湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题6 一元二次方程的应用
一、单选题
1．（2021九上·台州期中）演讲比赛前，每个同学都与其他同学握手一次，表示问好，如果有x名同学参加演讲，握手总次数为435次，根据题意，求人数x可列出方程为：（ ）
A．x（x-1）=435 B．x（x+1）=435
C．2x（x+1）=435 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设人数为x，
则每人握手（x-1）次，
∴握手总次数： =435.
故答案为：D.
【分析】设人数为x，则每人握手（x-1）次，相互握手重复一次，故得握手总次数： ，结合总次数为435，列方程求解即可.
2．（2021九上·津南期中）某中学九年级以班级为单位组织篮球比赛，每两班之间都要比赛一场，共比赛了15场，设参赛班级的个数为 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设参赛班级的个数为x，则
（负根舍去）
答：参赛班级有6个.
故答案为：B
【分析】先求出再求出最后解方程即可。
3．（2021九上·津南期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得 x(x 1)＝21，
∴x＝7或x＝ 6（不合题意，舍去）．
∴应邀请7个球队参加比赛．
故答案为：A．
【分析】先求出 x(x 1)＝21，再解方程即可。
4．（2021九上·交城期中）小希同学有一块长12cm，宽10cm的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒．如图，她将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为 cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2的无盖长方体小礼盒．根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：C．
【分析】利用含x的表达式表示出长方体底面的长和宽为（12-2x）和（10-2x），再根据“剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2 ”列出方程即可。
5．（2021九上·章丘期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
(x+3)(4-0.5x)=15，
故答案为：A．
【分析】设每盆应该多植x株，根据题意即可列出方程。
6．（2021九上·中山期中）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．60(1 + 2x) = 100
B．100（1 + x)2 = 60
C．60(1 + x)2 = 100
D．60 + 60（1 + x）+ 60（1 + x)2 = 100
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得方程：60(1 + x)2 = 100
故答案为：C．
【分析】根据“6月份营业额达到100万元”即可列出方程60(1 + x)2 = 100。
7．（2021九上·深圳期中）近年来某市不断加大对城市绿化的经济投人，使全市绿地面积不断增加，从2016年底到2018年底的城市绿化面积变化如图所示，则这两年绿地面积的年平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据题意得：
300(1+x)2=363
解得：x =0.1=10%，x =-2.1(不合题意，舍去)
答：这两年绿地面积的年平均增长率是10%．
故答案为：A
【分析】设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据2016年绿地面积×（1+年平均增长率）2=2018年绿地面积，列出方程并求解即可.
8．（2021九上·尧都期中）2021年是中国共产党成立100周年，山西某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党“ 说句心里话征集活动．学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又分别邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有1641 人参与了传递活动，则方程列为（ ）
A．(1+n)2=1641 B．1+(n+1)+(n+1)2= 1641
C．n+n2=1641 D．1+n+n2=1641
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设邀请了n个好友转发倡议书，
根据题意得： 1+n+n2=1641.
故答案为：D.
【分析】 设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有1641人参与了传递活动， 列出方程即可.
9．（2021九上·防城期中）如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为112m2设小路的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．2x2-25x+16=0 B．x2-17x+16=0
C．x2-17x-16=0 D．x2-25x+32=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】 解：设小路的宽度为xm，
则草坪的总长度和总宽度为（16-2x）m，（9-x）m，
根据题意得：（16-2x）（9-x）=112，
整理得：x2-17x+16=0.
故答案为：B.
【分析】 设小路的宽度为xm，得出草坪的总长度和总宽度为（16-2x）m，（9-x）m，再根据题意列出方程，即可得出答案.
