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湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题4 一元二次方程根的判别式
一、单选题
1.（2021九上·津南期中）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞﹣1 B. m＞1 C. m≤1 D. m≤﹣1
2.（2021九上·津南期中）一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
3.（2021九上·交城期中）请判断一元二次方程 的实数根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
4.（2021九上·章丘期中）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜1 D. k＜1且k≠0
5.（2021九上·尧都期中）一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定
6.（2021九上·磐石期中）下列方程没有实数根的是（ ）
A. x2﹣1＝0 B. x2﹣x﹣3＝0 C. x2﹣4x＋4＝0 D. x2﹣x＋2＝0
7.（2021九上·古冶期中）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2＋2x＝0 B. x2＋2x＋1＝0 C. x2＋2x﹣1＝0 D. x2＋2x＋2＝0
8.（2021九上·博罗期中）若关于x的一元二次方程 没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.（2021九上·海珠期中）一元二次方程 的根的情况是（ ）．
A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
10.（2021九上·汉滨期中）下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A. x2－x＋1＝0 B. x2＋x＋1＝0 C. (x－1)(x＋2)＝0 D. (x－1)2＋l＝0
二、填空题
11.（2021九上·台州期中）一元二次方程 有两个相同的解，则b= ．
12.（2021九上·李沧期中）若关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．
13.（2021九上·中山期中）若关于x的一元二次方程（m - 1）x2 + 3x + 2 = 0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14.（2021九上·长春期中）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15.（2021九上·朝阳期中）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
16.（2021九上·香洲期中）若关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
三、解答题
17.（2021九上·厦门期中）判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0根的情况.
18.（2021九上·揭西月考）已知关于 的一元二次方程 有两实数根 ，求 的取值范围
19.（2021九上·李沧月考）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．
四、综合题
20.（2021九上·路北期中）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.
21.（2021九上·海珠期中）已知关于x的方程 有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若 是方程的一个根，求方程的另一个根．
22.（2021九上·海淀期中）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
23.（2021九上·滨湖期中）已知：矩形ABCD两边AB、BC的长是关于x的方程x2－2mx＋4m－4＝0的两个实数根.
（1）当m为何值时，矩形ABCD是正方形；
（2）若AB的长为4，求矩形ABCD的周长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程 有两个实数根，
故答案为：C
【分析】先求出再求出最后计算求解即可。
2.【答案】 D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△＝12﹣4×1×6＝﹣23＜0，
所以方程没有实数根．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
3.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ=（-7）2-4×（ ）=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故答案为：B ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列式求解即可。
4.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意知k≠0且Δ＝（-2）2 4 k （-1）=4+4k＞0，
解得：k＞ 1且k≠0．
故答案为：B ．
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可。
5.【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-4，c=5，
∴ =b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
∴方程没有实数根.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.
6.【答案】 D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.∵Δ=02-4×1×（-1）=0+4=4＞0，∴方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；
B.∵Δ=（-1）2-4×1×（-3）=1+12=13＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C.∵Δ=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；
D.∵Δ=（-1）2-4×1×2=1-8=-7<0，∴方程没有实数根，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用根的判别式进行判断即可得到结论。
7.【答案】 D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵a＝1，b＝2，c＝0，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、∵a＝1，b＝2，c＝1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴此方程没有实数根，故本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断求解即可。
8.【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故答案为：C．
【分析】先求出△=（-2）2-4m＜0，再计算求解即可。
9.【答案】 A
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵
根据一元二次方程根的判别式 ，当 时，原方程没有实数根.
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
10.【答案】 C
【考点】因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.x2－x＋1＝0中△= ，所以方程没有实数根；
B.x2＋x＋1＝0中△= ，所以方程没有实数根；
C.(x－1)(x＋2)＝0 可用因式分解法解x-1=0或x+2=0，所以方程解为x=1或x=－2；
D.(x－1)2＋1＝0，移项得，(x－1)2=－1，任何实数的平方都不可能是负数，所以方程无解.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
二、填空题
11.【答案】 1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程 有两个相同的解，
∴△=b2-4ac=4-4b=0，
解得b=1.
故答案为：1.
【分析】一元二次方程有两个相同的实数根的条件是△=b2-4ac=0，据此列式求解即可.
