2021期末复习专题 北师大版七上数学第四章基本平面图形压轴题二（word版含解析）

第四章 基本平面图形压轴题二
1．（2020秋 肥东县期末）（1）如图1，射线OC在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠AOB＝110°，求∠MON的度数；
（2）射线OC，OD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠AOB＝100°，∠COD＝20°，求∠MON的度数；
（3）在（2）中，∠AOB＝m°，∠COD＝n°，其他条件不变，请用含m，n的代数式表示MON的度数（不用说理）．
2．（2021 罗湖区校级模拟）如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．
（1）当t＝0秒时，AC的长为　 　，当t＝2秒时，AC的长为　 　．
（2）用含有t的代数式表示AC的长为　 　．
（3）当t＝　 　秒时AC﹣BD＝5，当t＝　 　秒时AC+BD＝15．
（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2020秋 东西湖区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，绕点O逆时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）
（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为 　 　度．
（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
（3）若直角△MON绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值．
4．（2020秋 香坊区校级月考）已知点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB＝70°，∠COD＝120°．
（1）如图1，若OB平分∠AOD，求∠AOC的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOC，过点O作射线OG，∠GOD＝90°，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若2∠AOE﹣∠EOC＝105°，在∠BOD的内部作一条射线OM，若∠BOM：∠DOM＝2：3，求的值．
5．（2019秋 南海区期末）已知：∠AOB＝90°，∠COD＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
（1）如图1，∠COD在∠AOB内部，且∠AOC＝30°．则∠MON的大小为　 　．
（2）如图1，∠COD在∠AOB内部，若∠AOC的度数未知，是否能求出∠MON的大小，若能，写出你的解答过程；若不能，说明理由．
（3）如图2，∠COD在∠AOB外部（OM在OD上方，∠BOC＜180°），试求出∠MON的大小．
6．（2019秋 南召县期末）已知：O为直线AB上的一点，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方向（即AB⊥MN），射线OC，射线OE的方向如各图所示．
（1）如图1所示，当∠COE＝90°时：
①若∠AOE＝20°，则射线OE的方向是　 　．
②∠AOE与∠CON的关系为　 　．
③∠AOC与∠EON的关系为　 　．
（2）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图2的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°．
①若∠AOF＝24°，则∠EOF＝　 　度．
②若∠AOF＝β，则∠CON＝　 　（用含β的代数式表示）．
（3）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°，则∠CON与∠AOF之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
7．（2019秋 玄武区期末）已知：∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON＝　 　度．
（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．
8．（2019秋 邛崃市期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
9．（2018秋 东城区期末）已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为　 　°，∠CON的度数为　 　°；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为　 　°；
（3）请从下列（A），（B）两题中任选一题作答．
我选择：　 　．
（A）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为　 　°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC　 　∠BON（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（B）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为　 　°；∠AOM﹣∠CON的度数为　 　°．
10．（2020秋 城厢区期末）已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
11．（2020秋 广安期末）已知，O是直线AB上一点，∠DOC＝90°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为 　 　；若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　 　（用含有α的式子表示）．
（2）将图1中的∠DOC绕顶点O按顺时针方向旋转至图2的位置，试探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O按逆时针方向旋转至图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　 　（用含有α的式子表示），并说明理由．
12．（2021 建邺区校级开学）如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点 　 　这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．
（2）【深入研究】
如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．
①点M在运动的过程中表示的数为 　 　（用含t的代数式表示）．
②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．
③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．