10．（2021九上·青岛期中）已知：
问题1，某厂用2年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年平均增长的百分数；
问题2，总产值用2年的时间在原来a万元的基础上增加了b万元，求每年平均增长的百分数；
问题3，某厂用2年的时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分数．
设每年平均增长的百分数x，那么下面的三个方程：
①（1+x）2＝b，
②a（1+x）2＝a+b，
③（1+x）2＝b+1，
按问题1、2、3的序号排列，相对应的是（ ）
A．①②③ B．③②① C．①③② D．②①③
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：问题1，设每年平均增长的百分数是x，则
（1＋x）2＝b＋1．
问题2，设每年平均增长的百分数是x，则．
a（1＋x）2＝a＋b．
问题3，设每年平均增长的百分数是x，则．
（1＋x）2＝b．
故答案为：B．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），关系式：7月份的产值+8月份的产值+9月份的产值=950，把相关数值代入即可求解。
二、填空题
11．（2021九上·津南期中）小强用一根10m长的铁丝围成了一个面积为6m2的矩形，则这个矩形较大边的长是 m．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形较大边的长为xcm，则宽为： cm，
依题意得：x（5 x）＝6，
解得：x＝3或x＝2，
∵矩形较大边的长为xcm，
∴x＝3
此时宽为（5 x）＝2cm；
故答案为：3．
【分析】先求出x（5 x）＝6，再求出x＝3，最后求解即可。
12．（2021九上·交城期中）某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．
【答案】30或32
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为 米，
由题意得： ，
，
，
，
解得： ，
∴矩形场地的长为30米或32米，
故答案为：30或32．
【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为 米，根据“需要一块面积为480平方米的矩形场地”列出方程求解即可。
13．（2021九上·中山期中）在某次聚会上每两个人都握了一次手，所有人共握手28次．设有x人参加这次聚会，则列出方程是
【答案】 x（x﹣1）=28
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）次，根据题意得：
x（x﹣1）=28．
故答案为 x（x﹣1）=28．
【分析】设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）次，根据题意即可列出方程x（x﹣1）=28．
14．（2021九上·青岛期中）某厂一月份的产值为10万元，第一季度产值共为33.1万元，且每个月的增长率相同，若设该增长率为x，则根据题意，可列方程： ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵一月份的产值为10万元，增长率为x，
二月份产值为： ，三月份产值为： ，
第一季度产值共为33.1万元，
，
故答案为： ．
【分析】先分别用x表示出二月份和三月份的产值，再根据“ 第一季度产值共为33.1万元 ”列出方程即可。
15．（2021九上·青岛期中）如果有12升纯酒精，倒出一部分后注满水，第二次倒出与前次同量的混合液再注满水，此时容器内的水是纯酒精的3倍，则每次倒出液体的数量是 升．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每次倒出总量的百分比为x，
最后水是酒精的3倍，总体积还是12升，则酒精剩余12× ＝3升．可列方程：12（1 x）2＝3，解之得x＝ ，（x= 舍去）
∴倒出的酒精味12× ＝6升．
即每次到出液体的数量为6升．
故答案为：6．
【分析】设每次倒出总量的百分比为x，根据“最后水是酒精的3倍，总体积还是12升”列出方程：12（1 x）2＝3，求解即可。
16．（2021九上·黑山期中）如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程为 ．
【答案】(80+2x)(50+2x)=5400
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，
∴可列方程为(80+2x)(50+2x)=5400．
故答案为：(80+2x)(50+2x)=5400．
【分析】根据挂图的长为80+2x，宽为50+2x，再利用“ 整个挂图的面积是5400cm2”即可列出方程(80+2x)(50+2x)=5400．
三、解答题
17．（2021九上·交城期中）为了防控疫情的需要，某商店以每箱30元的价格购进一批消毒液．已知该商店第一天卖出消毒液80箱，每箱能获得10元的利润．后调查了解到：若每箱利润增加1元，每天就少卖4箱．某天该商店通过销售这批消毒液一共获得利润900元，则这天每箱消毒液的售价是多少元？
【答案】解：设这天每箱消毒液的售价是x元，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
答：这天每箱消毒液的售价是45元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设这天每箱消毒液的售价是x元，根据“某天该商店通过销售这批消毒液一共获得利润900元”列出方程求解即可。
18．（2021九上·李沧期中）如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
【答案】解：设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，
由题意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化简，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）
即花砖路面的宽度为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，根据“中间花圃的面积是126m2”列出方程（20－2x）（8－x）＝126， 求解即可。
19．（2021九上·沈北期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？
【答案】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，由题意可得：
4x（6﹣x）÷2＝10，
解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）．
答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，根据题意列出方程4x（6﹣x）÷2＝10，求解即可。
四、综合题
20．（2019九上·莲湖期中）“十一”黄金周期间, 西安旅行社推出了“西安红色游”项目团购活动，收费标准如下:若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元(每人收费不低于700元)，设有x人参加这一旅游项目的团购活动.
