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27.3.1位似（2）学案
课题 27.3.1位似（2） 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，掌握对应点的坐标变化的规律。学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换。学会在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形。
重点 在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形。
难点 掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律。
教学过程
导入新课 【引入思考】我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？探究一：直角坐标系中的位似变换1.在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化.2.如图，△AOC三个顶点坐标分别为A（4，4），O（0，0），C（5，0）.以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
新知讲解 提炼概念 一般地，在平面直角坐标系中， 以原点O为位似中心，位似比为k，若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A'的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.典例精讲 例 如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (-2，4)，B (-2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为.
课堂练习 巩固训练1. 如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，则位似中心在_________,D点坐标为__________，E点的坐标为______________． 2．将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（ ）A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变 B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2 D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2 3. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（－2 ，3），（－1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′．下列说法正确的是（ ）A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形 △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，-2)，B (4，-5)，C (5，-2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍．5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B和点B′的坐标分别为B（3,1），B′(6,2).（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：①若点A的坐标为（2.5,3），则点A′的坐标为_________;②△ABC与△A′B′C′的相似比为________;（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积.（用含m的代数式表示）答案引入思考1.把 AB 缩小后的线段为A′B′、A″B″，A，B 的对应点坐标为：A′(2，1)，B′(2，0 ；A″(2，-1)，B"(-2，0).当位似图形在原点同侧时，对应顶点坐标比为 ；当位似图形在原点两侧时，对应顶点坐标比为-．2. 位似变换后A，O，C的对应点为A'(8 ，8 )，O(0，0 )，C' (10 ，0)；A"(-8 ，-8)，O(0 ，0），C" (-10 ，0 )．当位似图形在原点同侧时，对应顶点坐标比为 2；当位似图形在原点两侧时，对应顶点坐标比为-2提炼概念典例精讲 例 解：方法一：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).顺次连接点 A′，B′，O，所得的 △A′B′O 就是要画的一个图形.方法二：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (3，-6)，B′ (3，0)，O (0，0).顺次连接点 A′，B′，O，所得的 △A′B′O 就是要画的一个图形.巩固训练1.原点，（－2，0），（-2，）2.答案C3.B4.画法一：A' (4，－4)，B' (8，－10)，C' (10，－4)；画法二：A″ (－4，4)，B″ (－8，10)，C″ (－10，4).5.（1）(5,6) 1：2（2）解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4.∵△ABC的面积为m，∴△A′B′C′的面积为4m.
课堂小结 本节课学习了什么内容呢？
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27.3.1位似（2）教案
课题 27.3.1位似（2） 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，掌握对应点的坐标变化的规律。学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换。学会在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形。
重点 在平面直角坐标系中画一个图形的位似图形。
难点 掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？探究一：直角坐标系中的位似变换1.在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化.把 AB 缩小后的线段为A′B′、A″B″，A，B 的对应点坐标为：A′(2，1)，B′(2，0 ；A″(2，-1)，B"(-2，0).当位似图形在原点同侧时，对应顶点坐标比为 ；当位似图形在原点两侧时，对应顶点坐标比为-．2.如图，△AOC三个顶点坐标分别为A（4，4），O（0，0），C（5，0）.以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？位似变换后A，O，C的对应点为A'(8 ，8 )，O(0，0 )，C' (10 ，0)；A"(-8 ，-8)，O(0 ，0），C" (-10 ，0 )．当位似图形在原点同侧时，对应顶点坐标比为 2；当位似图形在原点两侧时，对应顶点坐标比为-2教师归纳总结讲解：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个． 思考自议从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。 教师出示问题，师生共同探究在平面直角坐标系中的位似图形坐标变换的规律。
讲授新课 提炼概念一般地，在平面直角坐标系中， 以原点O为位似中心，位似比为k，若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A'的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.三、典例精讲 ．【例】如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (-2，4)，B (-2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为.分析：画三角形关键是确定它各顶点的坐标.根据前面的归纳可知，点A的对应点A′的坐标为（，），即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.解：方法一：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).顺次连接点 A′，B′，O，所得的 △A′B′O 就是要画的一个图形.方法二：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (3，-6)，B′ (3，0)，O (0，0).顺次连接点 A′，B′，O，所得的 △A′B′O 就是要画的一个图形.【想一想】至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？总结位似与平移、轴对称、旋转变换的异同： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。 通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课堂检测 四、巩固训练1. 如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，则位似中心在_________,D点坐标为__________，E点的坐标为______________． (答案：原点，（－2，0），（-2，）) 2．将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（ ）A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变 B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2 D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2 答案C3. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（－2 ，3），（－1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′．下列说法正确的是（ ）A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形 3.B4. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，-2)，B (4，-5)，C (5，-2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍．画法一：A' (4，－4)，B' (8，－10)，C' (10，－4)；画法二：A″ (－4，4)，B″ (－8，10)，C″ (－10，4).5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B和点B′的坐标分别为B（3,1），B′(6,2).（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：①若点A的坐标为（2.5,3），则点A′的坐标为_________;②△ABC与△A′B′C′的相似比为________;（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积.（用含m的代数式表示）（1）(5,6) 1：2（2）解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4.∵△ABC的面积为m，∴△A′B′C′的面积为4m.