13．（2020秋 奉化区校级期末）已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON的度数为　 　．
（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM的度数（用m的式子表示）；
（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．
14．（2021 商河县校级模拟）如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．
（1）如图①，当∠AOB＝80°时，则∠DOE的度数为　 　°；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；
（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是　 　．
15．（2021秋 安溪县期中）阅读理解，完成下列各题：
定义：已知A、B、C为数轴上任意三点，若点C到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则称点C是[A，B]的3倍点，例如：如图1，点C是[A，B]的3倍点，点D不是[A，B]的3倍点，但点D是[B，A]的3倍点，根据这个定义解决下面问题：
（1）在图1中，点A　 　[C，D]的3倍点（填写“是”或“不是”）；[D，C]的3倍点是点 　 　（填写A或B或C或D）；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M表示的数是﹣3，点N表示的数是5，若点E是[M，N]的3倍点，则点E表示的数是 　 　；
（3）若P、Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，PQ＝a，一动点H从点P出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒，求当t为何值时，点H恰好是P和Q两点的3倍点？（用含a的代数式表示）
16．（2021春 沙坪坝区期中）已知两点A、B在数轴上，AB＝9，点A表示的数是1．
（1）当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处同时出发，沿着数轴相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达表示的数为4的点时，运动停止，在整个运动过程中，当PQ＝2时，求点P、Q所表示的数；
（2）当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处出发沿着数轴向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒，当动点Q运动2秒后，动点P立即掉头以原速向左运动3秒，恰与动点Q相遇，相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当MN＝2时，求动点P、Q运动的速度．
17．（2020秋 太原期末）如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝2OB．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝4．
（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M运动的总路程和点M停止运动时在数轴上所对应的有理数．
18．（2020秋 罗湖区校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数　 　；点P表示的数　 　（用含t的代数式表示）
（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是　 　．
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
19．（2019秋 高邑县期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　 　；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是　 　．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
20．（2020秋 高新区校级期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值．a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，此时，A与B两点间的距离为　 　个单位长度；
（3）数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为　 　（用t的关系式表示即可）；
②请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
2021年12月13日李老师的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．（2020秋 肥东县期末）（1）如图1，射线OC在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，若∠AOB＝110°，求∠MON的度数；
（2）射线OC，OD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠AOB＝100°，∠COD＝20°，求∠MON的度数；
（3）在（2）中，∠AOB＝m°，∠COD＝n°，其他条件不变，请用含m，n的代数式表示MON的度数（不用说理）．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得：∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，相加可得∠MON的度数；
（2）根据角平分线的定义可得：∠COM＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，将∠MON分成三个角相加，并等量代换可得结论；
（3）同理可得结论．
【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC，
同理∠CON＝∠BOC，
∵∠MON＝∠COM+∠CON，
∴∠MON＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝×110°＝55°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC，
同理可得：∠DON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠COM+∠DON+∠COD，
＝∠AOC+∠BOD+∠COD，
＝（∠AOC+∠BOD）+∠COD，
＝（∠AOB﹣∠COD）+∠COD，
＝（∠AOB+∠COD），
∵∠AOB＝100°，∠COD＝20°，
∴∠MON＝（100°+20°）＝60°，
（3）由（2）得：∠MON＝（m+n）°．