（1）当x=35时,每人的费用为 元.
（2）某社区居民组团参加该活动,共支付旅游费用27000元,求该社区参加此次“西安红色游”的人数.
【答案】（1）800
（2）解：设该社区共有x人参加此次“西安红色游”,
∵1000×25=25000元<27000元,
∴x>25.
由题意,得x[1000-20(x-25)]=27000,
整理,得x2-75x+1350=0,
解得x1=30,x2=45.
检验:当x=30时,人均旅游费用为1000-20×(30-25)=900元>700元,符合题意;
当x=45时,人均旅游费用为1000-20×(45-25)=600元<700元,不合题意,舍去,
∴x=30.
答:该社区共有30人参加此次“西安红色游”.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）当x=35时,每人的费用为1000-(35-25)×20=800(元).
【分析】（1）当x=35时，根据“若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元，（但每人收费不低于700元）”可得每人的费用为1000-（35-25）×20=800元；（2）该社区共支付旅游费用27000元，显然人数超过了25人，设该社区共有x人参加此次“西安红色游”，则人均费用为[1000-20（x-25）]元，根据旅游费=人均费用×人数，列一元二次方程求x的值，结果要满足上述不等式.
21．（2019九上·台州月考）如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ；
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 ？若存在，
求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 CQ=t；PB=AB-AP=6-2t S四边形PBCQ= (CQ+PB)BC= (t+6-2t)×2=6-t= ×6×2= . t=6- = (秒）
答：（1）两动点运动2/3秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
（2）解：设两动点运动t秒使点P与点Q之间的距离为 ，
①当0解得 .
②当3得方程5t2-32t+59=0.
△=322-4×5×59=-156<0，
此方程无实根，即点P在BC上运动时，不存在！使点P与点Q之间的距离为 .综上所得，当点P运动s或了s时，点P与点Q之间的距离为 .
答：两动点经过5/3秒或7/3秒，使得点P与点Q之间的距离为
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1） 设两动点运动t秒， 则CQ=t，PB=6-2t， 再根据四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的列式求出t即可；
（2）分两种情况求解， ①当022．（2019八下·深圳期末）某书店积极响应政府“改革创新，奋发有为”的号召，举办“读书节“系列活动．活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买故事类图书的数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少10本．
（1）求活动中典籍类图书的标价；
（2）该店经理为鼓励广大读者购书，免费为购买故事类的读者赠送图1所示的精致矩形包书纸．在图1的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．已知该包书纸的面积为875cm2（含阴影部分），且正好可以包好图2中的《中国故事》这本书，该书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，请直接写出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度．
【答案】（1）解：设典籍类图书的标价为元， 由题意，得 ﹣10＝ ． 解得x＝18．
经检验：x＝18是原分式方程的解，且正确．
答：典籍类图书的标价为18元。
（2）解：设折叠进去的宽度为ycm，则（2y+15×2+1）（2y+21）＝875，
化简得y2+26y﹣56＝0，
∴y＝2或﹣28（不合题意，舍去），
答：折叠进去的宽度为2cm。
【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意即可得到分式方程，计算得到x的值，进行检验得到答案即可。
（2）根据题意，列出一元二次方程，解出答案即可。
23．（2019·重庆模拟）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转化，把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解.
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
【答案】（1）-2；1
（2）解： ，
方程的两边平方，得
即
或
， ，
当 时， ，
所以 不是原方程的解.
所以方程 的解是
（3）解：因为四边形 是矩形，
所以 ，
设 ，则
因为 ，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以 .
经检验， 是方程的解.
答： 的长为 .
