湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题2 反比例函数的应用

湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题2 反比例函数的应用
一、单选题
1．（2021九上·贵州期中）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变ρ与V在一定范围内满足ρ= ，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（　　）
A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg
2．（2021·江岸模拟）防汛期间，下表记录了某水库16h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x＝8h时，达到警戒水位，开始开闸放水，此时，y与x
x/h 0 1 2 8 10 12 14 16
y/m 14 14.5 15 18 14.4 12 11 9
满足我们学过的某种函数关系.其中开闸放水有一组数据记录错误，它是（　　）
A．第1小时 B．第10小时 C．第14小时 D．第16小时
3．（2021·金乡模拟）如图，平行四边形 的顶A在x轴的正半轴上，点 在对角线 上，反比例函数 的图像经过C、D两点．已知平行四边形 的面积是 ，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数 （k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·庆元模拟）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积V和气体对汽缸壁所产生的压强p。根据"下表中的数据规律进行探求，当汽缸内气体的体积压缩到70mL时压力表读出的压强值a最接近（　　）
体积V 压强p(kPa）
100 60
90 67
80 75
70 a
60 100
A．80kPa B．85kPa C．90kPa D．100 kPa
6．（2021·天河模拟）如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝ 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　　)
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
7．（2021九下·江西月考）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 阻力臂 动力 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2020九上·龙沙期末）已知蓄电池的电压为定值．使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过3A，那么电器的可变电阻R（Ω）应控制在（　　）
A．R≥1 B．0＜R≤2 C．R≥2 D．0＜R≤1
9．（2020九上·平度期末）平度高铁通车后极大的方便了市民的出行．平度北站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均每天运送土石方的数量v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020九上·城阳期末）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图，点A在反比例函数图象上，坐标是（8，30），当压强p（Pa）是4800Pa时，木板面积为（　　）m2
A．0.5 B．2 C．0.05 D．20
二、填空题
11．（2021九上·永州月考）一定质量的二氧化碳，它的体积V（m3）与它的密度ρ（kg/m3）之间成反比例函数关系，其图象如图所示，当ρ＝2.5kg/m3时，V=　 　.
12．（2021·桥东模拟）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点分别为 ， ， ，曲线 （ ）．
（1）点 的坐标为　 　．
（2）当曲线 经过 的对角线的交点时， 的值为　 　．
（3）若 刚好将 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则 的取值范围是　 　．
13．（2021·迁西模拟）如图所示，双曲线 上有一动点A，连接 ，以O为顶点、 为直角边，构造等腰直角角形 ，则 面积的最小值为　 　．此时A点坐标为　 　．
14．（2021·韩城模拟）如图，直角坐标系原点 为 斜边 的中点， ，且 ，反比例函数 经过点 ，则 的值是　 　.
15．（2021九下·江阴期中）如图，在平面直角坐标系中，点A(a，4)为第一象限内一点，且a＜4.连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则a的值等于　 　.
16．（2021·娄星模拟）如图，点 均在双曲线 上运动， 轴， ，则 的面积是　 　.
三、解答题
17．（2020九上·岚山期末）如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线 的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长．
四、综合题
18．（2021九上·广饶期中）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
19．（2021九上·蒙城期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（ ）时，满足 ，下降时，y与x成反比．
（1）直接写出a的取值，并求当 时，y与x的函数表达式；
（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？
20．（2021九上·广饶期中）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
21．（2020·台州）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当. 当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系. 完成第3次训练所需时间为400秒.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2　 　y2-y3.
22．（2020八下·虎林期末）制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（写出自变量的取值范围）
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
23．（2020九下·宝应模拟）如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点，训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线y＝ 上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y＝x上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示）．
（1）发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(　 　，　 　)、B(　 　，　 　)和C(　 　，　 　)；
（2）发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵m=ρv=5×1.4=7kg.
故答案为：D.
【分析】观察图象，将已知点的坐标代入公式m=ρv计算，即可作答.
