湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题3 一元二次方程及其解法
一、单选题
1．（2021九上·台州期中）一元二次方程 的解是（ ）
A．x = 2 B．x = -2 C．x = ±2 D．x = 4
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4=0，
∴(x-2)(x+2)=0，
解得x=2或-2.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可.
2．（2021九上·南开期中）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：原方程可化为：（x﹣5）（x+1）＝0，
解得：x1=5，x2=﹣1（舍去），
∴d=5，
∵d=5﹥4，
∴点P在⊙O的外部，
故答案为：B．
【分析】先求出（x﹣5）（x+1）＝0，再求出d=5，最后求解即可。
3．（2021九上·津南期中）用配方法解方程x2﹣8x＋2＝0，配方后的方程是（ ）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝2
C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣1）2＝﹣7
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程可化为 ，即 ．
故答案为：A．
【分析】先求出，再计算求解即可。
4．（2021九上·津南期中）将方程 化成一元二次方程的一般式，则一次项系数是（ ）
A．5 B．4 C．﹣4 D．﹣1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 化成一元二次方程一般形式是 ，
它的一次项系数是-4．
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
5．（2021九上·交城期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
6．（2021九上·交城期中）若关于x的一元二次方程 可以通过配方写成 的形式，那么下列关于 的值正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵一元二次方程 ，
∴ ， ，
∴ ， ；
故答案为：A．
【分析】将方程展开，再利用待定系数法的方法可得 ， ，即可求出m、n的值。
7．（2021九上·李沧期中）根据下表：
x －3 －2 －1 … 4 5 6
x －bx－5 13 5 －1 … －1 5 13
确定方程x －bx－5＝0的解的取值范围是（ ）
A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6
C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5
【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格可知：当x＝－2时，x －bx－5＝5，
当x＝－1时，x －bx－5＝－1，
∴关于x的一元二次方程x －bx－5=0的一个解x的范围是－2＜x＜－1，
同理，另一个解的范围是：4＜x＜5
综上，方程x －bx－5＝0的解的取值范围是：－2＜x＜－1或4＜x＜5
故答案为：A．
【分析】观察一直表格，根据第二行代数式的值的变化，使代数式的值等于0或接近0的x的值即为所求方程的解，从而确定出方程解的范围即可。
8．（2021九上·博兴期中）一元二次方程x2＝2x的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2
C．x＝0或x＝﹣2 D．x＝0或x＝2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2＝2x，
，
，
即 或 ，
∴ 或 ，
故答案为：D．
【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可。
9．（2021九上·深圳期中）一元二次方程（x-1）2=4的解是（ ）
A．x1=3，x2=﹣1 B．x=3
C．x=1 D．x1=3，x2=0
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x-1）2=4，
∴x-1=±2，
∴x-1=2，x-1=-2，
∴x1=3，x2=-1．
故答案为：A．
【分析】利用直接开平方法解方程即可.
10．（2021九上·高州期中）已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，而x2+2ax﹣12＝0的两根分别为x1，x3，其中x1≠x2≠x3，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
∴用① -②得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 或 （不合题意），
当 时，原方程为 和 ，此时 不符合题意，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】由于x1是方程ax2+2x﹣12＝0与x2+2ax﹣12的根，可将x=x1分别代入两方程，将两方程相减可得，据此求出a及x1的值，然后再代入方程求解并检验即可.