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1） ，
，
所以 或 或
， ， ；
故答案为 ，1；
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题6 一元二次方程的应用
一、单选题
1．（2021九上·台州期中）演讲比赛前，每个同学都与其他同学握手一次，表示问好，如果有x名同学参加演讲，握手总次数为435次，根据题意，求人数x可列出方程为：（ ）
A．x（x-1）=435 B．x（x+1）=435
C．2x（x+1）=435 D．
2．（2021九上·津南期中）某中学九年级以班级为单位组织篮球比赛，每两班之间都要比赛一场，共比赛了15场，设参赛班级的个数为 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2021九上·津南期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2021九上·交城期中）小希同学有一块长12cm，宽10cm的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒．如图，她将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为 cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2的无盖长方体小礼盒．根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·章丘期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
6．（2021九上·中山期中）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．60(1 + 2x) = 100
B．100（1 + x)2 = 60
C．60(1 + x)2 = 100
D．60 + 60（1 + x）+ 60（1 + x)2 = 100
7．（2021九上·深圳期中）近年来某市不断加大对城市绿化的经济投人，使全市绿地面积不断增加，从2016年底到2018年底的城市绿化面积变化如图所示，则这两年绿地面积的年平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·尧都期中）2021年是中国共产党成立100周年，山西某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党“ 说句心里话征集活动．学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又分别邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有1641 人参与了传递活动，则方程列为（ ）
A．(1+n)2=1641 B．1+(n+1)+(n+1)2= 1641
C．n+n2=1641 D．1+n+n2=1641
9．（2021九上·防城期中）如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为112m2设小路的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．2x2-25x+16=0 B．x2-17x+16=0
C．x2-17x-16=0 D．x2-25x+32=0
10．（2021九上·青岛期中）已知：
问题1，某厂用2年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年平均增长的百分数；
问题2，总产值用2年的时间在原来a万元的基础上增加了b万元，求每年平均增长的百分数；
问题3，某厂用2年的时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分数．
设每年平均增长的百分数x，那么下面的三个方程：
①（1+x）2＝b，
②a（1+x）2＝a+b，
③（1+x）2＝b+1，
按问题1、2、3的序号排列，相对应的是（ ）
A．①②③ B．③②① C．①③② D．②①③
二、填空题
11．（2021九上·津南期中）小强用一根10m长的铁丝围成了一个面积为6m2的矩形，则这个矩形较大边的长是 m．
12．（2021九上·交城期中）某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．
13．（2021九上·中山期中）在某次聚会上每两个人都握了一次手，所有人共握手28次．设有x人参加这次聚会，则列出方程是
14．（2021九上·青岛期中）某厂一月份的产值为10万元，第一季度产值共为33.1万元，且每个月的增长率相同，若设该增长率为x，则根据题意，可列方程： ．
15．（2021九上·青岛期中）如果有12升纯酒精，倒出一部分后注满水，第二次倒出与前次同量的混合液再注满水，此时容器内的水是纯酒精的3倍，则每次倒出液体的数量是 升．
16．（2021九上·黑山期中）如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程为 ．
三、解答题
17．（2021九上·交城期中）为了防控疫情的需要，某商店以每箱30元的价格购进一批消毒液．已知该商店第一天卖出消毒液80箱，每箱能获得10元的利润．后调查了解到：若每箱利润增加1元，每天就少卖4箱．某天该商店通过销售这批消毒液一共获得利润900元，则这天每箱消毒液的售价是多少元？
18．（2021九上·李沧期中）如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
19．（2021九上·沈北期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？
四、综合题
20．（2019九上·莲湖期中）“十一”黄金周期间, 西安旅行社推出了“西安红色游”项目团购活动，收费标准如下:若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元(每人收费不低于700元)，设有x人参加这一旅游项目的团购活动.
（1）当x=35时,每人的费用为 元.
（2）某社区居民组团参加该活动,共支付旅游费用27000元,求该社区参加此次“西安红色游”的人数.
