4.3 等比数列 同步训练题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 4.3 等比数列 同步训练题 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-14 19:42:23 | ||
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文档简介
4.3等比数列同步训练题--2021--2022人教A（2019）选择性必修第二册
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一．选择题（共8小题）
1．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则
A． B． C． D．24
2．已知首项为1的数列的前项和为，若，则下列说法不正确的是
A．数列是等比数列 B．数列为单调递增数列
C． D．
3．已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则
A．32 B．21 C．16 D．8
4．在正项等比数列中，，则数列的前9项和为
A． B． C． D．
5．设等比数列满足，，则使最大的为
A． B．3 C．3或4 D．4
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么请问此人前两天所走的里程为
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
7．在等比数列中，若为定值，为数列的前项积，则下列各数为定值的是
A． B． C． D．
8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，．则2035年年底存栏头数为
（参考数据：，，
A．1005 B．1080 C．1090 D．1105
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在等比数列中，公比，是数列的前项和，若，，则下列结论正确的是
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列是公差为2的等差数列
10．若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是
A．若，，则为递减数列
B．若，，则为递增数列
C．若，则
D．若，则是等比数列
11．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则
A． B．
C． D．
12．已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有
A．是递增数列 B．是等比数列
C． D．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．在等比数列中，，，则的公比为 ，的前6项和为 ．
14．正项等比数列的前项和为，若，，则 ．
15．设为等比数列的前项和，且，则等于 ．
16．设等比数列满足，，记为中在区间，中的项的个数，则数列的前50项和 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列为等比数列，且，．
（1）求；
（2）若，且，求．
18．已知等差数列满足，前3项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
19．已知等比数列是递增数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明：．
20．在数列中，已知，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
21．已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的最大项．
22．设为等比数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等差数列，求正整数的值．
4.3等比数列测试题参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则
A． B． C． D．24
解：等比数列的公比，前6项和，
，解得，
．
故选：．
2．已知首项为1的数列的前项和为，若，则下列说法不正确的是
A．数列是等比数列 B．数列为单调递增数列
C． D．
解：首项为1的数列的前项和为，，
，
，
，
，，，，
，
数列是首项为1，等比为4的等比数列，故正确；
对于，数列是首项为1，等比为4的等比数列，，
数列为单调递增数列，故正确；
对于，数列是首项为1，等比为4的等比数列，
，故正确；
对于，数列是首项为1，等比为4的等比数列，
，
，
，故错误．
故选：．
3．已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则
A．32 B．21 C．16 D．8
解：正项等比数列中，，，
，解得，，
，
数列是首项为5，公比为2的等比数列，
数列的前项和为，
．
故选：．
4．在正项等比数列中，，则数列的前9项和为
A． B． C． D．
解：正项等比数列中，，
所以，
则数列的前9项和．
故选：．
5．设等比数列满足，，则使最大的为
A． B．3 C．3或4 D．4
解：设公比为的等比数列满足，，
所以：，
所以；
故，
故．
当或4时，使取得最大值．
故选：．
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么请问此人前两天所走的里程为
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
解：由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，
解得，
此人第二天走里，
可得此人前两天所走的里程为里．
故选：．
7．在等比数列中，若为定值，为数列的前项积，则下列各数为定值的是
A． B． C． D．
解：设等比数列的公比为，
则为定值，
即为定值，
又为数列的前项积，
为定值，
故选：．
8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，．则2035年年底存栏头数为
（参考数据：，，
A．1005 B．1080 C．1090 D．1105
解：由题意得：
，
，
，
，
，
年年底存栏头数为：
．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．在等比数列中，公比，是数列的前项和，若，，则下列结论正确的是
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列是公差为2的等差数列
解：由，，得，即，
解得或舍去，所以选项正确；
，所以选项错误；
，则，
所以是以4为首项，以2为公比的等比数列，选项正确；
，则，则，
所以是以为公差的等差数列，选项错误．
故选：．
10．若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是
A．若，，则为递减数列
B．若，，则为递增数列
C．若，则