2．（2021 罗湖区校级模拟）如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．
（1）当t＝0秒时，AC的长为　2　，当t＝2秒时，AC的长为　4　．
（2）用含有t的代数式表示AC的长为　t+2　．
（3）当t＝　6　秒时AC﹣BD＝5，当t＝　11　秒时AC+BD＝15．
（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）依据A、C两点间的距离＝|a﹣b|求解即可；
（2）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，从而点C表示的数；根据A、C两点间的距离＝|a﹣b|求解即可．
（3）t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，从而可得到点A、点D表示的数；根据两点间的距离＝|a﹣b|表示出AC、BD，根据AC﹣BD＝5和AC+BD＝15得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；
（4）假设能够相等，找出AC、BD，根据AC＝2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）当t＝0秒时，AC＝|﹣2﹣0|＝|﹣2|＝2；
当t＝2秒时，移动后C表示的数为2，
∴AC＝|﹣2﹣2|＝4．
故答案为：2；4．
（2）点A表示的数为﹣2，点C表示的数为t；
∴AC＝|﹣2﹣t|＝t+2．
故答案为t+2．
（3）∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度，点D运动的距离为t个单位长度，
∴C表示的数是t，D表示的数是3+t，
∴AC＝t+2，BD＝|12﹣（3+t）|，
∵AC﹣BD＝5，
∴t+2﹣|12﹣（t+3）|＝5．
解得：t＝6．
∴当t＝6秒时AC﹣BD＝5；
∵AC+BD＝15，
∴t+2+|12﹣（t+3）|＝15，
t＝11；
当t＝11秒时AC+BD＝15，
故答案为6，11；
（4）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣2，C表示的数为t，D表示的数为t+3，B表示的数为12，
∴AC＝|2t﹣2﹣t|＝|t﹣2|，BD＝|t+3﹣12|＝|t﹣9|，
∵AC＝2BD，
∴|t﹣2|＝2|t﹣9|，
解得：t1＝16，t2＝．
故在运动的过程中使得AC＝2BD，此时运动的时间为16秒和秒．
3．（2020秋 东西湖区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，绕点O逆时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）
（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为 　90　度．
（2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么样的等量关系，并说明理由．
（3）若直角△MON绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值．
【分析】首先根据∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°，求出∠AOC＝45°和∠BOC135°；
（1）根据旋转角等于∠NOB＝90°，即可求解；
（2）根据∠AOM+∠AON＝90°，∠AON+∠CON＝∠45°，即可求解；
（3）先求出旋转角，再除以5即可求解．
【解答】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝45°，∠BOC＝135°
（1）由ON落在射线OB上，可知旋转角为：∠NOB＝90°；
故答案为90．
（2）∵∠AOM+∠AON＝90°，∠AON+∠NOC＝∠AOC＝45°，
∴∠AOM﹣∠NOC＝45°；
（3）∵ON所在直线恰好平分∠AOC，
∴∠AON＝∠AOC÷2＝45°÷2＝22.5°，
此时旋转角为：90°+22.5°＝112.5°
112.5÷5＝22.5（秒），
或（112.5+180）÷5＝58.5（秒）
所以直角△MON绕点O的运动时间是22.5秒或58.5秒．
4．（2020秋 香坊区校级月考）已知点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB＝70°，∠COD＝120°．
（1）如图1，若OB平分∠AOD，求∠AOC的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOC，过点O作射线OG，∠GOD＝90°，求∠EOG的度数；
（3）如图3，若2∠AOE﹣∠EOC＝105°，在∠BOD的内部作一条射线OM，若∠BOM：∠DOM＝2：3，求的值．
【分析】（1）根据角平分线定义和周角是360°可得∠AOC的度数；
（2）分两种情况：当OG在EF上方和当OG在EF下方，分别画出图形记性计算即可；
（3）画出图形，根据比例设未知数，求得角的度数，再计算比值即可．
【解答】解：（1）∵OB平分∠AOD，
∴∠AOB＝∠BOD＝70°，
∵∠COD＝120°，
∵∠AOC+∠COD+∠BOD+∠AOB＝360°，
∴∠AOC＝360°﹣70°﹣70°﹣120°＝100°，
答：∠AOC的度数是100°
（2）由（1）可知∠AOC＝100°，
∵OE平分∠AOC，
∴，
当OG在EF上方时，
∵∠GOD＝90°，且∠AOE+∠AOB+∠BOD＝∠EOG+∠GOD，
∴50°+70°+70°＝∠EOG+90°，
∴∠EOG＝100°．
当OG在EF下方时，
∵∠COD＝120°，且∠COG+∠GOD＝∠COD，
∴∠COG+90°＝120°，
∴∠COG＝30°，
∴∠EOG＝∠EOC+∠COG＝50°+30°＝80°．
答：∠EOG的度数是100°或80°．
（3）如图②，
∵∠BOM：∠DOM＝2：3，
∴设∠BOM＝2α，则∠DOM＝3α，∠BOD＝5α，
设∠AOE＝β，
∵2∠AOE﹣∠EOC＝105°，
∴∠EOC＝2β﹣105°，
∵∠AOB＝70°，∠COD＝120°，且∠EOC+∠AOE+∠AOB+∠BOD+∠COD＝360°，
∴∠EOC＝360°﹣β﹣70°﹣5α﹣120°＝170°﹣5α﹣β，
∴170°﹣5α﹣β＝2β﹣105°，
解得，
∵∠FOM+∠BOM+∠AOB+∠AOE＝180°，
∴∠FOM＝180°﹣2α﹣70°﹣β＝110°﹣2α﹣β＝＝，
∴．
答：的值是5．
5．（2019秋 南海区期末）已知：∠AOB＝90°，∠COD＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
（1）如图1，∠COD在∠AOB内部，且∠AOC＝30°．则∠MON的大小为　55°　．
（2）如图1，∠COD在∠AOB内部，若∠AOC的度数未知，是否能求出∠MON的大小，若能，写出你的解答过程；若不能，说明理由．
（3）如图2，∠COD在∠AOB外部（OM在OD上方，∠BOC＜180°），试求出∠MON的大小．
【分析】（1）由角平分线的意义，余角的意义可得∠MON＝∠DON+∠COM+∠COD＝（∠BOD+∠AOC）+∠COD，得出答案．