21．（2019九上·台州月考）如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ；
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 ？若存在，
求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
22．（2019八下·深圳期末）某书店积极响应政府“改革创新，奋发有为”的号召，举办“读书节“系列活动．活动中故事类图书的标价是典籍类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买故事类图书的数量恰好比单独购买典籍类图书的数量少10本．
（1）求活动中典籍类图书的标价；
（2）该店经理为鼓励广大读者购书，免费为购买故事类的读者赠送图1所示的精致矩形包书纸．在图1的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．已知该包书纸的面积为875cm2（含阴影部分），且正好可以包好图2中的《中国故事》这本书，该书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，请直接写出该包书纸包这本书时折叠进去的宽度．
23．（2019·重庆模拟）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转化，把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解.
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设人数为x，
则每人握手（x-1）次，
∴握手总次数： =435.
故答案为：D.
【分析】设人数为x，则每人握手（x-1）次，相互握手重复一次，故得握手总次数： ，结合总次数为435，列方程求解即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设参赛班级的个数为x，则
（负根舍去）
答：参赛班级有6个.
故答案为：B
【分析】先求出再求出最后解方程即可。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得 x(x 1)＝21，
∴x＝7或x＝ 6（不合题意，舍去）．
∴应邀请7个球队参加比赛．
故答案为：A．
【分析】先求出 x(x 1)＝21，再解方程即可。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：C．
【分析】利用含x的表达式表示出长方体底面的长和宽为（12-2x）和（10-2x），再根据“剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2 ”列出方程即可。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
(x+3)(4-0.5x)=15，
故答案为：A．
【分析】设每盆应该多植x株，根据题意即可列出方程。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意得方程：60(1 + x)2 = 100
故答案为：C．
【分析】根据“6月份营业额达到100万元”即可列出方程60(1 + x)2 = 100。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据题意得：
300(1+x)2=363
解得：x =0.1=10%，x =-2.1(不合题意，舍去)
答：这两年绿地面积的年平均增长率是10%．
故答案为：A
【分析】设这两年绿地面积的年平均增长率是x，根据2016年绿地面积×（1+年平均增长率）2=2018年绿地面积，列出方程并求解即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设邀请了n个好友转发倡议书，
根据题意得： 1+n+n2=1641.
故答案为：D.
【分析】 设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有1641人参与了传递活动， 列出方程即可.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】 解：设小路的宽度为xm，
则草坪的总长度和总宽度为（16-2x）m，（9-x）m，
根据题意得：（16-2x）（9-x）=112，
整理得：x2-17x+16=0.
故答案为：B.
【分析】 设小路的宽度为xm，得出草坪的总长度和总宽度为（16-2x）m，（9-x）m，再根据题意列出方程，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：问题1，设每年平均增长的百分数是x，则
（1＋x）2＝b＋1．
问题2，设每年平均增长的百分数是x，则．
a（1＋x）2＝a＋b．
问题3，设每年平均增长的百分数是x，则．
（1＋x）2＝b．
故答案为：B．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），关系式：7月份的产值+8月份的产值+9月份的产值=950，把相关数值代入即可求解。
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形较大边的长为xcm，则宽为： cm，
依题意得：x（5 x）＝6，
解得：x＝3或x＝2，
∵矩形较大边的长为xcm，
∴x＝3
此时宽为（5 x）＝2cm；
故答案为：3．
【分析】先求出x（5 x）＝6，再求出x＝3，最后求解即可。
12．【答案】30或32
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为 米，
由题意得： ，
，
，
，
解得： ，
∴矩形场地的长为30米或32米，
故答案为：30或32．
【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为 米，根据“需要一块面积为480平方米的矩形场地”列出方程求解即可。
13．【答案】 x（x﹣1）=28
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）次，根据题意得：
x（x﹣1）=28．
故答案为 x（x﹣1）=28．
【分析】设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）次，根据题意即可列出方程x（x﹣1）=28．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵一月份的产值为10万元，增长率为x，
