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28.1锐角三角函数(2) 教案
课题 28.1锐角三角函数(2) 单元 第28单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用cos，tan表示直角三角形中两边的比．2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．
重点 锐角三角函数的概念．
难点 锐角三角函数概念的理解．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题你能回忆起，正弦是怎么定义的吗？用公式怎样表示？sin30°＝__________； sin45°＝_____________. sin60°＝____________注意：1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2、sinA是一个比值（数值）。 3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。直角三角形中还有另外的一直角边、斜边，那么它们的比值是否也有同样的规律？今天我们一起来学习！思考1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比是否也随之确定了呢？为什么？探究一：如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？教师用类比的方法引导学生思考、讨论．●结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的邻边与斜边的比是一个固定值．●余弦的概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝.思考：当∠A取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念．探究二：如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？●正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A的对边和邻边．我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 思考自议学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论 . 教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知.
讲授新课 提炼概念思考1：如果两个角互余 ，那么这两个角的正弦、余弦值有什么关系？若α与β互余，则sinα= cosβ， sinβ=cosα。思考2：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？若α与β互余，则tanα. tanβ=1。三、典例精讲 例2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．解：由勾股定理得AC＝＝＝8，因此 sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝.※注意：运用数形结合思想 先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法. 能用所学知识解决问题，也可增强学生的学习兴趣.
课堂检测 四、巩固训练 1．在 ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（ ） A 、b= a tanA B、b= c sinA C、 a= c cosB D、c= a sinA 1.C2．已知在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果b=5a，那么∠A的正切值为________.3.如图，A , B , C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为 。14.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tanA= ， 求sinA，cosA 的值．5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若AD = 9，CD =12. 求 tanB 的值.
课堂小结
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28.1锐角三角函数(2) 学案
课题 28.1锐角三角函数(2) 单元 第28单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用cos，tan表示直角三角形中两边的比．2.通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．
重点 锐角三角函数的概念．
难点 锐角三角函数概念的理解．
教学过程
导入新课 【引入思考】【思考】如图所示，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则成立吗？为什么？【归纳】在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即_________________.【思考】如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则成立吗？为什么？【归纳】由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即_______________.【思考】如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？________________________________________________________________.∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数.
新知讲解 提炼概念 思考1：如果两个角互余 ，那么这两个角的正弦、余弦值有什么关系？若α与β互余，则sinα= cosβ， sinβ=cosα。思考2：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？若α与β互余，则tanα. tanβ=1。【归纳】从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cos α = sin (90°－α),从而有sin α = cos (90°－α) 典例精讲 【例1】如图，在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.【点睛】在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值
课堂练习 巩固训练1．在 ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（ ） A 、b= a tanA B、b= c sinA C、 a= c cosB D、c= a sinA 2．已知在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果b=5a，那么∠A的正切值为________.3.如图，A , B , C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为 。4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tanA= ， 求sinA，cosA 的值．5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若AD = 9，CD =12. 求 tanB 的值.答案引入思考余弦的概念：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝.正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A的对边和邻边．我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝.提炼概念典例精讲 解：由勾股定理得AC＝＝＝8，因此 sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝.※注意：运用数形结合思想巩固训练C1/51 5.
课堂小结 小
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人教版 九年级下
28.1锐角三角函数(2)
新知导入
情境引入
新知导入
1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA是一个比值（数值）。
3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦
新知导入
合作学习
A
B
C
思考1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比是否也随之确定了呢？为什么？
∠A邻边b
∠A对边a
斜边c
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
探究一：余弦函数
∵
∠A=∠D，∠C=∠F=90°，
∴
∠B=∠E，
从而 sinB = sinE，
因此
在Rt△ABC 中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何， ∠A的邻边与斜边的比都是一个固定值。
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
归纳总结：
∠A的邻边
斜边
cos A =
A
B
C
∠A邻边b
斜边c
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？
A
B
C
D
E
F
探究二：正切函数
∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°，
∵
∴
∴
提炼概念
在Rt△ABC 中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何， ∠A的对边与邻边的比都是一个固定值。
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA ，即
归纳总结：
∠A的对边
tanA =
A
B
C
∠A邻边b
∠A的邻边
∠A对边a
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数.
典例精讲
新知讲解
例2： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得
因此
注意运用数形结合思想
归纳概念
思考1：如果两个角互余 ，那么这两个角的正弦、余弦值有什么关系？
如果两个角互余，那么其中一个角的正弦值等于另一个角的余弦值；
即：若α与β互余，则sinα= cosβ， sinβ=cosα。
思考2：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
如果两个角互余，那么这两个角的正切值互为倒数；
即：若α与β互余，则tanα. tanβ=1。
课堂练习
1．在 ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（ ）
A 、b= a tanA B、b= c sinA
C、 a= c cosB D、c= a sinA
C
2．已知在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果b=5a，那么∠A的正切值为________.
3.如图，A , B , C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为 。
1
A
B
C
8
解：∵
4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tanA= ， 求sinA，cosA 的值．
∴
∴
∴
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若AD = 9，CD =12. 求 tanB 的值.
解: ∵ CD⊥AB，
∠ACB＝ ∠ADC =90°，
∴∠B+ ∠A=90°，
∠ACD+ ∠A =90°，
∴∠B = ∠ACD，
∴ tan∠B = tan∠ACD =
课堂总结
余弦函数和
正切函数
余弦
正切
性质
∠A的邻边
斜边
cos A =
∠A的对边
tan A =
∠A的邻边
∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关
作业布置
教材课后配套作业题。
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