二、填空题
11．（2021九上·南开期中）已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于 的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1
∴
解得：a=2
故答案为：2．
【分析】先求出 ，再解方程即可。
12．（2021九上·津南期中）方程 的根为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或
故答案为：
【分析】先求出 或 再解方程即可。
13．（2021九上·津南期中）已知2是方程x2﹣4x＋m＝0的一个实数根，则实数m的值是 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入方程 得 ，
解得 ．
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后解方程即可。
14．（2021九上·博兴期中）方程 化为一般形式 后，a= ，b= ，c= ， ．
【答案】2；-7；-4；81
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
，
∴ ， ， ，
，
故答案为：2，-7，-4，81．
【分析】利用移项的方法将方程化为一般式，再求解即可。
15．（2021九上·李沧期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
【答案】大；21
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：﹣x2－6x+12
＝12﹣（x2＋6x）
＝12﹣（x2＋6x+9﹣9）
＝12﹣（x＋3）2＋9
＝21﹣（x＋3）2，
∵（x＋3）2≥0，
∴当（x＋3）2＝0时，21﹣（x＋3）2取得最大值21．
故答案为：大，21
【分析】原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可。
16．（2021九上·博兴期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则k的值是 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程 是一元二次方程，
∴k-1≠0，
∴k≠1．
把x=0代入 ，得 ，
解得：k=1(舍去)，或k=0
故答案为：0
【分析】将x=0代入方程求出k的值，再结合k-1≠0，得到k≠1，即可求出k的值。
三、计算题
17．（2021九上·南开期中）解一元二次方程
（1）x2﹣4x＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
【答案】（1）解：x2﹣4x＝0，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
解得：x1＝0，x2＝4；
（2）解：3x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×3×（﹣1）＝13，
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ ．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可。
18．（2021九上·津南期中）用因式分解法解方程
（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2
【答案】（1）解：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
移项得：
或
解得：
（2）解：4x2﹣4x+1＝（x+3）2
整理得：
或
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
19．（2021九上·津南期中）解下列方程．
（1） （配方法）
（2）3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）
【答案】（1）解： ，
移项，得： ，
配方，得： ，
，
，
∴ ， ；
（2）解：3x2﹣6x﹣2＝0，
， ， ，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可。
四、解答题
20．（2021九上·嘉祥期中）若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，求该直角三角形的面积．
【答案】解：解方程 得，
， ，
当3和4是直角三角形的两条直角边时，直角三角形的面积为 ；
当3是直角三角形的直角边，4是直角三角形的斜边时，另一条直角边为 ，直角三角形的面积为 ；
答：直角三角形的面积为6或 ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先利用十字相乘法求出方程的两根，再分两种情况利用勾股定理求出第三边，最后利用三角形的面积公式求解即可。
21．（2021九上·朝阳期中）若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值．
【答案】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m+1≠0，且|m|+1=2，
解得m+1≠0，且m=1或m=-1，
∴m=1，
故答案为：m=1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，x的最高次数为2列关系式即可求解。
22．（2021九上·峄城月考）小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框：
小敏： 两边同除以 ，得 ， 则 ． 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则 或 ， 解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：他们的解法都错误
小敏： 两边同除以 ，得 ， 则 ． （×） 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则 或 ， 解得 ， ． （×）
正确解答：
移项，得 ，
提取公因式，得 ，
去括号，得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解答求解一元二次方程的步骤及注意事项求解即可。
五、综合题
23．（2021九上·交城期中）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根 是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
【答案】（1）证明： ，
整理得：
∵ ， ， ，
∴ =1>0 ，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解： ，
，
∴ ， ，
①当 为对角线时， ，
解得： （不符合题意，舍去），
②当 为对角线时， ，
解得： ；
综合可得，k的值为4．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出算式求解即可；
（2）利用公式法求出一元二次方程的根，再结合矩形的性质分两种情况：①当 为对角线时， ，②当 为对角线时， ，分别求解即可。
24．（2021九上·李沧期中）（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0．
（3）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？
【答案】（1）解：x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝ ，
解得：x1＝1+ ，x2＝1﹣ ；
（2）解：方程整理为一般式，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝102﹣4×3×5＝40＞0，
则x＝ ＝ ＝ ，
即x1＝ ，x2＝ ．
（3）解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝ ，x1·x2＝
将a＝1，b＝2，c＝k﹣2，代入上式得
x1+x2＝－2， x1·x2＝k﹣2
∵方程的一个根为－3，即x1＝－3，
∴另一个根x2＝1，
代入得：k＝－1