二月份产值为： ，三月份产值为： ，
第一季度产值共为33.1万元，
，
故答案为： ．
【分析】先分别用x表示出二月份和三月份的产值，再根据“ 第一季度产值共为33.1万元 ”列出方程即可。
15．【答案】6
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每次倒出总量的百分比为x，
最后水是酒精的3倍，总体积还是12升，则酒精剩余12× ＝3升．可列方程：12（1 x）2＝3，解之得x＝ ，（x= 舍去）
∴倒出的酒精味12× ＝6升．
即每次到出液体的数量为6升．
故答案为：6．
【分析】设每次倒出总量的百分比为x，根据“最后水是酒精的3倍，总体积还是12升”列出方程：12（1 x）2＝3，求解即可。
16．【答案】(80+2x)(50+2x)=5400
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，
∴可列方程为(80+2x)(50+2x)=5400．
故答案为：(80+2x)(50+2x)=5400．
【分析】根据挂图的长为80+2x，宽为50+2x，再利用“ 整个挂图的面积是5400cm2”即可列出方程(80+2x)(50+2x)=5400．
17．【答案】解：设这天每箱消毒液的售价是x元，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
答：这天每箱消毒液的售价是45元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设这天每箱消毒液的售价是x元，根据“某天该商店通过销售这批消毒液一共获得利润900元”列出方程求解即可。
18．【答案】解：设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，
由题意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化简，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）
即花砖路面的宽度为1米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，根据“中间花圃的面积是126m2”列出方程（20－2x）（8－x）＝126， 求解即可。
19．【答案】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，由题意可得：
4x（6﹣x）÷2＝10，
解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）．
答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，根据题意列出方程4x（6﹣x）÷2＝10，求解即可。
20．【答案】（1）800
（2）解：设该社区共有x人参加此次“西安红色游”,
∵1000×25=25000元<27000元,
∴x>25.
由题意,得x[1000-20(x-25)]=27000,
整理,得x2-75x+1350=0,
解得x1=30,x2=45.
检验:当x=30时,人均旅游费用为1000-20×(30-25)=900元>700元,符合题意;
当x=45时,人均旅游费用为1000-20×(45-25)=600元<700元,不合题意,舍去,
∴x=30.
答:该社区共有30人参加此次“西安红色游”.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）当x=35时,每人的费用为1000-(35-25)×20=800(元).
【分析】（1）当x=35时，根据“若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元，（但每人收费不低于700元）”可得每人的费用为1000-（35-25）×20=800元；（2）该社区共支付旅游费用27000元，显然人数超过了25人，设该社区共有x人参加此次“西安红色游”，则人均费用为[1000-20（x-25）]元，根据旅游费=人均费用×人数，列一元二次方程求x的值，结果要满足上述不等式.
21．【答案】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 CQ=t；PB=AB-AP=6-2t S四边形PBCQ= (CQ+PB)BC= (t+6-2t)×2=6-t= ×6×2= . t=6- = (秒）
答：（1）两动点运动2/3秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
（2）解：设两动点运动t秒使点P与点Q之间的距离为 ，
①当0解得 .
②当3得方程5t2-32t+59=0.
△=322-4×5×59=-156<0，
此方程无实根，即点P在BC上运动时，不存在！使点P与点Q之间的距离为 .综上所得，当点P运动s或了s时，点P与点Q之间的距离为 .
答：两动点经过5/3秒或7/3秒，使得点P与点Q之间的距离为
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1） 设两动点运动t秒， 则CQ=t，PB=6-2t， 再根据四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的列式求出t即可；
（2）分两种情况求解， ①当022．【答案】（1）解：设典籍类图书的标价为元， 由题意，得 ﹣10＝ ． 解得x＝18．
经检验：x＝18是原分式方程的解，且正确．
答：典籍类图书的标价为18元。
（2）解：设折叠进去的宽度为ycm，则（2y+15×2+1）（2y+21）＝875，
化简得y2+26y﹣56＝0，
∴y＝2或﹣28（不合题意，舍去），
答：折叠进去的宽度为2cm。
【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意即可得到分式方程，计算得到x的值，进行检验得到答案即可。
（2）根据题意，列出一元二次方程，解出答案即可。
23．【答案】（1）-2；1
（2）解： ，
方程的两边平方，得
即
或
， ，
当 时， ，
所以 不是原方程的解.
所以方程 的解是
（3）解：因为四边形 是矩形，
所以 ，
设 ，则
因为 ，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以 .
经检验， 是方程的解.
答： 的长为 .
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1） ，
，
所以 或 或
， ， ；
故答案为 ，1；
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
1 / 1