D．若，则是等比数列
解：在等比数列中，，
当，时，
显然有，故数列为递减数列，故正确；
当，，
显然有，故为递增数列，故正确；
若等比数列，则，，，则，
故不正确；
设等比数列的公比为，若，则是等比数列，公比为：，
故正确；
故选：．
11．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则
A． B．
C． D．
解：设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，
则从新数列的第1个1到第个1一共有项，
从新数列的第1个1到第个1一共有项，
所以，解得，
而，所以，故正确，错误；
，
令，
则，，，
所以，故正确，错误，
故选：．
12．已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有
A．是递增数列 B．是等比数列
C． D．
解：因为，
所以，
所以，
令，则，即是以10为公比的等比数列，，
故，
所以是递增数列，但不是等比数列，正确，错误；
因为，
，
又，
所以，正确；
令，则其前项和为，
而，
故，正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．在等比数列中，，，则的公比为 ，的前6项和为 ．
解：，，；
又，
故答案为：2；63．
14．正项等比数列的前项和为，若，，则 ．
解：根据题意，等比数列中，，即，
变形可得，则有，
又由数列是正项等比数列，则，
又由，则，
则；
故答案为：63．
15．设为等比数列的前项和，且，则等于 ．
解：设等比数列的公比为，
由，得，所以，
所以，，
则．
故答案为：．
16．设等比数列满足，，记为中在区间，中的项的个数，则数列的前50项和 ．
解：设等比数列的公比为，
则，，
解得，，，
故，
为中在区间，中的项的个数，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
故
．
故答案为：188．
四．解答题（共6小题）
17．已知数列为等比数列，且，．
（1）求；
（2）若，且，求．
解：（1）因为，
所以数列的公比为3，
又所以，
故．
（2）因为，所以，
所以，
，
，
所以，
所以．
18．已知等差数列满足，前3项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
解：（1）设的公差为，
则，
解得，，
故；
（2）由题意得，，
故，
所以或，
若，则，若，则．
19．已知等比数列是递增数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明：．
解；（1）设等比数列的公比为，
由，得．
解得或（舍去）．
所以．
（2）证明：由，得，
当时，①，②，
由①②得，
当时，满足上式，故，
．
20．在数列中，已知，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：由，得，从而，
，
又，故数列为等比数列；
（2）解：由（1）可得：，可得：．
假设存在正整数、、满足题意，则，
即，
即
两边同除以得，
由得，，；
所以为奇数，而，均为偶数，
故式不能成立；
即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列．
21．已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的最大项．
解：（1）设等比数列的公比为，
由，，解得：或（舍去），
；
（2），
当取3或4时，取得最大项．
22．设为等比数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等差数列，求正整数的值．
解：（1）设等比数列的公比为，，．
，解得，代入，可得，解得．
．
（2）由（1）可得：，，．
，，成等差数列，
，
．
化为：，，
解得，．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一．选择题（共8小题）
1．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则
A． B． C． D．24
2．已知首项为1的数列的前项和为，若，则下列说法不正确的是
A．数列是等比数列 B．数列为单调递增数列
C． D．
3．已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则
A．32 B．21 C．16 D．8
4．在正项等比数列中，，则数列的前9项和为
A． B． C． D．
5．设等比数列满足，，则使最大的为
A． B．3 C．3或4 D．4
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么请问此人前两天所走的里程为
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
7．在等比数列中，若为定值，为数列的前项积，则下列各数为定值的是
A． B． C． D．
8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，．则2035年年底存栏头数为
（参考数据：，，
A．1005 B．1080 C．1090 D．1105
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在等比数列中，公比，是数列的前项和，若，，则下列结论正确的是
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列是公差为2的等差数列
10．若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是
A．若，，则为递减数列
B．若，，则为递增数列
C．若，则
D．若，则是等比数列
11．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则
A． B．
C． D．
12．已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有
A．是递增数列 B．是等比数列
C． D．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．在等比数列中，，，则的公比为 ，的前6项和为 ．
14．正项等比数列的前项和为，若，，则 ．
15．设为等比数列的前项和，且，则等于 ．
16．设等比数列满足，，记为中在区间，中的项的个数，则数列的前50项和 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列为等比数列，且，．
（1）求；
（2）若，且，求．
18．已知等差数列满足，前3项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
19．已知等比数列是递增数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明：．
20．在数列中，已知，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
21．已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的最大项．