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式方法求解一元二次方程即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2＝ ，x1·x2＝ ，再将数据代入计算即可。
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题3 一元二次方程及其解法
一、单选题
1．（2021九上·台州期中）一元二次方程 的解是（ ）
A．x = 2 B．x = -2 C．x = ±2 D．x = 4
2．（2021九上·南开期中）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
3．（2021九上·津南期中）用配方法解方程x2﹣8x＋2＝0，配方后的方程是（ ）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝2
C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣1）2＝﹣7
4．（2021九上·津南期中）将方程 化成一元二次方程的一般式，则一次项系数是（ ）
A．5 B．4 C．﹣4 D．﹣1
5．（2021九上·交城期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·交城期中）若关于x的一元二次方程 可以通过配方写成 的形式，那么下列关于 的值正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·李沧期中）根据下表：
x －3 －2 －1 … 4 5 6
x －bx－5 13 5 －1 … －1 5 13
确定方程x －bx－5＝0的解的取值范围是（ ）
A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6
C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5
8．（2021九上·博兴期中）一元二次方程x2＝2x的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2
C．x＝0或x＝﹣2 D．x＝0或x＝2
9．（2021九上·深圳期中）一元二次方程（x-1）2=4的解是（ ）
A．x1=3，x2=﹣1 B．x=3
C．x=1 D．x1=3，x2=0
10．（2021九上·高州期中）已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣12＝0的两根分别为x1，x2，而x2+2ax﹣12＝0的两根分别为x1，x3，其中x1≠x2≠x3，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
二、填空题
11．（2021九上·南开期中）已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是 ．
12．（2021九上·津南期中）方程 的根为 ．
13．（2021九上·津南期中）已知2是方程x2﹣4x＋m＝0的一个实数根，则实数m的值是 ．
14．（2021九上·博兴期中）方程 化为一般形式 后，a= ，b= ，c= ， ．
15．（2021九上·李沧期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
16．（2021九上·博兴期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则k的值是 ．
三、计算题
17．（2021九上·南开期中）解一元二次方程
（1）x2﹣4x＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
18．（2021九上·津南期中）用因式分解法解方程
（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2
19．（2021九上·津南期中）解下列方程．
（1） （配方法）
（2）3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）
四、解答题
20．（2021九上·嘉祥期中）若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，求该直角三角形的面积．
21．（2021九上·朝阳期中）若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值．
22．（2021九上·峄城月考）小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框：
小敏： 两边同除以 ，得 ， 则 ． 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则 或 ， 解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
五、综合题
23．（2021九上·交城期中）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根 是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
24．（2021九上·李沧期中）（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0．
（3）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4=0，
∴(x-2)(x+2)=0，
解得x=2或-2.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可.
2．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：原方程可化为：（x﹣5）（x+1）＝0，
解得：x1=5，x2=﹣1（舍去），
∴d=5，
∵d=5﹥4，
∴点P在⊙O的外部，
故答案为：B．
【分析】先求出（x﹣5）（x+1）＝0，再求出d=5，最后求解即可。
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程可化为 ，即 ．
故答案为：A．
【分析】先求出，再计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 化成一元二次方程一般形式是 ，
它的一次项系数是-4．
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵一元二次方程 ，
∴ ， ，
∴ ， ；
故答案为：A．
【分析】将方程展开，再利用待定系数法的方法可得 ， ，即可求出m、n的值。
7．【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格可知：当x＝－2时，x －bx－5＝5，
当x＝－1时，x －bx－5＝－1，
∴关于x的一元二次方程x －bx－5=0的一个解x的范围是－2＜x＜－1，
同理，另一个解的范围是：4＜x＜5
综上，方程x －bx－5＝0的解的取值范围是：－2＜x＜－1或4＜x＜5
故答案为：A．
【分析】观察一直表格，根据第二行代数式的值的变化，使代数式的值等于0或接近0的x的值即为所求方程的解，从而确定出方程解的范围即可。
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2＝2x，
，
，
即 或 ，
∴ 或 ，
故答案为：D．
【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可。
9．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x-1）2=4，
∴x-1=±2，
∴x-1=2，x-1=-2，
∴x1=3，x2=-1．
故答案为：A．
【分析】利用直接开平方法解方程即可.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
∴用① -②得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 或 （不合题意），
当 时，原方程为 和 ，此时 不符合题意，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：D．
【分析】由于x1是方程ax2+2x﹣12＝0与x2+2ax﹣12的根，可将x=x1分别代入两方程，将两方程相减可得，据此求出a及x1的值，然后再代入方程求解并检验即可.
