直线与x轴的负半轴相交，
， 或，
解得m<-2或又顶点A在第一象限，m>0,
点A与点P不重合，，
综上所述，且．
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【点睛】
本题考查抛物线与坐标轴交点，抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线顶点，一次函数与抛物线交点等问题，还涉及解直角三角形，综合性比较强，难度比较大，需要有较强的数形结合思想，充分掌握一次函数和二次函数综合知识，运用图形解题是解决本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
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