2．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图表可得y=0.5x+14（0≤x≤8）
设y与x的函数表达式为y= （8≤x≤16），由图表可得：k=8×18=10×14.4=12×12=144
∴y= （8≤x≤16）
当x=14时，y= ，即第14小时这一组数据记录错误.
故答案为：C.
【分析】当0≤x≤8时，当x增加1时，y增加0.5，符合一次函数的性质，当8≤x≤16时，y随x的增大而减小，符合反比例函数的性质，然后选择合适的数据、运用待定系数法确定x与y的函数关系式，然后再进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形 是平行四边形
∴易得CH=AF
∵点 在对角线 上，反比例函数 的图像经过C、D两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴ ，点B坐标为
∵平行四边形 的面积是
∴
解得 （舍去）
∴点B坐标为
故应选：B
【分析】本题重点是将A点坐标和B、C点坐标用同一个字母参数表示出来，再借助题目中已知平行四边形OABC的面积是，可以求出参数，进而解出此题。
4．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过A作 轴，过B作 轴，过A作 ，
∴四边形AMNF为矩形，
∴ ， ，
∵A（﹣3，m），B（n，2），
∴ ，
∵AE＝2﹣m，
∴ ，
在△AEG和△BFG中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵A、B在 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△AME中， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案选B．
【分析】过A作 轴，过B作 轴，过A作 ，得出四边形AMNF为矩形，求证出，由A、B在 上，得出k的值，再证出，在Rt△AME中， ， ，可求出m的值，即可求出k的值。
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵P1V1=PV
∴70a=80×75
解之：a=，与85靠近，
故答案为：B.
【分析】利用压强与体积的关系式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数 经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数 经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16，∴2≤k≤16．
故答案为：C．
【分析】将点A、C的坐标分别代入反比例函数解析式求出k的值，即可求出k的取值范围。
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl，
则F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
故答案为：A．
【分析】利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝ ，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝ ，
当I≤3时，则 ≤3，
∴R≥2，
故答案为：C．
【分析】根据图像中的点的坐标，先求反比例函数关系式，再由电流不能超过三A列不等式，结合图像求出结论。
9．【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得，vt=106，
∴
故答案为：B
【分析】根据题意即可列出反比例函数关系式。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设S与P的函数关系式为 ，
将点（8，30）代入，可得 ，
解得：k=240．
故反比例函数解析式为：P=
把P=4800代入得，4800=
解得，S=0.05
故答案为：C
【分析】由图可知为定值，即k=240．易求出即诶是，再把P值代入即可得出S的值。
11．【答案】2.4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设V＝ ，∵图象经过点（1.5，4），
∴4＝ ，解得k＝6，
∴V＝ .
把ρ＝2.5代入V＝ 可得：V＝2.4.
故答案为：2.4.
【分析】设V＝，将（1.5，4）代入可得k的值，进而得到函数关系式，然后将ρ＝2.5代入求解就可得到V.
12．【答案】（1）（4，5）
（2）14
（3）12＜k＜15
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）∵ ， ，∴ ．
又∵ ， ，∴点 的坐标为 ．
（2）由点 ， 可求得 的中心的坐标为
， ，∴ ，
（3）从 的中心上下移动曲线，如图1，当 经过点 时， ，
曲线上方有7个整点，下方有8个整点．如图2，当 经过点 时， ，
曲线上方有8个整点，下方有6个整点．综上，当 时，曲线 （x>0）刚好将 边上及其内部的“整点”分成数量相等的两部分．
【分析】（1）先求出，再求点的坐标即可；
（2）先求出 ， ，再求解即可；
（3）根据点的坐标和函数图象求解即可。
13．【答案】2；
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB，
∴S△OAB OA OB OA2，
∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，
∵当直线OA为y＝x时，OA最小，
解 得 或 ，
∴此时A的坐标为（ ， ），
∴OA＝2，
∴S△OAB OA2 2，
∴△OAB面积的最小值为2，
故答案为：2；A的坐标为（ ， ）．
【分析】先求出S△OAB OA OB OA2，再求出此时A的坐标为（ ， ），最后求解即可。
14．【答案】
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】如图，作CD⊥AB于点D.