（2）利用（1）的方法，可得结论；
（3）当∠COD在∠AOB外部时，利用同样的方法可得结论不变．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠AOB＝90°，∠COD＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠DON+∠COM＝（∠BOD+∠AOC）＝（90°﹣20°）＝35°，
∴∠MON＝∠DON+∠COM+∠COD＝35°+20°＝55°，
故答案为：55°．
（2）能，如图1，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOD＝∠BOD，
∴∠MON＝∠NOD+∠DOC+∠MOC，
＝∠BOD∠AOC+20°，
＝（∠BOD+∠AOC）+20°，
＝（90°﹣20°）+20°，
＝55°．
故答案为：55°，
（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOD＝∠BOD，
∴∠MON＝∠NOD+∠DOC﹣∠MOC，
＝∠BOD+20°∠AOC，
＝（90°+∠AOD）+20°（∠AOD+20°），
＝45°+∠AOD+20°∠AOD﹣10°
＝55°．
6．（2019秋 南召县期末）已知：O为直线AB上的一点，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方向（即AB⊥MN），射线OC，射线OE的方向如各图所示．
（1）如图1所示，当∠COE＝90°时：
①若∠AOE＝20°，则射线OE的方向是　北偏东20°　．
②∠AOE与∠CON的关系为　∠AOE＝CON　．
③∠AOC与∠EON的关系为　∠AOC+∠EON＝180°　．
（2）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图2的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°．
①若∠AOF＝24°，则∠EOF＝　24　度．
②若∠AOF＝β，则∠CON＝　2β　（用含β的代数式表示）．
（3）若将射线OC，射线OE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠COM，旋转中始终保持∠COE＝90°，则∠CON与∠AOF之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①根据方位角的定义可以说明OE的方向；②根据同角的余角相等得出答案；③由同角的余角相等可证出∠EON＝∠BOC，再根据平角定义得出结论；③根据同角的余角相等得到∠EON＝∠BOC，再根据平角的意义得出结论；
（2）①根据等角的余角相等，得出∠AOC＝∠EOM，再根据角平分线，得出∠EOF＝∠AOF；②由∠CON＝∠AOE，∠AOF＝∠EOF得∠CON＝∠AOF＝2β，
（3）由同角的余角相等可得∠COM＝∠BOE，进而得出∠CON＝∠AOE，再根据角平分线的意义，得出∠CON＝2∠AOF．
【解答】解：（1）如图1①由方位角的表示方法得，射线OE的方向是北偏东20°，故答案为：北偏东20°；
②∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠EON＝90°，
∴∠AOE＝∠CON；
故答案为：∠AOE＝∠CON；
③∵∠AOE+∠EON＝∠CON+∠BOC，
∴∠EON＝∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC+∠EON＝180°，
故答案为：∠AOC+∠EON＝180°，
（2）如图2，①∵∠COE＝90°．
∴∠AOC+∠AOE＝90°＝∠AOE+∠EOM，
∴∠AOC＝∠EOM，
∵OF恰好平分∠COM，
∴∠MOF＝∠OCF，即：∠MOE+∠EOF＝∠AOC+∠AOF，
∴∠EOF＝∠AOF＝24°
故答案为：24°
②∵∠CON+∠AOC＝90°＝∠AOC+∠AOE，
∴∠CON＝∠AOE，
∵∠EOF＝∠AOF＝β，
∴∠CON＝2∠AOF＝2β；
故答案为：2β．
（3）如图3，由同角的余角相等可得∠COM＝∠BOE，
∴∠CON＝∠AOE，
∵OF平分∠COM，
∴∠COF＝∠MOF，
∴∠CON＝∠AOE＝2∠COF+2∠AOC＝2∠AOF，
∴∠CON＝2∠AOF．
7．（2019秋 玄武区期末）已知：∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON＝　80　度．
（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．
【分析】（1）依据OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，即可得到∠MON＝∠BOM+∠BON＝（∠AOB+∠BOD）＝∠AOD；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，再根据∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM＝ （10°+2t+20°），∠DON＝ （160°﹣10°﹣2t），∠AOM：∠DON＝2：3，即可得到3（30°+2t）＝2（150°﹣2t），进而得出t的值．
【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON
＝（∠AOB+∠BOD）
＝∠AOD
＝80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOB+∠BOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
＝×180°﹣20°
＝70°；
（3）∵∠AOM＝ （10°+2t+20°），∠DON＝ （160°﹣10°﹣2t），
又∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴3（30°+2t）＝2（150°﹣2t），
得t＝21．
答：t为21秒．
8．（2019秋 邛崃市期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
【分析】（1）利用含有30°、60°的三角板得出∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，进而求出即可；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，则∠APF＝∠DPF＝2x+y，进而利用∠CPA＝60°求出即可；
（3）首先得出值不变，设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，表示出∠CPD和∠BPN的度数即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，
则∠APF＝∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x+y＝60°，
∴x+y＝30°
∴∠EPF＝x+y＝30°
（3）不变．