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于 的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1
∴
解得：a=2
故答案为：2．
【分析】先求出 ，再解方程即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或
故答案为：
【分析】先求出 或 再解方程即可。
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入方程 得 ，
解得 ．
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后解方程即可。
14．【答案】2；-7；-4；81
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
，
∴ ， ， ，
，
故答案为：2，-7，-4，81．
【分析】利用移项的方法将方程化为一般式，再求解即可。
15．【答案】大；21
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：﹣x2－6x+12
＝12﹣（x2＋6x）
＝12﹣（x2＋6x+9﹣9）
＝12﹣（x＋3）2＋9
＝21﹣（x＋3）2，
∵（x＋3）2≥0，
∴当（x＋3）2＝0时，21﹣（x＋3）2取得最大值21．
故答案为：大，21
【分析】原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可。
16．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程 是一元二次方程，
∴k-1≠0，
∴k≠1．
把x=0代入 ，得 ，
解得：k=1(舍去)，或k=0
故答案为：0
【分析】将x=0代入方程求出k的值，再结合k-1≠0，得到k≠1，即可求出k的值。
17．【答案】（1）解：x2﹣4x＝0，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
解得：x1＝0，x2＝4；
（2）解：3x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×3×（﹣1）＝13，
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ ．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可。
18．【答案】（1）解：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
移项得：
或
解得：
（2）解：4x2﹣4x+1＝（x+3）2
整理得：
或
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
19．【答案】（1）解： ，
移项，得： ，
配方，得： ，
，
，
∴ ， ；
（2）解：3x2﹣6x﹣2＝0，
， ， ，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可。
20．【答案】解：解方程 得，
， ，
当3和4是直角三角形的两条直角边时，直角三角形的面积为 ；
当3是直角三角形的直角边，4是直角三角形的斜边时，另一条直角边为 ，直角三角形的面积为 ；
答：直角三角形的面积为6或 ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先利用十字相乘法求出方程的两根，再分两种情况利用勾股定理求出第三边，最后利用三角形的面积公式求解即可。
21．【答案】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m+1≠0，且|m|+1=2，
解得m+1≠0，且m=1或m=-1，
∴m=1，
故答案为：m=1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，x的最高次数为2列关系式即可求解。
22．【答案】解：他们的解法都错误
小敏： 两边同除以 ，得 ， 则 ． （×） 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则 或 ， 解得 ， ． （×）
正确解答：
移项，得 ，
提取公因式，得 ，
去括号，得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解答求解一元二次方程的步骤及注意事项求解即可。
23．【答案】（1）证明： ，
整理得：
∵ ， ， ，
∴ =1>0 ，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解： ，
，
∴ ， ，
①当 为对角线时， ，
解得： （不符合题意，舍去），
②当 为对角线时， ，
解得： ；
综合可得，k的值为4．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出算式求解即可；
（2）利用公式法求出一元二次方程的根，再结合矩形的性质分两种情况：①当 为对角线时， ，②当 为对角线时， ，分别求解即可。
24．【答案】（1）解：x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝ ，
解得：x1＝1+ ，x2＝1﹣ ；
（2）解：方程整理为一般式，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝102﹣4×3×5＝40＞0，
则x＝ ＝ ＝ ，
即x1＝ ，x2＝ ．
（3）解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝ ，x1·x2＝
将a＝1，b＝2，c＝k﹣2，代入上式得
x1+x2＝－2， x1·x2＝k﹣2
∵方程的一个根为－3，即x1＝－3，
∴另一个根x2＝1，
代入得：k＝－1
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式方法求解一元二次方程即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2＝ ，x1·x2＝ ，再将数据代入计算即可。
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