12.【答案】
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，
∴ ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＞0，
解得： ，
故答案为： ．
【分析】由方程由两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出 ＝＞0，由此得出关于c的一元一次不等式，解不等式即可得出答案。
13.【答案】 且
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 总有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
14.【答案】 m＜9
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△=62-4×1×m＞0，
解得m＜9，
故答案为：m＜9.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
15.【答案】
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∵a＝1，b＝－5，c＝2k ，
∴(－5)2﹣4×1×2k＞0，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据△>0时方程有两个不相等的实数根，列不等式求解即可。
16.【答案】 k≥0且k≠1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（k 1）x2＋2x 1＝0有两个实数根，
∴22 4×（k 1）×（ 1）≥0且k 1≠0，
解得k≥0且k≠1，
故答案为：k≥0且k≠1．
【分析】先求出22 4×（k 1）×（ 1）≥0且k 1≠0，再求出k≥0且k≠1，即可作答。
三、解答题
17.【答案】 解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝k+2，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）
＝4﹣4k﹣8
＝﹣4k﹣4，
∴当﹣4k﹣4＞0，即k＜﹣1时，b2﹣4ac＞0，方程两个不相等的实数根；
当﹣4k﹣4＝0，即k＝﹣1时，b2﹣4ac＝0，方程两个相等的实数根；
当﹣4k﹣4＜0，即k＞﹣1时，b2﹣4ac＜0，方程没有实数根.
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
18.【答案】 解：∵ 方程 有两实数根
∴ ≥0 ，
解得： ≤ ，
∴ 的取值范围为： ≤
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
19.【答案】 解：∵ ， ， ，
根据题意，得： =22-4×（k-1）×（-1）＞0且k-1≠0，
解得k＞0且k≠1，
所以k的最小整数解为2．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
四、综合题
20.【答案】 （1）证明：∵ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵ ，
∴ ， .
∵方程两个根的绝对值相等，
∴ .
∴ 或-1.
【考点】公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， ，再求出 ，最后计算求解即可。
21.【答案】 （1）解：∵关于x的方程 有两个实数根，
∴△ ，
解得： ．
（2）解： 是方程的一个根，
∴ ，
∴ ，
此时原方程为 或 .
解得： ， 或 ， ．
∴方程的另一个根为 或 ．
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 或 ， ，最后求解即可。
22.【答案】 （1）证明：依题意，得 = = 4．
∵ ，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ ，
∴
∴ ， ．
∵ 方程的两个根均为负数，
∴
解得 ．
【考点】公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， ， 再求解即可。
23.【答案】 （1）解：当矩形ABCD是正方形时，AB=BC
关于x的方程x2－2mx＋4m－4＝0有两个相等的实数根，
即当 时，矩形ABCD是正方形；
（2）若AB的长为4，即4是关于x的方程x2－2mx＋4m－4＝0的一个解，将4代入得，
矩形ABCD的周长= .
【考点】一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用，矩形的性质，正方形的性质
【解析】【分析】（1）当矩形ABCD是正方形时，AB=BC，然后根据△=0可得m的值；
（2）将x=4代入原方程中可得m的值，进而得到该方程，然后利用因式分解法求出方程的解，根据矩形的性质就可求出矩形ABCD的周长.
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湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题4 一元二次方程根的判别式
一、单选题
1.（2021九上·津南期中）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞﹣1 B. m＞1 C. m≤1 D. m≤﹣1
【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程 有两个实数根，
故答案为：C
【分析】先求出再求出最后计算求解即可。
2.（2021九上·津南期中）一元二次方程x2+x+6＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】 D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△＝12﹣4×1×6＝﹣23＜0，
所以方程没有实数根．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
3.（2021九上·交城期中）请判断一元二次方程 的实数根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ=（-7）2-4×（ ）=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故答案为：B ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列式求解即可。
4.（2021九上·章丘期中）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜1 D. k＜1且k≠0
【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意知k≠0且Δ＝（-2）2 4 k （-1）=4+4k＞0，
解得：k＞ 1且k≠0．
故答案为：B ．
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可。
5.（2021九上·尧都期中）一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定
【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-4，c=5，
∴ =b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
∴方程没有实数根.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可.
6.（2021九上·磐石期中）下列方程没有实数根的是（ ）
A. x2﹣1＝0 B. x2﹣x﹣3＝0 C. x2﹣4x＋4＝0 D. x2﹣x＋2＝0
【答案】 D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.∵Δ=02-4×1×（-1）=0+4=4＞0，∴方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；
B.∵Δ=（-1）2-4×1×（-3）=1+12=13＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C.∵Δ=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；
D.∵Δ=（-1）2-4×1×2=1-8=-7<0，∴方程没有实数根，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用根的判别式进行判断即可得到结论。
7.（2021九上·古冶期中）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2＋2x＝0 B. x2＋2x＋1＝0 C. x2＋2x﹣1＝0 D. x2＋2x＋2＝0
【答案】 D
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵a＝1，b＝2，c＝0，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、∵a＝1，b＝2，c＝1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴此方程没有实数根，故本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断求解即可。
8.（2021九上·博罗期中）若关于x的一元二次方程 没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故答案为：C．
【分析】先求出△=（-2）2-4m＜0，再计算求解即可。
9.（2021九上·海珠期中）一元二次方程 的根的情况是（ ）．
A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
【答案】 A
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵
根据一元二次方程根的判别式 ，当 时，原方程没有实数根.