∵ ， 为 斜边 的中点，
∴ ，
∴OB=5，AB=10.
∵ = ，
∴可设BC=x，AC=2x，由勾股定理得
x2+（2x）2=102，
∴x= ，
∴BC= ，AC= ，
∵ ，
∴ ，
∴CD=4，
∴BD= ，
∴OD=5-2=3，
∴C（3，4）.
反比例函数 经过点 ，
∴k=3×4=12.
故答案为：12.
【分析】作CD⊥AB于点D.得到点B坐标，利用锐角三角函数值结合勾股定理求出BC、AC，进而求得CD，得到点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值。
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定（AAS）；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点A作 轴于点 ，过点B作 于点D，如图，
又
点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，
或
A(a，4) 为第一象限内一点，
（舍去）
，
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥x轴，过点B作BD⊥AE于点D，利用垂直的定义及余角的性质可证得∠EAB=∠AOE；再利用AAS证明△AOE≌△BAD，利用全等三角形的性质可证得AO=BA，AE=BD，由此可表示出点B的坐标；然后根据点B所在的象限，利用反比例函数解析式，建立关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
16．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点 作 于 轴于点 ，如下图：
∵点 均在双曲线 上运动，
∴设 .
.
.
轴， 轴，
∴四边形 为矩形.
.
，
.
.
.
.
故答案为：2.
【分析】过点 作 于 轴于点 ，设 ，再把有关线段用a、b表示，然后根据矩形的性质把BD和CD表示出来，然后根据等腰直角三角形的性质求出，据此求出b=2a，然后根据三角形面积公式计算化简即可.
17．【答案】解：∵OC=5，BC=1.8，
∴点B的坐标是（1.8，5），代入 ，得，
，
∴双曲线的解析式为 ，
∵DE=0.75，
∴设点D的坐标为（m，0.75），并代入 ，得
，
解得m=12，
即OE=12，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=1.8
∴AE=OE-OA=12 1.8=10.2（米）
答：B、D之间的水平距离为10.2米．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】用待定系数法解的双曲线的解析式，进而解得点D的坐标，得到OE的长，最后根据矩形的性质解题即可。
18．【答案】（1）解：停止加热时，设 ，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝ ，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝ (9＜x≤45)；
（2）解：把y＝90代入y＝ ，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数的一般式利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后求出点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，从而求得答案。
19．【答案】（1）解：由图象知， ；
∵当 时，y与x成反比，
∴设 ，
由图象可知，当 时， ，
∴ ；
∴ ；
（2）解：把 分别代入 和 得， 和 ，
∵ ，
∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）将y=3代入函数解析式求解即可。
20．【答案】（1）解：停止加热 分钟后，设 ，
由题意得： ，
解得： ，
，
当 时，解得： ，当 时， ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
当加热烧水时，设 ，
由题意将 点坐标 代入上式得 ，
解得： ，
当加热烧水时，函数关系式为 ；
当停止加热时 与 的函数关系式为 ； ；
（2）解：把 代入 ，得 ，
因此从水壶中的水烧开 降到 可以泡茶需要等待 分钟．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数解析式，利用待定系数法求出解析式，确定点C以及点B的坐标，求出一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，求出答案即可。
21．【答案】（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝ ，
把（3，400）代入y＝ 得，400＝ ，
解得：k＝1200，
∴y与x之间的函数关系式为y＝ ；
（2）>
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2）把x＝6，8，10分别代入y＝ 得，y1＝ ＝200，y2＝ ＝150，y3＝ ＝120，
∵y1﹣y2＝200﹣150＝50，y2﹣y3＝150﹣120＝30，
∵50＞30，
∴y1﹣y2＞y2﹣y3，
故答案为：＞．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝ ，把（3，400）代入y＝ 即可得到结论；（2）把x＝6，8，10分别代入y＝ 得到求得y1，y2，y3值，即可得到结论．
22．【答案】（1）解：设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），
该函数图象经过点（0，15），（5，60）， ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ，
设加热停止后反比例函数表达式为 （a≠0），该函数图象经过点（5，60），即 ，
所以反比例函数表达式为
（2）解：当 y=15时，代入y=9x+15有x=0
当 y=15时，代入 有x=20
20-0=20（分钟）．
答：该材料进行特殊处理所用时间为20分钟．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）分0≤x≤5和x＞5两种情况，分别利用待定系数法求解即可；
（2）利用（1）结论分别求出y=15时的x值，从而得出结论.
