【2021-2022学年初三数学专题复习】专题10 二次函数图像（含解析）

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专题10 二次函数图像
一．选择题（共10小题）
1．（2021 江汉区校级自主招生）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是　　21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
2．（2021 黄州区校级自主招生）如图所示，已知抛物线的顶点为，点是第一象限内该二次函数图象上一点，过点作轴的平行线交二次函数图象于点，分别过点，作轴的垂线、垂足分别为，，连接，，交于点，则　　
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A． B． C． D．
3．（2020 涪城区校级自主招生）已知点，，在二次函数的图象上，则下列结论正确的是　　21教育网
A． B． C． D．
4．（2020 赫山区校级自主招生）已知二次函数，当时，的取值范围是　　
A． B． C． D．
5．（2020 谷城县校级自主招生）已知函数，则　　
A．0 B．1 C．2 D．
6．（2020 田家庵区校级自主招生）二次函数的图象如图所示，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数是　　21·cn·jy·com
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A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2020 武昌区校级自主招生）已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是　　www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
8．（2020 温江区校级自主招生）二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③当，随的增大而增大；④中，正确的有　　2·1·c·n·j·y
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020 涪城区校级自主招生）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为　　【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
10．（2020 浙江自主招生）已知函数，当时，．则函数的图象可能是下图中的　　
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题（共13小题）
11．（2020 涪城区校级自主招生）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，函数的图象与线段只有一个公共点．则的取值为　　．
12．（2020 谷城县校级自主招生）当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为　　．
13．（2020 浙江自主招生）设实数、、满足，则函数的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是　　．
14．（2020 浙江自主招生）二次函数的图象的一部分如图所示，则的取值范围是　 　．
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15．（2019 江岸区校级自主招生）如图在直角坐标系中，点在轴上，轴，点，为线段上一点，沿将翻折点恰好落在线段上的点处，将过、、三点的抛物线绕点旋转，则旋转后的抛物线解析式为　　．
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16．（2019 滕州市模拟）抛物线的对称轴为直线，图象过点，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号有　　．
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17．（2019 天心区校级自主招生）二次函数的图象如图所示，则化简　　．
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18．（2019 锦江区校级自主招生）若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为　 　．
19．（2018 顺庆区校级自主招生）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤，的实数）．
其中正确的结论有　　．（填序号）
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20．（2017 金牛区校级自主招生）如图，矩形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，，，点的坐标为，抛物线的顶点总是在矩形内部（包括边界），且与轴的两个交点分别是点，、、，其中，下列说法：①；②；③当时，方程总有两个不相等的实数根；④的取值范围是；其中正确的是　　．
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21．（2017 金牛区校级自主招生）二次函数的图象如图所示，那么化简的结果是　　．
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22．（2016 宝山区校级自主招生）已知函数的图象上有一点，其中，是正整数，则　　．
23．（2016 杭州自主招生）二次函数的图象如图所示，对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是　　．（写出正确命题的序号）21cnjy.com
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三．解答题（共3小题）
24．（2020 闵行区校级自主招生）二次函数，其图象都在轴及其上方，设，则的最值为多少？
25．（2015 温江区校级自主招生）已知：对于的所有实数值，二次函数为实数）的值都是非负的，求关于的方程的根的取值范围．21·世纪*教育网
26．（2017 市南区校级自主招生）在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点．试在二次函数的图象上找出满足的所有整点．
专题10 二次函数图像
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：由题意得：不动点在一次函数图象上，
一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点，
两个不动点，满足，