22．设为等比数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等差数列，求正整数的值．
4.3等比数列测试题参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在等比数列中，公比为，前6项的和为，则
A． B． C． D．24
解：等比数列的公比，前6项和，
，解得，
．
故选：．
2．已知首项为1的数列的前项和为，若，则下列说法不正确的是
A．数列是等比数列 B．数列为单调递增数列
C． D．
解：首项为1的数列的前项和为，，
，
，
，
，，，，
，
数列是首项为1，等比为4的等比数列，故正确；
对于，数列是首项为1，等比为4的等比数列，，
数列为单调递增数列，故正确；
对于，数列是首项为1，等比为4的等比数列，
，故正确；
对于，数列是首项为1，等比为4的等比数列，
，
，
，故错误．
故选：．
3．已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则
A．32 B．21 C．16 D．8
解：正项等比数列中，，，
，解得，，
，
数列是首项为5，公比为2的等比数列，
数列的前项和为，
．
故选：．
4．在正项等比数列中，，则数列的前9项和为
A． B． C． D．
解：正项等比数列中，，
所以，
则数列的前9项和．
故选：．
5．设等比数列满足，，则使最大的为
A． B．3 C．3或4 D．4
解：设公比为的等比数列满足，，
所以：，
所以；
故，
故．
当或4时，使取得最大值．
故选：．
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么请问此人前两天所走的里程为
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
解：由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，
解得，
此人第二天走里，
可得此人前两天所走的里程为里．
故选：．
7．在等比数列中，若为定值，为数列的前项积，则下列各数为定值的是
A． B． C． D．
解：设等比数列的公比为，
则为定值，
即为定值，
又为数列的前项积，
为定值，
故选：．
8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，．则2035年年底存栏头数为
（参考数据：，，
A．1005 B．1080 C．1090 D．1105
解：由题意得：
，
，
，
，
，
年年底存栏头数为：
．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．在等比数列中，公比，是数列的前项和，若，，则下列结论正确的是
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列是公差为2的等差数列
解：由，，得，即，
解得或舍去，所以选项正确；
，所以选项错误；
，则，
所以是以4为首项，以2为公比的等比数列，选项正确；
，则，则，
所以是以为公差的等差数列，选项错误．
故选：．
10．若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是
A．若，，则为递减数列
B．若，，则为递增数列
C．若，则
D．若，则是等比数列
解：在等比数列中，，
当，时，
显然有，故数列为递减数列，故正确；
当，，
显然有，故为递增数列，故正确；
若等比数列，则，，，则，
故不正确；
设等比数列的公比为，若，则是等比数列，公比为：，
故正确；
故选：．
11．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则
A． B．
C． D．
解：设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，
则从新数列的第1个1到第个1一共有项，
从新数列的第1个1到第个1一共有项，
所以，解得，
而，所以，故正确，错误；
，
令，
则，，，
所以，故正确，错误，
故选：．
12．已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有
A．是递增数列 B．是等比数列
C． D．
解：因为，
所以，
所以，
令，则，即是以10为公比的等比数列，，
故，
所以是递增数列，但不是等比数列，正确，错误；
因为，
，
又，
所以，正确；
令，则其前项和为，
而，
故，正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．在等比数列中，，，则的公比为 ，的前6项和为 ．
解：，，；
又，
故答案为：2；63．
14．正项等比数列的前项和为，若，，则 ．
解：根据题意，等比数列中，，即，
变形可得，则有，
又由数列是正项等比数列，则，
又由，则，
则；
故答案为：63．
15．设为等比数列的前项和，且，则等于 ．
解：设等比数列的公比为，
由，得，所以，
所以，，
则．
故答案为：．
16．设等比数列满足，，记为中在区间，中的项的个数，则数列的前50项和 ．
解：设等比数列的公比为，
则，，
解得，，，
故，
为中在区间，中的项的个数，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
故
．
故答案为：188．
四．解答题（共6小题）
17．已知数列为等比数列，且，．
（1）求；
（2）若，且，求．
解：（1）因为，
所以数列的公比为3，
又所以，
故．
（2）因为，所以，
所以，
，
，
所以，
所以．
18．已知等差数列满足，前3项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
解：（1）设的公差为，
则，
解得，，
故；
（2）由题意得，，
故，
所以或，
若，则，若，则．
19．已知等比数列是递增数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明：．
解；（1）设等比数列的公比为，
由，得．
解得或（舍去）．
所以．
（2）证明：由，得，
当时，①，②，
由①②得，
当时，满足上式，故，
．
20．在数列中，已知，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：由，得，从而，
，
又，故数列为等比数列；
（2）解：由（1）可得：，可得：．
假设存在正整数、、满足题意，则，
即，
即
两边同除以得，
由得，，；
所以为奇数，而，均为偶数，
故式不能成立；
即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列．
21．已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的最大项．
解：（1）设等比数列的公比为，
由，，解得：或（舍去），
；
（2），
当取3或4时，取得最大项．
22．设为等比数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等差数列，求正整数的值．
解：（1）设等比数列的公比为，，．
，解得，代入，可得，解得．
．
（2）由（1）可得：，，．
，，成等差数列，
，
．
化为：，，
解得，．