【2021-2022学年初三数学专题复习】专题19 锐角三角函数（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题19 锐角三角函数
一．选择题（共11小题）
1．（2021 黄州区校级自主招生）已知中，，，则　　
A． B． C． D．
2．（2020 谷城县校级自主招生）已知，则的值为　　
A．5 B．4 C．3 D．2
3.（浙江自主招生）因为，，所以；由此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知：　　
A． B． C． D．
4．（2020 浙江自主招生）如图，在中．，，，则　　
A． B． C．0.3 D．
5．（2020 浙江自主招生）在中，，的平分线交于．则　　
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
6．（2019 南浔区校级自主招生）以下说法正确的是　　
A．存在锐角，使得
B．已知为的一个内角，且，则
C．在中，，，为的两个内角，则不一定等于
D．存在锐角，使得
7．（2019 巴州区校级自主招生）规定：对任意角，，都有，，，，现给出下列等式：①；②；③；④；⑤，其中，等式成立的个数为　　21世纪教育网版权所有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2018 温江区校级自主招生）已知，则　　
A． B． C． D．
9．（2017 金牛区校级自主招生）下列说法中，正确的是　　
A．在中，锐角的两边都扩大5倍，则也扩大5倍
B．若，则
C．
D．若为锐角，，则
10．（2010 凉山州）已知在中，且不是等腰直角三角形，设，当是最小的内角时，的取值范围是　　21教育网
A． B． C． D．
11．（2017 萧山区校级自主招生）如图，在的正方形网格中，　　
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．2 C． D．
二．填空题（共10小题）
12．（2020 赫山区校级自主招生）若为锐角，化简　　．
13．（2020 浙江自主招生）已知：实常数、、、同时满足下列两个等式：①；②（其中为任意锐角），则、、、之间的关系式是：　　．21cnjy.com
14．（2019 顺庆区校级自主招生）已知，则锐角的取值范围是　　．
15．（2019 顺庆区校级自主招生）直角三角形中，且，则　　．
16．（2017 奉化市自主招生）已知的内角满足，则　 　度．
17．（2018 即墨区自主招生）已知三角函数的变换公式：（a），（b），（c），则下列说法正确的序号是　　．21·cn·jy·com
①；
②；
③；
④．
18．（2017 信丰县自主招生）如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为　 　．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．（2017 镇海区校级自主招生）已知为锐角且，则　 　．
20．（2010 天津）如图，等边三角形中，、分别为、边上的点，，与交于点，于点，则的值为　 　．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
21．（2011 浙江校级自主招生）若是锐角三角形的一个内角，则在二次根式中的取值范围是　 　．2·1·c·n·j·y
三．解答题（共3小题）
22．（2012 海门市校级自主招生）（1）在中，，的正弦、余弦之间有什么关系？请给出证明过程．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）已知锐角满足：，，求的值．
23．（2012 芜湖县校级自主招生 ( http: / / www.21cnjy.com )）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）的值为 　　
． ．1 ．．2
（2）对于，的正对值的取值范围是 　　．
（3）已知，其中为锐角，试求的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
24．（2006 启东市自主招生）已知，凸边形是非零自然数）各内角都是的整数倍，又关于的方程：21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )均有实根，求这凸边形各内角的度数．
专题19 锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．【解答】解：作的垂直平分线交于，连接，
则，
，
，
，
由勾股定理得，，
，
则，
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．【解答】解：因为，即，
所以，
所以原式，
故选：．
3．【解答】解：，
．
故选：．
4．【解答】解：过作交于，使，
中．，，
，
，
，
，
又
，
，
，
设，则，，
，即，
解得：，
故选：．
5．【解答】解：过点作于．
则．
可证，
．
，
又，，
，
．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．【解答】解：当是锐角时，，因此选项不符合题意；
当，则，因此，即，故选项符合题意；
因为，所以，因此选项不符合题意；
因为，而，所以，因此选项不符合题意；
故选：．
7．【解答】解：①，故正确；
②，即是错误的；
③，故正确；
④，故正确；
⑤，故正确．
综上所述，其中，等式成立的个数为4个．
故选：．
8．【解答】解：设直角三角形中，锐角所对的边为，邻边为，斜边为，
则，，，
因为，即，
所以，
设，则，由勾股定理可得，，或，，
所以或，
故选：．
9．【解答】解：、在中，锐角的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以值不变，故本选项错误；
、应为若，则，故本选项错误；
、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；
、根据设两直角边为、，根据勾股定理得斜边为，所以，故本选项正确．
故选：．
10．【解答】解：根据题意，知
．
又，
．
故选：．
11．【解答】 ( http: / / www.21cnjy.com )
解：
，，
，
，
故选：．
二．填空题（共10小题）
12．【解答】解：为锐角，
，
．
13．【解答】解：由①得，
两边平方，③
由②得，
两边平方，④
③④得
．
故答案为：．
14．【解答】解：由，得
，
故答案为：．
15．【解答】解：在直角三角形中，，
则，，
，
整理得，，
，
解得，，
，
故答案为：．
16．【解答】解：由题意，得，
解得，，
，
故答案为与：75．
17．【解答】解：①，命题错误；
②，命题正确；
③，命题正确；
④，命题正确；
故答案为：②③④．
18．【解答】解：如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，连接，
四边形是正方形，
，，，，
，
根据题意得：，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：2
19．【解答】解： 由题意得：，
解得：，，
．
故答案为： 0.5 ．
20．【解答】解：在与中，
，，，
．
．
，
．
．
在直角中，
，
．
21．【解答】解：根据题意得：，解得．
，是锐角三角形的一个内角，在到之间正弦值是单调递增的，
的取值范围是．
三．解答题（共3小题）
22．【解答】解：（1）中，，
故
（2）由，得，
解得或（舍
( http: / / www.21cnjy.com )．
23．【解答】解：（1）根据正对定义，
当顶角为时，等腰三角形底角为，
则三角形为等边三角形，
则．
故选．
（2）当接近时，接近0，
当接近时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2．
于是的取值范围是．
故答案为．
（3）如图，在中，，．
在上取点，使，
作，为垂足，令，，
则，
又在中，，．
，．
则在中，，．
于是在中，，．
由正对的定义可得：，即．
( http: / / www.21cnjy.com )
24．【解答】解：各内角只能是，，，，，
正弦值只能取，，1，
若，
，，
方程①的判别式△，
方程①无实根，与已知矛盾，
故，
同理，，
若，则，，
方程①的判别式△，方程①无实根，与已知矛盾，
，同理，，
综上，，，
这样，其余个内角之和为，这些角均不大于，
，
故，又为正整数，
，即多边形为凸六边形，且，
，，，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)