【2021-2022学年初三数学专题复习】专题15 比例（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题15 比例
一．选择题（共6小题）
1．（2019 顺庆区校级自主招生）已知，那么下列等式中，不成立的是（　　）
A． B．
C．（y≠﹣4a） D．4x＝3y
2．（2017 青羊区自主招生）若α，b，c均为实数，且＝＝＝x，则x的值为（　　）
A．1 B． C．或1 D．或﹣1
3．（2017 温江区校级自主招生）如图，在△ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF＝2FC，AD与EF交于点G，则＝（　　）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3：7 B．4：9 C．5：11 D．6：13
4．（2017 余姚市校级自主招生）如果实数m≠n，且＝，则m+n＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2017 诸暨市校级自主招生）在 ( http: / / www.21cnjy.com )梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF：FD＝（　　）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2：1 B．1：2 C．2：3 D．3：2
6．（2020 浙江自主招生）等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
7．（2020 温江区校级自主招生）若a：b：c＝3：5：8，3a+b﹣c＝18，则a＝　 　．
8．（2018 涪城区校级自主招生）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN＝3，则的值为　 　．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
9．（2016 李沧区校级自主招生）如图在△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知＝n，则＝　 　．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．（2016 宝山区校级自主招生）已知a，b为非零实数，且，则＝　 　．21·cn·jy·com
11．（2014 宝山区校级自主招生）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠C＝36°，则△ABC的面积是　 　．www.21-cn-jy.com
12．（2016秋 温江区校级月考） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE：EB＝3：2，CP：CE＝5：6，那么DB：CD＝　 　．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．（2015 海淀区校级自主招生）若＝＝（x，y，z均不为0），＝1，则m的值为　 　．2·1·c·n·j·y
14．（2012 麻城市校级自主招生）已知a，b，c均为非零实数，满足：＝＝，则的值为　 　．【来源：21·世纪·教育·网】
评卷人 得 分
三．解答题（共6小题）
15．（2017 青羊区自主招生）在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，已知点D是∠A的内角平分线上的一点，E，F分别为AB，AC延长线上的点．若CD∥BF，且CD与AB交于点G，BD∥CE，且BD与AC交于点H．21·世纪*教育网
（1）求证：BE＝CF；
（2）若M，N分别为CE，BF的中点，求证：AD⊥MN．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2016 宝山区校级自主招生）已知，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠C＝36°，求△ABC的面积S．www-2-1-cnjy-com
17．（2015 长沙县校级自主招生）如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM＝MN＝NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求的值．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（2015 成都校级自主招生）如图，A ( http: / / www.21cnjy.com )B∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，21*cnjy*com
求证：MN+PQ＝2PN．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值．
20．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF＝∠DAE，AE与BD交于点G．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求证：BE＝DF；
（2）当＝时，求证：四边形BEFG是平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
专题15 比例
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
2．【解答】解：∵＝＝＝x，
∴①当α+b+c≠0时，x＝＝；
②当α+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则x＝＝＝﹣1．
故选：D．
3．【解答】解：连接DE，如图，AF＝2FC，则AF＝AC，
∵D、E分别为BC，AB中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵DE∥AF，
∴＝＝＝＝，
设S△DEG＝3x，则S△AEG＝4x，
∵＝＝，
∴S△AGF＝x，
∵AE＝BE，
∴S△ABD＝2S△ADE＝2（3x+4x）＝14x，
∵BD＝CD，
∴S△ADC＝S△ABD＝14x，
∴S四边形CDGF＝14x﹣x＝x，
∴＝＝．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．【解答】解：根据比例的性质，
由原式得，＝，
整理得，＝，
2（m+n）＝14，
m+n＝7．
故选：A．
5．【解答】解：延长BF交CD的延长线与点G，连接AG，如图，
∵AB∥CD，E是对角线AC的中点，
∴四边形ABCG是平行四边形，
∴GC＝AB，
又AB＝3CD，
∴GD＝2CD，