23．【答案】（1）2；2；－2；－2；2 ；－2 ；
（2）解：作AD⊥x轴于D，连AC、BC和OC，
∵A（2，2），
∴∠AOD=45°，AO=2 ，
∵C在O的东南45°方向上，
∴∠AOC=45°+45°=90°，
∵AO=BO，∴AC=BC，
又∵∠BAC=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴AC=BC=AB=2AO=4 ，
∴ ，
由条件设教练船的速度为3m，A、B两船的速度都为4m，
则教练船所用时间为 ，A、B两船所用时间均为 = ，
∵ = ， = ，
∴ ＞ ；
∴教练船没有最先赶到．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）CE⊥x轴于E，解方程组
得 ，
∴A（2，2），B（-2，-2），
在等边△ABC中可求OA=2 ，
则OC= OA=2 ，
在Rt△OCE中， ，
∴C（2 ，-2 ）；
【分析】（1）A、B两点直线y=x上和双曲线y= ，列方程组可求A、B两点坐标，在依题意判断△ABC为等边三角形，OA=2 ，则OC= OA=2 ，过C点作x轴的垂线CE，垂足为E，利用OC在第四象限的角平分线上求OE，CE，确定C点坐标；（2）分别求出AC、OC的长，分别表示教练船与A、B两船的速度与时间，比较时间的大小即可．
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题2 反比例函数的应用
一、单选题
1．（2021九上·贵州期中）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变ρ与V在一定范围内满足ρ= ，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（　　）
A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵m=ρv=5×1.4=7kg.
故答案为：D.
【分析】观察图象，将已知点的坐标代入公式m=ρv计算，即可作答.
2．（2021·江岸模拟）防汛期间，下表记录了某水库16h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x＝8h时，达到警戒水位，开始开闸放水，此时，y与x
x/h 0 1 2 8 10 12 14 16
y/m 14 14.5 15 18 14.4 12 11 9
满足我们学过的某种函数关系.其中开闸放水有一组数据记录错误，它是（　　）
A．第1小时 B．第10小时 C．第14小时 D．第16小时
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图表可得y=0.5x+14（0≤x≤8）
设y与x的函数表达式为y= （8≤x≤16），由图表可得：k=8×18=10×14.4=12×12=144
∴y= （8≤x≤16）
当x=14时，y= ，即第14小时这一组数据记录错误.
故答案为：C.
【分析】当0≤x≤8时，当x增加1时，y增加0.5，符合一次函数的性质，当8≤x≤16时，y随x的增大而减小，符合反比例函数的性质，然后选择合适的数据、运用待定系数法确定x与y的函数关系式，然后再进行判断即可.