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
10.（2021九上·汉滨期中）下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A. x2－x＋1＝0 B. x2＋x＋1＝0 C. (x－1)(x＋2)＝0 D. (x－1)2＋l＝0
【答案】 C
【考点】因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.x2－x＋1＝0中△= ，所以方程没有实数根；
B.x2＋x＋1＝0中△= ，所以方程没有实数根；
C.(x－1)(x＋2)＝0 可用因式分解法解x-1=0或x+2=0，所以方程解为x=1或x=－2；
D.(x－1)2＋1＝0，移项得，(x－1)2=－1，任何实数的平方都不可能是负数，所以方程无解.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
二、填空题
11.（2021九上·台州期中）一元二次方程 有两个相同的解，则b= ．
【答案】 1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程 有两个相同的解，
∴△=b2-4ac=4-4b=0，
解得b=1.
故答案为：1.
【分析】一元二次方程有两个相同的实数根的条件是△=b2-4ac=0，据此列式求解即可.
12.（2021九上·李沧期中）若关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．
【答案】
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有两个不相等的实数根，
∴ ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＞0，
解得： ，
故答案为： ．
【分析】由方程由两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出 ＝＞0，由此得出关于c的一元一次不等式，解不等式即可得出答案。
13.（2021九上·中山期中）若关于x的一元二次方程（m - 1）x2 + 3x + 2 = 0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】 且
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 总有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
14.（2021九上·长春期中）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】 m＜9
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△=62-4×1×m＞0，
解得m＜9，
故答案为：m＜9.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
15.（2021九上·朝阳期中）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
【答案】
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∵a＝1，b＝－5，c＝2k ，
∴(－5)2﹣4×1×2k＞0，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】根据△>0时方程有两个不相等的实数根，列不等式求解即可。
16.（2021九上·香洲期中）若关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】 k≥0且k≠1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（k 1）x2＋2x 1＝0有两个实数根，
∴22 4×（k 1）×（ 1）≥0且k 1≠0，
解得k≥0且k≠1，
故答案为：k≥0且k≠1．
【分析】先求出22 4×（k 1）×（ 1）≥0且k 1≠0，再求出k≥0且k≠1，即可作答。
三、解答题
17.（2021九上·厦门期中）判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0根的情况.
【答案】 解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝k+2，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）
＝4﹣4k﹣8
＝﹣4k﹣4，
∴当﹣4k﹣4＞0，即k＜﹣1时，b2﹣4ac＞0，方程两个不相等的实数根；
当﹣4k﹣4＝0，即k＝﹣1时，b2﹣4ac＝0，方程两个相等的实数根；
当﹣4k﹣4＜0，即k＞﹣1时，b2﹣4ac＜0，方程没有实数根.
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
18.（2021九上·揭西月考）已知关于 的一元二次方程 有两实数根 ，求 的取值范围
【答案】 解：∵ 方程 有两实数根
∴ ≥0 ，
解得： ≤ ，
∴ 的取值范围为： ≤
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
19.（2021九上·李沧月考）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．
【答案】 解：∵ ， ， ，
根据题意，得： =22-4×（k-1）×（-1）＞0且k-1≠0，
解得k＞0且k≠1，
所以k的最小整数解为2．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
四、综合题
20.（2021九上·路北期中）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.
【答案】 （1）证明：∵ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵ ，
∴ ， .
∵方程两个根的绝对值相等，
∴ .
∴ 或-1.
【考点】公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， ，再求出 ，最后计算求解即可。
21.（2021九上·海珠期中）已知关于x的方程 有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若 是方程的一个根，求方程的另一个根．
【答案】 （1）解：∵关于x的方程 有两个实数根，
∴△ ，
解得： ．
（2）解： 是方程的一个根，
∴ ，
∴ ，
此时原方程为 或 .
解得： ， 或 ， ．
∴方程的另一个根为 或 ．
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 或 ， ，最后求解即可。
22.（2021九上·海淀期中）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
【答案】 （1）证明：依题意，得 = = 4．
∵ ，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ ，
∴
∴ ， ．
∵ 方程的两个根均为负数，
∴
解得 ．
【考点】公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， ， 再求解即可。
23.（2021九上·滨湖期中）已知：矩形ABCD两边AB、BC的长是关于x的方程x2－2mx＋4m－4＝0的两个实数根.
（1）当m为何值时，矩形ABCD是正方形；
（2）若AB的长为4，求矩形ABCD的周长.
【答案】 （1）解：当矩形ABCD是正方形时，AB=BC
关于x的方程x2－2mx＋4m－4＝0有两个相等的实数根，
即当 时，矩形ABCD是正方形；
（2）若AB的长为4，即4是关于x的方程x2－2mx＋4m－4＝0的一个解，将4代入得，
矩形ABCD的周长= .
【考点】一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及应用，矩形的性质，正方形的性质
【解析】【分析】（1）当矩形ABCD是正方形时，AB=BC，然后根据△=0可得m的值；
（2）将x=4代入原方程中可得m的值，进而得到该方程，然后利用因式分解法求出方程的解，根据矩形的性质就可求出矩形ABCD的周长.
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