【2021-2022学年初三数学专题复习】专题13 直线与圆的位置关系（含解析）

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专题13 直线与圆的位置关系
一．选择题（共12小题）
1．（2021 巴南区自主 ( http: / / www.21cnjy.com )招生）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠P＝45°，则∠ACB的度数为（　　）21世纪教育网版权所有
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A．15° B．22.5° C．30° D．37.5°
2．（2021 大渡口区自主招生）如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得BC＝0.8m，并且AB⊥BC，则这个油桶的底面半径是（　　）21教育网
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A．1.6m B．1.2m C．0.8m D．0.4m
3．（2021 黄州区校级自主招生）如图，圆O的半径为6，△ABC是圆O的内接三角形，连接OB、OC，BC＝，则∠A＝（　　）21cnjy.com
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A．60° B．45° C．30° D．120°
4．（2020 和平区校级自主招生）如图，AB为⊙O的直径，C为的中点，D为劣弧CB上一个动点（点D不与B，C重合），过D作⊙O的切线交AB延长线于点P，连接CD并延长交AB延长线于点Q，给出下列结论：21·cn·jy·com
①若CB∥DP，则∠DAB＝22.5°；
②若PB＝BD，则∠DPA＝30°；
③DP可能成为∠BDQ的平分线；
④若⊙O的半径为1，则CD CQ＝AB；
⑤0°＜∠PDQ≤45°．
其中正确结论的个数为（　　）
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A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2020 武昌区校级 ( http: / / www.21cnjy.com )自主招生）如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（　　）www.21-cn-jy.com
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A．1 B．﹣1 C． D．2
6．（2020 涪城区校级自主招生）下列说法正确的是（　　）
A．等弦所对的弧相等
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
7．（2020 渝北区自主招 ( http: / / www.21cnjy.com )生）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝15°，切线PA交OC延长线于点P，则线段PA的长度为（　　）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．2
8．（2020 南岸区自主招生）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB与⊙C相切于点D，若AB＝6，则CD的长为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C．3 D．3
9．（2020 沙坪坝区自主招生）如图，AB与⊙O相切于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC．若∠C＝34°，则∠A的度数是（　　）www-2-1-cnjy-com
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A．17° B．22° C．34° D．56°
10．（2020 九龙坡区自主 ( http: / / www.21cnjy.com )招生）如图，⊙O为△ABC的外接圆，BD为⊙O的直径，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点E．若∠DAC＝20°，则∠E的度数是（　　）
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A．20° B．70° C．40° D．50°
11．（2020 北碚区自主招生）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（　　）2-1-c-n-j-y
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A．1.5 B．2 C． D．
12．（2020 浙江自主 ( http: / / www.21cnjy.com )招生）若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（　　）21*cnjy*com
A． B．
C． D．以上答案均不正确
二．填空题（共6小题）
13．（2021 宝山区校级自主招生） ( http: / / www.21cnjy.com )锐角△ABC，其外接圆圆心为O，AB、AC上的高交于H，若O、H、B、C在同一圆周上，则∠BAC＝　 　．【来源：21cnj*y.co*m】
14．（2021 黄州区校级自主招生）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，AC＝8，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 　 　．
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15．（2021 黄州区校级自 ( http: / / www.21cnjy.com )主招生）如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO＝5，则AB2+AD2的最小值为　 　．
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16．（2020 宝山区校级自 ( http: / / www.21cnjy.com )主招生）矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，联结AC，若以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点，则r的取值是　 　．
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17．（2020 浙江自主招生 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为　 　（不要求写自变量x的取值范围）．【出处：21教育名师】
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18．（2020 浙江自主招生）如图，A ( http: / / www.21cnjy.com )是半径为1的⊙O的外一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥AO，连接AC，则图中的阴影部分的面积等于　 　．
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三．解答题（共5小题）
19．（2020 衡阳县自主招生）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．【版权所有：21教育】
（1）求证：∠ABD＝∠CAB；
（2）若B是OE的中点，AC＝18，求⊙O的半径．
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20．（2020 汉阳区校级自主招生 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°．