3．（2021·金乡模拟）如图，平行四边形 的顶A在x轴的正半轴上，点 在对角线 上，反比例函数 的图像经过C、D两点．已知平行四边形 的面积是 ，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形 是平行四边形
∴易得CH=AF
∵点 在对角线 上，反比例函数 的图像经过C、D两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴ ，点B坐标为
∵平行四边形 的面积是
∴
解得 （舍去）
∴点B坐标为
故应选：B
【分析】本题重点是将A点坐标和B、C点坐标用同一个字母参数表示出来，再借助题目中已知平行四边形OABC的面积是，可以求出参数，进而解出此题。
4．（2021·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数 （k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过A作 轴，过B作 轴，过A作 ，
∴四边形AMNF为矩形，
∴ ， ，
∵A（﹣3，m），B（n，2），
∴ ，
∵AE＝2﹣m，
∴ ，
在△AEG和△BFG中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵A、B在 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△AME中， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案选B．
【分析】过A作 轴，过B作 轴，过A作 ，得出四边形AMNF为矩形，求证出，由A、B在 上，得出k的值，再证出，在Rt△AME中， ， ，可求出m的值，即可求出k的值。
5．（2021·庆元模拟）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积V和气体对汽缸壁所产生的压强p。根据"下表中的数据规律进行探求，当汽缸内气体的体积压缩到70mL时压力表读出的压强值a最接近（　　）
体积V 压强p(kPa）
100 60
90 67
80 75
70 a
60 100
A．80kPa B．85kPa C．90kPa D．100 kPa
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵P1V1=PV
∴70a=80×75
解之：a=，与85靠近，
故答案为：B.
【分析】利用压强与体积的关系式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
6．（2021·天河模拟）如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝ 在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　　)
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数 经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数 经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16，∴2≤k≤16．
故答案为：C．
【分析】将点A、C的坐标分别代入反比例函数解析式求出k的值，即可求出k的取值范围。
7．（2021九下·江西月考）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 阻力臂 动力 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl，
则F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
故答案为：A．
【分析】利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
8．（2020九上·龙沙期末）已知蓄电池的电压为定值．使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过3A，那么电器的可变电阻R（Ω）应控制在（　　）
A．R≥1 B．0＜R≤2 C．R≥2 D．0＜R≤1
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝ ，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝ ，
当I≤3时，则 ≤3，
∴R≥2，
故答案为：C．
【分析】根据图像中的点的坐标，先求反比例函数关系式，再由电流不能超过三A列不等式，结合图像求出结论。
9．（2020九上·平度期末）平度高铁通车后极大的方便了市民的出行．平度北站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均每天运送土石方的数量v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得，vt=106，
∴
故答案为：B
【分析】根据题意即可列出反比例函数关系式。
10．（2020九上·城阳期末）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强p（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图，点A在反比例函数图象上，坐标是（8，30），当压强p（Pa）是4800Pa时，木板面积为（　　）m2
A．0.5 B．2 C．0.05 D．20
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设S与P的函数关系式为 ，
将点（8，30）代入，可得 ，
解得：k=240．
故反比例函数解析式为：P=
把P=4800代入得，4800=
解得，S=0.05
故答案为：C
【分析】由图可知为定值，即k=240．易求出即诶是，再把P值代入即可得出S的值。
二、填空题
11．（2021九上·永州月考）一定质量的二氧化碳，它的体积V（m3）与它的密度ρ（kg/m3）之间成反比例函数关系，其图象如图所示，当ρ＝2.5kg/m3时，V=　 　.
【答案】2.4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设V＝ ，∵图象经过点（1.5，4），
∴4＝ ，解得k＝6，
∴V＝ .
把ρ＝2.5代入V＝ 可得：V＝2.4.
故答案为：2.4.
【分析】设V＝，将（1.5，4）代入可得k的值，进而得到函数关系式，然后将ρ＝2.5代入求解就可得到V.