设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝360﹣∠DBP﹣∠BPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90﹣t，
∴＝＝．
9．（2018秋 东城区期末）已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为　120　°，∠CON的度数为　150　°；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为　30　°；
（3）请从下列（A），（B）两题中任选一题作答．
我选择：　A（或B）　．
（A）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为　30　°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC　＝　∠BON（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（B）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为　150　°；∠AOM﹣∠CON的度数为　30　°．
【分析】（1）利用两角互补，即可得出结论；
（2）根据OM平分∠BOC，可得出∠BOM＝60°，由∠BOM+∠BON＝∠MON＝90°可求得∠BON的度数；
（3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，∠BOC与∠AOC互补，∠AON＝90°
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∠CON＝∠AOC+∠AON＝60°+90°．
故答案为：120；150．
（2）∵三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，∠BOC＝120°，
∴∠BOM＝∠BOC＝60°，
又∵∠MON＝∠BOM+∠BON＝90°，
∴∠BON＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
（3）（A）∵∠AOD＝∠BON（对顶角），∠BON＝30°，
∴∠AOD＝30°，
又∵∠AOC＝60°，
∴∠DOC＝∠AOC﹣∠AOD＝60°﹣30°＝30°＝∠BON．
（B）∵MN⊥AB，
∴∠AON与∠MNO互余，
∵∠MNO＝60°（三角板里面的60°角），
∴∠AON＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOC＝60°，150
∴∠CON＝∠AOC﹣∠AON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠COM+∠AON＝∠MON+2∠CON＝90°+2×30°＝150°，
∠AOM﹣∠CON＝∠MON﹣2∠CON＝90°﹣2×30°＝30°．
故答案为：A（或B）；30；＝；150；30．
10．（2020秋 城厢区期末）已知∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE＝∠BOC，∠DOF＝∠AOD，求∠EOF的度数．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件，∠AOB和∠COD是直角，可得出∠BOD和∠AOC与∠BOC的关系式，再根据∠AOC与∠AOB和∠BOD列出等量关系，即可得出答案；
（2）根据已知条件∠BOE＝∠BOC，可设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，再根据周角的关系可得到∠AOD的等量关系，再根据∠DOF＝∠AOD，可得到∠AOF的等量关系式，由∠BOE、∠AOB和∠AOF可列出等量关系，即可得到答案；
（3）分三种情况，①当射线OG在∠EOF内部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，可得出结果，当射线OG在∠EOF外部时，由∠GOF：∠GOE＝3：7，③当OG在∠EOF外部且在直线OE上方的时，可得出结果．
【解答】（1）∠AOD+∠BOC＝180°．
证明：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠BOD+∠BOC＝∠COD，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，
同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝4a，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝3a，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB
＝360°﹣90°﹣4a﹣90°
＝180°﹣4a，
∵∠DOF＝∠AOD，
∴∠DOF＝（180°﹣4a）＝135°﹣3a，
∴∠AOF＝∠AOD＝（180°﹣4a）＝45°﹣a，
∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+45°﹣a＝135°，
∠EOF的度数为135°；
（3）①当射线OG在∠EOF内部时，
∴∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOF+∠GOE）＝∠EOF＝×135°＝40.5°；
②当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF：∠GOE＝3：7，
∴∠GOF＝（∠GOE﹣∠GOF）
＝∠EOF
＝（∠DOF+∠COD+∠EOC）
＝ （135°﹣3a+90°+3a）
＝67.5°．
③当OG在∠EOF外部且在直线OE上方的时候求得的∠GOE超过180度，不合题意舍去．
综上所述，∠GOF 的度数是40.5°或67.5°．
11．（2020秋 广安期末）已知，O是直线AB上一点，∠DOC＝90°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为 　20°　；若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　　（用含有α的式子表示）．
（2）将图1中的∠DOC绕顶点O按顺时针方向旋转至图2的位置，试探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O按逆时针方向旋转至图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为 　180°﹣　（用含有α的式子表示），并说明理由．
【分析】（1）由已知可求出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC，即可求出∠DOE的度数；由此方法可得出结论∠DOE＝∠AOC，从而用含α的代数式表示出∠DOE的度数；
（2）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE，则得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；
（3）根据角的和差关系，角平分线的定义解答即可，