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为，求线段EF的长．
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21．（2020 江汉区校级自主招 ( http: / / www.21cnjy.com )生）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD、AB的延长线相交于点G．21教育名师原创作品
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF＝1，∠ACB＝60°，求图中阴影部分的面积．
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22．（2020 郎溪县校级自主招生 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．21·世纪*教育网
（1）求证：AC为⊙O切线．
（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．
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23．（2020 涪城区校级自主招生）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．21*cnjy*com
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．
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专题13 直线与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：如图，连接OA，
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∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝45°，
∵∠ACB＝AOB＝22.5°．
故选：B．
2．【解答】解：设油桶所在的圆心为O，连接OA，OC，
∵AB、BC与⊙O相切于点A、C，
∴OA⊥AB，OC⊥BC，
又∵AB⊥BC，OA＝OC，
∴四边形OABC是正方形，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝0.8m，
故选：C．
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3．【解答】解：过点O作OD⊥BC，
∵BC＝，
∴BD＝DC＝3，
∵BO＝6，
∴sin∠BOD＝＝，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠A＝60°．
故选：A．
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4．【解答】解：C为的中点，
∴AC＝BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
①∵CB∥DP，
∴∠DPO＝∠CBA＝45°，
∵DP是⊙O切线，
∴∠ODP＝90°，
∴△ODP是等腰直角三角形，
∴∠DOP＝45°，
∴∠DAB＝∠DOP＝22.5°，
故①正确；
②若PB＝BD，
∴∠PDB＝∠DPB，
∵∠PDB+∠ODB＝∠DPB+∠DOP＝90°，
∴∠ODB＝∠DOP，
∴DB＝OB，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOP＝60°，
∴∠DPA＝30°，
故②正确；
③由①即可得DP可能成为∠BDQ的平分线，故③正确；
④∵C为的中点，
∴∠CDA＝∠CAB，
∵∠ACD＝∠ACQ，
∴△ACD∽△CQA，
∴，
∴CD CQ＝AC2＝（）2＝2，
∵AB＝2，
∴CD CQ＝AB，
故④正确；
⑤∵∠QDB＝∠CAB＝45°，
∴0°＜∠PDQ＜45°，
所以⑤错误．
故选：B．
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5．【解答】解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF∥AB，
∴CM⊥EF．
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根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AB＝2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM＝MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，
∴DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD DC＝DE DF，即DE×（DE+2）＝4；
解得DE＝﹣1（负值舍去）．
故选：B．
6．【解答】解；A、等弦所对的弧不一定相等，故选项A不符合题意；
B、弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故选项B符合题意；
C、经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故选项C不符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．【解答】解：连接OA，
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∵∠ABC＝15°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝30°，
∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OC＝1，
∴AP＝OAtan30°＝，
故选：B．
8．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝3，∠A＝60°，
∵AB与⊙C相切，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴CD＝AC sinA＝3×＝，
故选：B．
9．【解答】解：如图，连接OB，
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∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝34°，
∴∠AOB＝∠OBC+∠C＝68°，
∴∠A＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝180°﹣90°﹣68°＝22°，
故选：B．
10．【解答】解：∵DE是⊙O的切线，
∴∠BDE＝90°，
由圆周角定理得，∠DBE＝∠DAC＝20°，
∴∠E＝90°﹣20°＝70°，
故选：B．
11．【解答】解：连接OD， ( http: / / www.21cnjy.com )
∵PC切⊙O于D，
∴∠ODP＝90°，
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径，
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1，
∴由勾股定理得：PD＝＝＝，
∵BC⊥AB，AB过O，
∴BC切⊙O于B，
∵PC切⊙O于D，
∴CD＝BC，
设CD＝CB＝x，
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2，
即（+x）2＝32+x2，
解得：x＝，
即BC＝，
故选：D．
12．【解答】解：设△DOA的内切圆半径为r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长为L，