12．（2021·桥东模拟）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点分别为 ， ， ，曲线 （ ）．
（1）点 的坐标为　 　．
（2）当曲线 经过 的对角线的交点时， 的值为　 　．
（3）若 刚好将 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则 的取值范围是　 　．
【答案】（1）（4，5）
（2）14
（3）12＜k＜15
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）∵ ， ，∴ ．
又∵ ， ，∴点 的坐标为 ．
（2）由点 ， 可求得 的中心的坐标为
， ，∴ ，
（3）从 的中心上下移动曲线，如图1，当 经过点 时， ，
曲线上方有7个整点，下方有8个整点．如图2，当 经过点 时， ，
曲线上方有8个整点，下方有6个整点．综上，当 时，曲线 （x>0）刚好将 边上及其内部的“整点”分成数量相等的两部分．
【分析】（1）先求出，再求点的坐标即可；
（2）先求出 ， ，再求解即可；
（3）根据点的坐标和函数图象求解即可。
13．（2021·迁西模拟）如图所示，双曲线 上有一动点A，连接 ，以O为顶点、 为直角边，构造等腰直角角形 ，则 面积的最小值为　 　．此时A点坐标为　 　．
【答案】2；
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB，
∴S△OAB OA OB OA2，
∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，
∵当直线OA为y＝x时，OA最小，
解 得 或 ，
∴此时A的坐标为（ ， ），
∴OA＝2，
∴S△OAB OA2 2，
∴△OAB面积的最小值为2，
故答案为：2；A的坐标为（ ， ）．
【分析】先求出S△OAB OA OB OA2，再求出此时A的坐标为（ ， ），最后求解即可。
14．（2021·韩城模拟）如图，直角坐标系原点 为 斜边 的中点， ，且 ，反比例函数 经过点 ，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】如图，作CD⊥AB于点D.
∵ ， 为 斜边 的中点，
∴ ，
∴OB=5，AB=10.
∵ = ，
∴可设BC=x，AC=2x，由勾股定理得
x2+（2x）2=102，
∴x= ，
∴BC= ，AC= ，
∵ ，
∴ ，
∴CD=4，
∴BD= ，
∴OD=5-2=3，
∴C（3，4）.
反比例函数 经过点 ，
∴k=3×4=12.
故答案为：12.
【分析】作CD⊥AB于点D.得到点B坐标，利用锐角三角函数值结合勾股定理求出BC、AC，进而求得CD，得到点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值。
15．（2021九下·江阴期中）如图，在平面直角坐标系中，点A(a，4)为第一象限内一点，且a＜4.连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则a的值等于　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定（AAS）；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点A作 轴于点 ，过点B作 于点D，如图，
又
点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，
或
A(a，4) 为第一象限内一点，
（舍去）
，
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥x轴，过点B作BD⊥AE于点D，利用垂直的定义及余角的性质可证得∠EAB=∠AOE；再利用AAS证明△AOE≌△BAD，利用全等三角形的性质可证得AO=BA，AE=BD，由此可表示出点B的坐标；然后根据点B所在的象限，利用反比例函数解析式，建立关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
16．（2021·娄星模拟）如图，点 均在双曲线 上运动， 轴， ，则 的面积是　 　.
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：过点 作 于 轴于点 ，如下图：
∵点 均在双曲线 上运动，
∴设 .
.
.
轴， 轴，
∴四边形 为矩形.
.
，
.
.
.
.
故答案为：2.
【分析】过点 作 于 轴于点 ，设 ，再把有关线段用a、b表示，然后根据矩形的性质把BD和CD表示出来，然后根据等腰直角三角形的性质求出，据此求出b=2a，然后根据三角形面积公式计算化简即可.