课堂小结 本节课学习了什么内容呢？
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人教版 九年级下
27.3.1位似（2）
新知导入
情境引入
那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
点的平移规律：左减右加纵不变，上加下减横不变。
关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
平 移
轴对称
关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数。
中心对称
关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数。
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称).
新知导入
合作学习
O
y
x
A(1,2.5)
B(0,1)
C(2,1)
直角坐标系中的变换：
平移
轴对称
旋转
5
位似图形在直角坐标系中又有什么规律呢？
探究一：直角坐标系中的位似变换
A(6,3)
5
B(6,0)
①画出线段AB
A′
B′
B″
在直角坐标系中，画出线段AB,其中A(6，3)，B(6，0). 再以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小.
还有满足条件的线段吗？
②连接位似中心O
③找 的对应点
O
x
y
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )，
B' ( ， )；
A" ( ， )，
B" ( ， ).
2
1
2
0
－2
－1
－2
0
O
x
y
A(6,3)
5
B(6,0)
A′
B′
B″
A″
O
x
y
①画出△AOC
②连接位似中心O，找到相似比为2的对应点
A(4,4)
C(5,0)
5
5
在直角坐标系中，△AOC 的三个顶点的坐标分别为A(4,4), O(0,0)，C(5,0).以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大.
经过位似变换还可以得到其他图形吗？
合作探究
y
如图，把 △AOC 放大后 A，O，C 的对应点为:
A' ( ， )，
C' ( ， )；
A" ( , )，
C" ( ， ).
8
8
10
0
－8
－8
－10
0
提炼概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
位似图形的坐标规律：
典例精讲
新知讲解
例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO的相似比为 .
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
分析：画三角形关键是确定它各顶点的坐标.根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ，即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).
A′
B′
顺次连接点 A′，B′，O，所得的 △A′B′O 就是要画的一个图形.
还有其他画法吗？自己试一试.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
想 一 想
归纳概念
名称 规律 变换方式
平移
轴对称 旋转 位似
对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度.
以x轴为对称轴，则对应点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
以y轴为对称轴，则对应点纵坐标相等，横坐标互为相反数.
若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数.
当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的同名坐标之比的绝对值等于相似比.
全等变换
相似变换
位似与平移、轴对称、旋转变换的对比
课堂练习
1. 如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，则位似中心在_________,D点坐标为__________，E点的坐标为 ．
（－2，0）
原点
2．将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作
如下变化，其中属于位似变换的是（ ）
A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变
B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变
C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2
D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2
C
3. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（－2 ，3），（－1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′．下列说法正确的是（ ）
A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，
位似中心是点（1，0）
B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，
位似中心是点（0，0）
C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，
但不是位似图形
D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形
B
4. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，-2)，B (4，-5)，C (5，-2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍．
画法一：
A' (4，－4)，
B' (8，－10)，
C' (10，－4)；
画法二：
A″ (－4，4)，
B″ (－8，10)，
C″ (－10，4).
C
2
4
6
－4
x
y
A
B
2
－2
B'
A'
C'
A"
B"
C"
课堂练习
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B和点B′的坐标分别为B（3,1），B′(6,2).
（1）请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A的坐标为（2.5,3），则
点A′的坐标为_________;
②△ABC与△A′B′C′的相似比
为________;
(5,6)
1：2
课堂练习
（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积.（用含m的代数式表示）
∴△A′B′C′的面积为4m.
解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4.
∵△ABC的面积为m，
课堂总结
用坐标表示位似
坐标特征
作图方法
点 (x，y) 关于原点位似的对应点的坐标
为： (k x， k y) 或 (-k x， -k y) 。
综合运用
确定图形关键点的对应点坐标
描点
顺次连线
平面直角坐标系中平移、轴对称、旋转
和位似的综合作图．
课堂小结
作业布置
教材课后配套作业题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