∴＝＝，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．【解答】解：作ED∥AC交BF于D，如图，
∵ED∥FC，
∴＝＝，
设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，
∵AB＝AC，
∴AE＝FC＝3x，
∵DE∥AF，
∴＝，即＝，
整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，
∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，
∴y＝6x，
∴＝＝．
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com )
二．填空题（共8小题）
7．【解答】解：设a＝3k，b＝5k，c＝8k（k≠0），
∵3a+b﹣c＝18，
∴3×3k+5k﹣8k＝18，
6k＝18，
解得：k＝3，
∴a＝3k＝9，
故答案为：9．
8．【解答】解：过P作PQ⊥MN，
∵PM＝PN，
∴MQ＝NQ＝，
在Rt△OPQ中，OP＝10，∠AOB＝60°，
∴∠OPQ＝30°，
∴OQ＝5，
则OM＝OQ﹣QM＝，
∵CD∥ON，
∴，
∴＝＝，
故答案为；．
( http: / / www.21cnjy.com )
9．【解答】解：作DH∥CE交AB于H，
∴＝＝1，
∵DH∥CE，
∴＝＝n，
∴＝，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．【解答】解：由，得
b＝﹣a．
＝＝，
故答案为：．
11．【解答】解：作CD⊥AB于D，在BC上截取一点F，使得AF＝AB．
∵CA＝CB，∠ACB＝36°，
∴∠B＝∠AFB＝72°，
∵∠FAB＝∠CAF＝36°＝∠ACB，
∴AB＝AF＝CF，设AB＝AF＝CF＝x，
由△ABF∽△CBA，
∴AB2＝BF BC，
∴x2＝（1﹣x） 1，
∴x＝，
∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝，
∴CD＝＝＝，
∴S△ABC＝ AB CD＝．
故答案为＝．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．【解答】解：过E点作EF∥BC，交AD于F．
∵AE：EB＝3：2，CP：CE＝5：6，
∴EF：BD＝3：（3+2）＝3：5，EF：CD＝（6﹣5）：5＝1：5＝3：15，
∴DB：CD＝5：15＝1：3．
故答案为：1：3．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．【解答】解：设＝＝＝a，
∴x＝2a，y＝3a，z＝am，
∵＝＝1，
∴m＝4，
故答案为：4．
14．【解答】解：（1）当a+b+c≠0时：＝＝，
利用等比性质得到：＝＝＝＝＝1；
而＝，
∴，同理＝＝2，
∴＝8；
（2）当a+b+c＝0时，则b+c＝﹣a，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，则＝＝﹣1．
三．解答题（共6小题）
15．【解答】（1）证明：过点G作GQ⊥BD于Q，过点H作HP⊥CD于P．
∵D是∠A的内角平分线上的一点，
∴点D到AB，AC的距离相等，
∴＝＝＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＝①，
∵EC∥DB，BF∥CD，
∴＝，＝，
∴＝②，
由①②得到，＝1，
∴BE＝CF．
（2）证明：取BC的中点K，连接KM，KN．
∵CM＝EM，BN＝NC，
∴MK＝BE．MK∥BE，KN＝CF，KN∥BC，
作∠MKN的角平分线KJ，则KJ⊥MN，
∵MK∥AE，KN∥AF，
∴AD∥KJ，
∵KJ⊥MN，
∴AD⊥MN．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．【解答】解：∵在△ABC中，AC＝BC＝1，∠C＝36°，
∴AB：AC＝，
∴AB＝．
作等腰△ABC底边上的高CD，则AD＝AB＝，
在△ACD中，根据勾股定理得
CD＝＝，
∴S△ABC＝AB CD＝××＝．
( http: / / www.21cnjy.com )
17．【解答】解：过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G，交AM于K，如图，
∵BM＝MN＝NC，
∴BG＝GH＝AH，
∵HK∥GM，
∴KH＝GM，GM＝NH，
∴HK＝NH，
∴＝，
∴DF∥NH，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝＝3．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，
∵F是AC的中点，
∴DF的延长线必过O点，且．
∵AB∥CD，
∴．
∵AD∥CE，
∴．
∴＝＝．
又∵＝，
∴OQ＝3DN．
∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．
∴AN+CQ＝2DN．
∴＝＝2．
即MN+PQ＝2PN．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．【解答】解：当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：＝＝＝＝＝1，
即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
整理得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，
此时原式＝＝8；
当a+b+c＝0时，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
则原式＝﹣1．
综上可知，的值为8或﹣1．
20．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADF，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF，
即：∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE≌△DAF
∴BE＝DF；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG
∴＝
又∵BE＝DF，＝
∴＝＝
∴，又∠BDC＝∠GDF
故△BDC∽△GDF，再由对应角相等有∠DBC＝∠DGF
∴GF∥BC （同位角相等则两直线平行）
∴∠DGF＝∠DBC
∵BC＝CD
∴∠BDC＝∠DBC＝∠DGF
∴GF＝DF＝BE
∵GF∥BC，GF＝BE
∴四边形BEFG是平行四边形
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)