三、解答题
17．（2020九上·岚山期末）如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线 的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长．
【答案】解：∵OC=5，BC=1.8，
∴点B的坐标是（1.8，5），代入 ，得，
，
∴双曲线的解析式为 ，
∵DE=0.75，
∴设点D的坐标为（m，0.75），并代入 ，得
，
解得m=12，
即OE=12，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=1.8
∴AE=OE-OA=12 1.8=10.2（米）
答：B、D之间的水平距离为10.2米．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】用待定系数法解的双曲线的解析式，进而解得点D的坐标，得到OE的长，最后根据矩形的性质解题即可。
四、综合题
18．（2021九上·广饶期中）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】（1）解：停止加热时，设 ，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝ ，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝ (9＜x≤45)；
（2）解：把y＝90代入y＝ ，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数的一般式利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后求出点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，从而求得答案。
19．（2021九上·蒙城期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（ ）时，满足 ，下降时，y与x成反比．
（1）直接写出a的取值，并求当 时，y与x的函数表达式；
（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？
【答案】（1）解：由图象知， ；
∵当 时，y与x成反比，
∴设 ，
由图象可知，当 时， ，
∴ ；
∴ ；
（2）解：把 分别代入 和 得， 和 ，
∵ ，
∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）将y=3代入函数解析式求解即可。
20．（2021九上·广饶期中）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】（1）解：停止加热 分钟后，设 ，
由题意得： ，
解得： ，
，
当 时，解得： ，当 时， ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
当加热烧水时，设 ，
由题意将 点坐标 代入上式得 ，
解得： ，
当加热烧水时，函数关系式为 ；
当停止加热时 与 的函数关系式为 ； ；
（2）解：把 代入 ，得 ，
因此从水壶中的水烧开 降到 可以泡茶需要等待 分钟．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数解析式，利用待定系数法求出解析式，确定点C以及点B的坐标，求出一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，求出答案即可。
21．（2020·台州）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当. 当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系. 完成第3次训练所需时间为400秒.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2　 　y2-y3.
【答案】（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝ ，
把（3，400）代入y＝ 得，400＝ ，
解得：k＝1200，
∴y与x之间的函数关系式为y＝ ；
（2）>
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2）把x＝6，8，10分别代入y＝ 得，y1＝ ＝200，y2＝ ＝150，y3＝ ＝120，
∵y1﹣y2＝200﹣150＝50，y2﹣y3＝150﹣120＝30，
∵50＞30，
∴y1﹣y2＞y2﹣y3，
故答案为：＞．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝ ，把（3，400）代入y＝ 即可得到结论；（2）把x＝6，8，10分别代入y＝ 得到求得y1，y2，y3值，即可得到结论．
22．（2020八下·虎林期末）制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（写出自变量的取值范围）
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
【答案】（1）解：设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），
该函数图象经过点（0，15），（5，60）， ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ，
设加热停止后反比例函数表达式为 （a≠0），该函数图象经过点（5，60），即 ，
所以反比例函数表达式为
（2）解：当 y=15时，代入y=9x+15有x=0
当 y=15时，代入 有x=20
20-0=20（分钟）．
答：该材料进行特殊处理所用时间为20分钟．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）分0≤x≤5和x＞5两种情况，分别利用待定系数法求解即可；
（2）利用（1）结论分别求出y=15时的x值，从而得出结论.
23．（2020九下·宝应模拟）如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点，训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线y＝ 上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y＝x上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示）．
（1）发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(　 　，　 　)、B(　 　，　 　)和C(　 　，　 　)；
（2）发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？请说明理由．
【答案】（1）2；2；－2；－2；2 ；－2 ；
（2）解：作AD⊥x轴于D，连AC、BC和OC，
∵A（2，2），
∴∠AOD=45°，AO=2 ，
∵C在O的东南45°方向上，
∴∠AOC=45°+45°=90°，
∵AO=BO，∴AC=BC，
又∵∠BAC=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴AC=BC=AB=2AO=4 ，
∴ ，
由条件设教练船的速度为3m，A、B两船的速度都为4m，
则教练船所用时间为 ，A、B两船所用时间均为 = ，
∵ = ， = ，
∴ ＞ ；
∴教练船没有最先赶到．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）CE⊥x轴于E，解方程组
得 ，
∴A（2，2），B（-2，-2），
在等边△ABC中可求OA=2 ，
则OC= OA=2 ，
在Rt△OCE中， ，
∴C（2 ，-2 ）；
【分析】（1）A、B两点直线y=x上和双曲线y= ，列方程组可求A、B两点坐标，在依题意判断△ABC为等边三角形，OA=2 ，则OC= OA=2 ，过C点作x轴的垂线CE，垂足为E，利用OC在第四象限的角平分线上求OE，CE，确定C点坐标；（2）分别求出AC、OC的长，分别表示教练船与A、B两船的速度与时间，比较时间的大小即可．
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