【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝70°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣70°＝20°．
∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝90°﹣α，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣（90°﹣α）＝α．
故答案为：20°，α；
（2）结论：∠DOE＝∠AOC，理由：
∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，且OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣∠AOC，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣∠AOC）＝∠AOC；
（3）∵OE平分∠BOC，
∠COE＝∠BOC＝＝，
∵∠COD是直角，
∴∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+＝180°﹣α．
故答案为：180°﹣α．
12．（2021 建邺区校级开学）如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．
（1）一条线段的中点 　是　这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．
（2）【深入研究】
如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．
①点M在运动的过程中表示的数为 　20﹣3t　（用含t的代数式表示）．
②求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．
③同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．
【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
（2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t；
②用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分三种情况讨论即可；
③用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点两侧的小线段的长，
所以一条线段的中点是这条线段的二倍点．
故答案为：是．
（2）①点M向左运动，运动的路程为3t，表示的数为20﹣3t，
故答案为：20﹣3t；
②当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t＝；
当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5；
当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或5或时，点M是线段AB的二倍点；
③当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；
当MN＝2AM时，2t﹣（30﹣3t）＝2（30﹣3t），解得：t＝；
答：t为或或时，点M是线段AN的二倍点．
13．（2020秋 奉化区校级期末）已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON的度数为　78°　．
（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM的度数（用m的式子表示）；
（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．
【分析】（1）先由角的和差关系求得∠AOB，再由角平分线求得∠BOM和∠BON，最后求此两角的和便可；
（2）先由角平分线得到，再由∠MON﹣∠CON便可得∠COM的度数；
（3）由∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，得∠AOC＝（52+2t）°，∠BOD＝（126﹣2t）°，再由角平分线求得∠AOM和∠DON，再分两种情况：∠AOM＝2∠DON和∠DON＝2∠AOM，分别列出t的方程进行解答便可．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝156°，∠BOD＝96°，
∴∠AOB＝156°﹣96°＝60°，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM＝30°，∠BON＝48°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝78°；
（2）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
∵∠MON＝∠BOM+∠BON＝（∠AOB+∠BOD）＝∠AOD＝，
∴；
（3）∵∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，
∴∠AOC＝（52+2t）°，∠BOD＝（126﹣2t）°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM＝（26+t）°，∠DON＝（63﹣t）°，
当∠AOM＝2∠DON时，26+t＝2（63﹣t），则t＝；
当∠DON＝2∠AOM时，63﹣t＝2（26+t），则t＝．
故当t＝或时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，
14．（2021 商河县校级模拟）如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．
（1）如图①，当∠AOB＝80°时，则∠DOE的度数为　40　°；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；
（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是　∠DOE＝∠BOE+∠DOA　．
【分析】（1）（2）根据角平分线定义得出∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，求出∠DOE＝（∠AOC+∠BOC）＝AOB，即可得出答案；
（3）根据角平分线定义得出∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，求出∠DOE＝（∠AOC﹣∠BOC）＝∠AOB，即可得出答案；
（4）根据角平分线定义即可求解．
【解答】解：当射线OC在∠AOB的内部时，
∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，
∴∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB，
（1）若∠AOB＝80°，则∠DOE的度数为40°．
故答案为：40；
