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28.1锐角三角函数(1)
课题 28.1锐角三角函数(1) 单元 第28单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比．2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．3.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．
重点 锐角三角函数的概念．
难点 锐角三角函数概念的理解．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB.根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即＝＝，可得AB＝2BC＝70 m，即需要准备70 m长的水管．思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？学生按与上面相似的过程，自主解决．●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，AB＝BC，＝＝＝.●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则＝.●结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．●正弦的概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝.例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝；当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝.当∠A＝60°时，sinA＝sin60°＝ 思考自议学生思考、交流，将实际问题转化成三角形中的问题. 关注学生能否画出正确图形.
讲授新课 提炼概念※注意：1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF.3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？sinB＝＝.三、典例精讲 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝5.∴sinA＝＝，sinB＝＝.如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝12.∴sinA＝＝，sinB＝＝. 学生自主探究，通过全等容易得出结果. 培养学生解决问题的能力，掌握从特殊到一般的探究模式.
课堂检测 四、巩固训练 1.判断对错:答案：√ × × √ ×2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=则边AC的长是( A )A. B.3 C. D.3.如图, ∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比 若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
课堂小结
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28.1锐角三角函数(1)
课题 28.1锐角三角函数(1) 单元 第28单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA表示直角三角形中两边的比．2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．3.通过学习培养学生的合作意识，提高学生学习数学的兴趣．
重点 锐角三角函数的概念．
难点 锐角三角函数概念的理解．
教学过程
导入新课 【引入思考】美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？
新知讲解 提炼概念 正弦的概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝. 典例精讲 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
课堂练习 巩固训练1.判断对错:2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=则边AC的长是( )A. B.3 C. D.3.如图, ∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比 若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.答案引入思考 分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB.根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即＝＝，可得AB＝2BC＝70 m，即需要准备70 m长的水管．思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？学生按与上面相似的过程，自主解决．●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，AB＝BC，＝＝＝.●结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则＝.●结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．提炼概念典例精讲 例 解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝5.∴sinA＝＝，sinB＝＝.如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝12.∴sinA＝＝，sinB＝＝.巩固训练1.判断对错:答案：√ × × √ ×2. A 3.4.
课堂小结 小
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人教版 九年级下
28.1锐角三角函数(1)
新知导入
情境引入
美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？
11
新知导入
合作学习
1.以前我们学习了哪些函数？
2.函数定义是什么？
正比例函数，一次函数，二次函数；
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个
确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自
变量，y是x的函数．
我们今天学习一种新的函数．
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为:
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求 AB．
35 m
A
B
C
根据“在直角三角形中，30°角对应的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70(m)。也就是说，需要准备70m长的水管。
C＇
B＇
50 m
35 m
A
B
C
a m
D
E
问题2 在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？如果是am呢？
结论： 在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值是一个固定值，为 ．
即
问题3：如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90°，
∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比 ．由此你能得出什么结论？
由勾股定理得：
因此
结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，为 ．
即
综上可知，在Rt△ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值。一般地，当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
探究1 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C =∠C＇=90°．∠A=∠A＇，那么 与 有什么关系 你能解释一下吗？
∴ Rt △ABC ∽Rt △A'B'C'
∵ ∠C= ∠C＇=90°，∠A=∠A＇
∴
∴
这就是说，在Rt△ABC 中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形形状如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。
提炼概念
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即
例如，当∠A=30°时，我们有
例如，当∠A=45°时，我们有
∠A 的正弦sin A 随着∠A 的变化而变化．
方法点拨
注意：
1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sinA，sin 56°，sin∠DEF.
3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
正弦的表示
sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号）
sinA 、 sin39 ° 、 sinβ （省去角的符号）
1
2
典例精讲
新知讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
4
(1)
A
B
C
13
5
(2)
解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得
如图（2），在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此 sin A=
sin B=
A
B
C
13
5
(2)
归纳概念
计算一个锐角的正弦值要注意哪些问题？
要注意两个方面的问题：
一是确定这个锐角所在的直角三角形；
二是要注意正弦等于这个锐角的对边与斜边的比．
课堂练习
1.判断对错:
A
10m
6m
B
C
1) 如图 (1) sinA= （ ）
(2)sinB= （ ）
(3)sinA=0.6m （ ）
(4)SinB=0.8 （ ）
√
√
×
×
×
2)如图，sinA= （ ）
解析:如图,
而BC=2,
A
2. 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA= 则边AC的长是( )
A. B.3 C. D.
3.如图, ∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比
若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
┌
A
C
B
D
解: ∵∠B=∠ACD
∴sinB=sin∠ACD
在Rt△ACD中，AD=
sin ∠ACD=
∴sinB=
=4
4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
课堂总结
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =
作业布置
教材课后配套作业题。
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