则S△AOB＝L 3＝L，S△BOC＝L 4＝2L，S△COD＝L 6＝3L，S△DOA＝Lr，
∵S△AOB S△COD＝S△COB S△DOA，
∴L 3L＝2L Lr，
∴r＝．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BAC+∠DHE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEB＝180°，
∵O、H、B、C在同一圆周上，
∴∠BOC＝∠BHC＝∠DHE，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BAC+∠BOC＝3∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝60°，
故答案为：60°．
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14．【解答】解：∵，
∴设BC＝3x，则AB＝5x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
即：（5x）2＝（3x）2+82，
∴x＝2，
∴AB＝10，BC＝6，
∴，
①若⊙P与AC相切，如图1，
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设切点为M，连接PM，
则PM⊥AC，且PM⊥PA′，
∵PM⊥AC，A′C⊥AC，
∴∠B′PM＝∠A′，
由旋转性质可知∠A′＝∠A，
∴∠B′PM＝∠A，
∴，
设PM＝4x，则PA′＝PM＝4x，B′P＝5x，
又∵A′B′＝AB，
即：4x+5x＝10，
解得，
∴；
②若⊙P与AB相切，延长PB′交AB于点N，如图2，
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∵∠A′+∠B＝∠A+∠B＝90°，
∵∠A′NB＝90°，
即N为AB与⊙O切点，
又∴A'B＝BC+A'C＝BC+AC＝14，
∴A′N＝A′B cos∠A′＝A′B cosA，
即，
∴．
综上，⊙P的半径为或，
故答案为：或．
15．【解答】解：如图，连接OA．
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AM＝MC＝BM＝MD，∠BAD＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴BD的值最小时，AB2+AD2的值最小，
∵AM≥OM﹣OA，OM＝5，OA＝3，
∴AM≥2，
∴AM的最小值为2，
∴BD的最小值为4，
∴AB2+AD2的最小值为16，
故答案为16．
16．【解答】解：如图，当r＜BC时，和CD无交点，
当r＞BC时，和AC无交点，
∴r＝BC＝4时，以B为圆心，r为半径的圆与线段AC，AD，CD都有公共点．
故答案为：r＝4．
17．【解答】解：如图，设切点分别为E点，H点，F点，G点，
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∵BC，AB，AC，MN都与△ABC内切圆相切，
∴BE＝BG，GC＝CF，ME＝MH，NF＝HN，
∴BE+CF＝BG+GC＝BC＝x，ME+NF＝MH+NH＝MN＝y
∵△ABC周长为12
∴AB+AC+BC＝12
∴AE+AF＝12﹣2x，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+MH+AN+NF＝AE+AF＝12﹣2x，
∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC
∴
∴
∴y＝＝﹣x2+x
故答案为：y＝﹣x2+x
18．【解答】解：OB是半径，AB是切线，
∵OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∵OC＝OB，BC∥OA，
∴∠OBC＝∠BOA＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
因此S阴影＝S扇形CBO＝＝．
故答案为．
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三．解答题（共5小题）
19．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OBD＝∠ODB，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠ABD＝∠CAB；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵B是OE的中点，
∴BC＝OB，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴BC＝＝＝4，
∴OB＝4，即⊙O的半径为4．
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20．【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAO；
（2）解：①∵AD∥OC，
∴∠EOC＝∠DAO＝105°，
∵∠E＝30°，
∴∠OCE＝45°；
②作OG⊥CE于点G，
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则CG＝FG＝OG，
∵OC＝，∠OCE＝45°，
∴CG＝OG＝1，
∴FG＝1，
在Rt△OGE中，∠E＝30°，
∴GE＝，
∴EF＝GE﹣FG＝﹣1．
21．【解答】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AC＝AB，
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△CFD中，CF＝1，∠C＝60°，
∵AC＝AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝4．
∵OD∥AC，
∴∠DOG＝∠BAC＝60°，
∴DG＝OD tan∠DOG＝2，
∴S阴影＝S△ODG﹣S扇形OBD＝DG OD﹣πOB2＝2﹣π．
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22．【解答】（1）证明：连接OA，
∴∠AOE＝2∠F，
∵∠BEF＝2∠F，
∴∠AOE＝∠BEF，
∴AO∥DF，
∵DF⊥AC，
∴OA⊥AC，
∴AC为⊙O切线；
（2）解：连接OF，
∵∠BEF＝2∠F，
∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，
∴∠BAF＝∠BEF＝2α，
∵∠B＝∠AFE＝α，
∴∠BAO＝∠B＝α，
∴∠OAF＝∠BAO＝α，
∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF＝α，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴AB＝AF＝5，
∵DF＝4，
∴AD＝＝3，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴⊙O半径＝．
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23．【解答】解：（1）连接OE，OF，如图1所示：
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠DOF＝∠DOE，
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OFD＝90°．
∴OF⊥FD．
∴FD为⊙O的切线；
（2）连接OM．如图2所示：
∵O是AB中点，M是BE中点，
∴OM∥AE．
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵OM过圆心，M是BE中点，
∴OM⊥BE．
∴，．
∵∠DOF＝60°，
∴∠MOF＝90°．
∴MF＝＝＝．
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