时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
，
．
故选：．
2．【解答】解：当时，，
，
设点的横坐标为，
，，
，
在中，，
在中，，
轴，
，
即，
解得：，
，，
，
故选：．
3．【解答】解：当时，；
当时，；
当时，，
，
故选：．
4．【解答】解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
，
当时，取得最小值，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
故选：．
5．【解答】解：函数，
（1）．
故选：．
6．【解答】解：（1）二次函数的图象开口向上，与轴的交点位于轴正半轴，
，，
由对称轴为，
由图象可知，，
，则结论（1）正确，符合题意；
（2）当时，，
，
即，则结论（2）错误，不符合题意；
（3），
，
，
，
，即，则结论（3）错误，不符合题意；
（4）由二次函数与一元二次方程的联系得，关于的方程有两个不相等的实根，
，
，
，，
，
又，
，
即，则结论（4）正确，符合题意，
综上，正确结论的个数是2个
故选：．
7．【解答】解：解法一：函数的对称轴为直线，
当时，有最小值，此时，
函数在上的最小值是，
；
当时，，对称轴为直线，
当时，，
函数在上的最大值是1，且；
．
解法二：画出函数图象，如图所示：
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，
当时，；
当，，当，，
函数在上的最大值是1，最小值是，
．
故选：．
8．【解答】解：抛物线与轴有2个交点，
△，即，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
而抛物线的开口向下，
，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，
当，随的增大而增大，所以③正确；
时，，
，所以④错误．
故选：．
9．【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
向左平移1个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为，
所以，平移后的抛物线的解析式为．
故选：．
10．【解答】解：因为函数，当时，
所以可判断，可知，
所以可知，，则，不妨设
则函数为函数
即
则可判断与轴的交点坐标是，，
故选：．
二．填空题（共13小题）
11．【解答】解：①当函数的图象与轴只有一个交点，且交点在线段上时，
△，即，
解得或，
时，交点横坐标时，故交点不在线段上，
时，交点横坐标为，交点在线段上，
此时，
②当函数的图象与轴有两个交点时，
时，时，
而函数的图象与线段只有一个公共点，
或，
解得，
综上所述，或，
故答案为：或．
12．【解答】解：由可知抛物线对称轴为直线，
当与时，代数式的值相等，
当或时，二次函数的函数值相等，
以、为横坐标的点关于直线对称，则，
，
，
，
时，代数式．
故答案为3．
13．【解答】解：将两边平方，得
整理，得，
又当时，，
抛物线通过定点．
故答案为：．
14．【解答】解：函数，
当时，，
函数图象与两坐标轴交于点和，
另一个交点位于点的右侧，则当是时，函数值一定小于0．
当时的函数值一定小于0，
故，
故答案为：．
15．【解答】解：轴，点，
，
，，
，
由题意可知，
作轴于，
轴，
，
，
，即，
，，
，，
设过、、三点的抛物线为，
，解得，
抛物线为，
抛物线绕点旋转，可得，得到，
故答案为．
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16．【解答】解：①，
，
，
，故①错误．
②抛物线与轴有两个交点，
，故②正确．
③抛物线与轴的一个交点是，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点是，
，故③正确．
④点在抛物线上，对称轴为直线，
也在抛物线上，
，且，都在对称轴的左侧，
，故④错误．
⑤：抛物线对称轴，经过，
，，
，，
，
⑤正确．
故正确的判断是②③⑤．
故答案为②③⑤．
17．【解答】解：抛物线开口向上，
，
对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，，，
原式
．
故答案为．
18．【解答】解：可化为，
分析可得：当时，；且与的取值无关；
故不管取何值时都通过定点．
19．【解答】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，，
，
，
所以错误；
②当时，由图象知，
把代入解析式得：，
，
②错误；
③图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，
能得到：，，，
所以，
所以．
③正确；
④由①②知且，
，④正确；
⑤时，（最大值），
时，，
的实数，
，
成立．
⑤正确．
故正确结论的序号是③，④，⑤．
20．【解答】解：观察图形发现，抛物线的开口向下，
，
顶点坐标在第一象限，
，
，
而抛物线与轴的交点在轴的上方，
，
，故①正确；
点的坐标为，，
，
抛物线的顶点总是在矩形内部（包括边界），
，
，
，
，
，故②错误；
由题意可知，抛物线与直线有两个交点，
当时，方程总有两个不相等的实数根；故③正确；
顶点在矩形内部（包括边界），
当顶点与点重合，顶点坐标为，则抛物线解析式，
由，解得；
当顶点与点重合，顶点坐标为，则抛物线解析式，
由，解得；
顶点可以在矩形内部，
；故④正确；
故答案为①③④．
21．【解答】解：抛物线的开口向上，
，
与轴的交点为在轴的负半轴上，
，
，
对称轴为直线，
．
．
22．【解答】解：把点代入函数得：，
把正整数，2，，依次代入，
当时，为正整数，即：，
解得：，（舍去），
故，；
则．
23．【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到；与轴交于负半轴，得到，
对称轴在轴右侧，且，即，
与异号，即，
，选项①正确；
二次函数图象与轴有两个交点，
△，即，选项②错误；
原点与对称轴的对应点为，
时，，即，选项③错误；
时，，
，
把代入得：，选项④正确，
故答案是：①④．
三．解答题（共3小题）
24．【解答】解：由题意得：且△，
即，
故，
当且仅当时等号成立，
而，无最大值，故无最大值，
故最小值为，无最大值．
25．【解答】解：对于的所有实数值，二次函数为实数）的值都是非负的，
△，
，
当时，，则关于的方程无意义，舍去；
当时，由得，，即，
由二次函数的性质知，；
当时，由由得，，即，
由二次函数的性质知，；
综上，．
26．【解答】解：由，得
有．
当时，有，
得，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：，，，；
当时，
有，
得，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：
，．
这样的整点一共有6个：，，，，，．
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