（2）∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOC+∠BOC＝∠BOE+∠DOA．
（3）当射线OC在∠AOB的外部时 （1）中的结论不成立．理由是：
∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线
∴∠COD＝∠AOC，
∠EOC＝∠BOC，
∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOD﹣∠BOE．
（4）∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，
∴∠DOC＝∠AOD，∠EOC＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠BOE+∠DOA．
故∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是∠DOE＝∠BOE+∠DOA．
故答案为：∠DOE＝∠BOE+∠DOA．
15．（2021秋 安溪县期中）阅读理解，完成下列各题：
定义：已知A、B、C为数轴上任意三点，若点C到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则称点C是[A，B]的3倍点，例如：如图1，点C是[A，B]的3倍点，点D不是[A，B]的3倍点，但点D是[B，A]的3倍点，根据这个定义解决下面问题：
（1）在图1中，点A　是　[C，D]的3倍点（填写“是”或“不是”）；[D，C]的3倍点是点 　B　（填写A或B或C或D）；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M表示的数是﹣3，点N表示的数是5，若点E是[M，N]的3倍点，则点E表示的数是 　3或9　；
（3）若P、Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，PQ＝a，一动点H从点P出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒，求当t为何值时，点H恰好是P和Q两点的3倍点？（用含a的代数式表示）
【分析】（1）根据图形可直接解得；
（2）由NM＝8，点E在M，N之间和N点右侧，分别求出点E表示的数是3或9；
（3）点H恰好是P和Q 两点的3倍点，可分得3t＝3（a﹣3t）或3t＝3（3t﹣a）或a﹣3t＝3×3t，从而解得t与a的关系．
【解答】解：（1）由图可知：AC＝3AD，
∴A是[C，D]的3倍点，
∵BD＝3BC，
∴[D，C]的3倍点是点B，
故答案为：是，B；
（2）∵MN＝5﹣（﹣3）＝8，
当点E在线段MN上时，
∵点E是[M，N]的3倍点，
∴EM＝MN＝6，
此时点E表示的数是3，
当点E在点N右侧时，
∵点E是[M，N]的3倍点，
∴EM＝MN＝12，
∴点E表示的数是9．
故答案为：3或9；
（3）∵PQ＝a，PH＝3t，
∴HQ＝a﹣3t，
∵H恰好是P和Q两点的3倍点，
∴点H是[P，Q]的3倍点或点H是[Q，P]的3倍点
∴PH＝3HQ 或HQ＝3PH
即：3t＝3（a﹣3t）或3t＝3（3t﹣a）或a﹣3t＝3×3t，
∴t＝a或t＝a或t＝a，
当t＝a或t＝a或t＝a时，点H恰好是P和Q两点的3倍点．
16．（2021春 沙坪坝区期中）已知两点A、B在数轴上，AB＝9，点A表示的数是1．
（1）当点A、B位于原点O的同侧时，动点P、Q分别从点A、B处同时出发，沿着数轴相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达表示的数为4的点时，运动停止，在整个运动过程中，当PQ＝2时，求点P、Q所表示的数；
（2）当点A、B位于原点O的异侧时，动点P、Q分别从点A、B处出发沿着数轴向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒，当动点Q运动2秒后，动点P立即掉头以原速向左运动3秒，恰与动点Q相遇，相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当MN＝2时，求动点P、Q运动的速度．
【分析】（1）因为动点P的速度是Q的2倍，可以设Q的速度为x，P的速度为2x．两者相遇用了3秒，可以列出3（x+2x）＝9，从而解出x＝1．而此题有一个隐含的限制条件，Q运动到数字4时，运动停止，因此，整个运动持续的时间为（9﹣4）÷1＝5秒．PQ的距离是2，分为两种情况，相遇前和相遇后．①相遇前的运动路程是9﹣2＝7，速度和为2+1＝3，时间是7÷3＝秒．②相遇后的运动路程是9+2＝11，时间是11÷3＝秒，两种情况的时间都小于5秒，所以再将上述的时间代入求解P、Q对应的数值．
（2）A、B在原点的异侧，可以求出B对应的数是﹣8．由题意分析可以得到P、Q在A点相遇时，Q运动时间是5秒，运动路程是9，从而可以求出运动速度是9÷5＝1.8．设P的速度为v，因为MN＝2，所以可以分为Q在P前和，Q在P后两种情况，则9﹣5v＝2，5v﹣9＝2，解出v＝2.2或v＝1.4．
【解答】解：（1）∵AB＝9 点A表示的数为1，A、B在原点同侧，
∴点B表示的数是10．
设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x．
∵3秒后两动点相遇，
∴3（x+2x）＝9，
解得：x＝1．
∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2．
∵Q运动到数字4时，需要（9﹣4）÷1＝5（s），
∴设运动t秒后（t≤5），PQ＝2，有两种情形：
①相遇前，由题意得：2t+2+t＝9 解得：．
点P表示的数为：，点Q表示的数为．
②相遇后，由题意得：2t+t＝9+2 解得：．
点P表示的数为：，点Q表示的数为：．
（2）根据题意得，B点表示的数是﹣8．
点P和点Q的在点A处相遇，此时点Q运动了5秒，运动了9个单位长度，
∴点Q的运动速度为9÷5＝1.8，
设点P的速度为v，
∵MN＝2，
∴9﹣5v＝2或 5v﹣9＝2．
解得：＝1.4或 ＝2.2．
17．（2020秋 太原期末）如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝2OB．
（1）a＝　﹣8　，b＝　4　；
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝4．
（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M运动的总路程和点M停止运动时在数轴上所对应的有理数．
【分析】（1）由AO＝2OB可知，将12平均分成三份，AO占两份为8，OB占一份为4，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；
（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝4+t，分别代入2OP﹣OQ＝4列式即可求出t的值；
（3）点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为t秒，列式为t（2﹣1）＝12，解出即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝12，AO＝2OB，
∴AO＝8，OB＝4，
∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4，
∴a＝﹣8，b＝4．
故答案是：﹣8；4；
（2）当0＜t＜4时，如图1，
AP＝2t，OP＝8﹣2t，BQ＝t，OQ＝4+t，
∵2OP﹣OQ＝4，
∴2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
t＝＝1.6，
当点P与点Q重合时，如图2，
2t＝12+t，t＝12，
当4＜t＜12时，如图3，
OP＝2t﹣8，OQ＝4+t，
则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
t＝8，
综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ＝4；
（3）当点P到达点O时，8÷2＝4，此时，OQ＝4+t＝8，即点Q所表示的实数为8，
如图4，
设点M运动的时间为t秒，
由题意得：2t﹣t＝12，
t＝12，
此时，点P表示的实数为﹣8+12×2＝16，所以点M表示的实数是16，
∴点M运动的总路程为：3×12＝36，
答：点M运动的总路程为36和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．
18．（2020秋 罗湖区校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数　﹣14　；点P表示的数　8﹣5t　（用含t的代数式表示）
（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是　11　．
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8﹣22；点P表示的数为8﹣5t；
（2）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可；
（3）分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可；
（4）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC＝5x，BC＝3x，根据AC﹣BC＝AB，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝22，
∴点B表示的数是8﹣22＝﹣14，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t．
（2）①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝×22＝11，
②当点P运动到点B的左侧时：
MN＝MP﹣NP＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝11，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．
（3）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P、Q相遇之前，
由题意得3t+2+5t＝22，解得t＝2.5；
②点P、Q相遇之后，
由题意得3t﹣2+5t＝22，解得t＝3．
答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；
（4）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC＝5x，BC＝3x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴5x﹣3x＝22，
解得：x＝11，
∴点P运动11秒时追上点Q．
故答案为：﹣14，8﹣5t；11．
19．（2019秋 高邑县期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是　﹣4　；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是　1　．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【分析】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到AB的中点时，它所表示的数；
（2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解；
②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，
∴得B点表示的数为﹣4，
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1．
故答案为﹣4、1．
（2）①根据题意，得
6t﹣2t＝10
解得t＝2.5
答：当P运动2.5秒时，点P追上点Q．
②根据题意，得
当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：
2t+（10﹣6t）＝8，
解得t＝0.5；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：
（6t﹣10）﹣2t＝8，
解得t＝4.5．
答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
20．（2020秋 高新区校级期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值．a＝　﹣1　，b＝　1　，c＝　5　；
（2）数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，此时，A与B两点间的距离为　2　个单位长度；
（3）数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．
①t秒钟过后，AC的长度为　6+4t　（用t的关系式表示即可）；
②请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）根据b为最小的正整数求出b的值，再由非负数的和的性质建立方程就可以求出a、b的值；
（2）用表示B的数减去表示A的数即可求得线段AB的长；
（3）①先分别表示出t秒钟过后A、C的位置，根据数轴上两点之间的距离公式就可以求出结论；
②先根据数轴上两点之间的距离公式分别表示出BC和AB就可以得出BC﹣AB的值的情况．
【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b＝1．
∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，
∴，
∴a＝﹣1，b＝1，c＝5．
故答案为：a＝﹣1，b＝1，c＝5；
（2）AB＝1﹣（﹣1）＝2，
故AB的长为2个单位；
（3）①由题意，得
t秒钟过后A点表示的数为：﹣1﹣t，C点表示的数为：5+3t，
∴AC＝5+3t﹣（﹣1﹣t）＝6+4t；
故答案为：6+4t；
②由题意，得
BC＝4+2t，AB＝2+2t，
∴BC﹣AB＝4+2t﹣（2+2t）＝2．
∴BC﹣AB的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2