湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题9 相似三角形的判定与性质
一、单选题
1．（2021九上·普陀期中）下列各组条件中，一定能够判定 与 相似的是（ ）
A． ， ；
B． ， ， ， ；
C． 三边长分别为 ， ， ， 三边之比为 ；
D． ， ， ．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A. ， ，两角不一定对应相等，两个三角形不一定相似；
B. ， ， ， ；
有 ，其夹角不一定相等，两个三角形不一定相似；
C. 三边长分别为 ， ， ，故 三边之比为
∵ 三边之比为 ；
∴三边对应成比例的两个三角形相似；
D. ，两边对应成比例，其夹角不一定相等，两个三角形不一定相似；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
2．（2021九上·普陀期中）如图，在 中， 是边 上的高，那么下列条件不一定能推出 的选项是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． ．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.当 时，即 ， （公共角），
，
， ，
是边 上的高，
，
，故A符合题意；
B.当 时，即 ，
是边 上的高，
与 都是直角三角形，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
， ，
是边 上的高，
，
，故B符合题意；
C.当 时，即 ，
是边 上的高，
，
，
， ，
是边 上的高，
，
，故C符合题意；
D.当 时，即 ，但题目没给出 ，也没给出三边对应成比例，故D不符合题意．
【分析】利用相似三角形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
3．（2021九上·普陀期中）如图，已知 ， 与 相交于点O，点G是 的中点，过点G作 交 于点E，如果 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，GD=BG，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△OGE∽△OBC，
∴ ．
故答案为：A
【分析】先求出 ，再求出 ，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
4．（2021九上·黄浦期中）下列判断中，错误的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
5．（2021九上·宝山期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△ABC被DE分割成两个面积相等的图形，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AD：DB＝ ：1 B．DE：BC＝1：
C．AE：AC＝1：2 D．CE：AC＝1：
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
又∵S△ADE=S四边形BCED，
∴ ，
则DE：BC=1： ，
故答案为：B．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再求出 ，最后计算求解即可。
6．（2021九上·宝山期中）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．
D、AB-5=3，AC-2=4， ，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
7．（2021九上·宝山期中）下列命题中正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形都相似 B．任意两个直角三角形都相似
C．任意两个菱形都相似 D．任意两个正方形都相似
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：任意两个等腰三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故A不符合题意；
任意两个直角三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故B不符合题意；
任意两个菱形满足四条边对应成比例，但不一定满足四个角分别对应相等，所以不一定相似，故C不符合题意；
任意两个正方形既满足四条边对应成比例，也满足四个角对应相等，所以任意两个正方形都相似，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
8．（2021九上·李沧期中）如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①AE＝ CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP EB；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴ （ASA），
∴AE＝ BE＝ CF；故①符合题意；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠EDP＝∠EBD，
∵∠DEP＝∠DEP，
∴△DEP∽△BED，
∴ ＝ ，即ED2＝EP EB，故④符合题意；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB，
∴△PDE∽△DBE，故③符合题意；
∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°，
∴∠BPD＝135°，故②符合题意；
故答案为：D．
【分析】由正方形的性质、等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论。
9．（2021九上·章丘期中）如图，在四边形 中，如果 ，那么下列条件中不能判定 和 相似的是（ ）
A． B． 是 的平分线
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
② ；
故答案为：D．
【分析】已知∠ADC＝∠BAC，则A、B选项可根据由两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项也是对应边成比例但无法得出其夹角相等，所以不能推出两个三角形相似；D选项可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定。
10．（2021九上·章丘期中）如图，正方形ABCD的边长为4，G是BC边上一点，若矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，则FG长为（ ）
A．2.8 B．3 C．3.2 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，
∴∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG，AD＝CD＝4，
∴∠EDA＝∠CDG，
∴△EDA∽△CDG，
∴ ，
即 ，
解得，ED＝3.2，
∴FG＝3.2，
故答案为：C．
【分析】根据矩形和正方形的性质，可得出∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG，AD＝CD＝4，从而得出△EDA∽△CDG，即可得出 ，得出ED的值，再根据ED=FG，即可得出答案。
二、填空题
11．（2021九上·西湖月考）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝ ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，DB与CE交于点O，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，
∴CE⊥BF，
∴∠COD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，AB＝DC＝2，
∴∠DCE+∠CDB＝∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠CDB＝∠ECB，
∴△DCB∽△CBE，
∴ ，
设CB＝x，
∵E是AB的中点，
∴BE＝1，
∴ ，
∴x＝ （负值舍去），
故答案为： ．
【分析】利用折叠的性质可证得CE⊥BF，利用矩形的性质和余角的性质可证得∠CDB＝∠ECB，可得到△DCB∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设CB＝x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
12．（2021九上·普陀期中）如图，在平行四边形 中，过点A作 ，垂足为E，联结 ，F为线段 上一点，且 ，如果 ， ， ，那么 的长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD BC，∠B＝∠ADC；而AE⊥BC，
∴AE⊥AD，∠ADF＝∠DEC；
∴DE2＝AE2＋AD2＝4＋16＝20，
∴DE＝2
而∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ADC，即∠ADF＋∠DAF＝∠ADF＋∠EDC，
∴∠DAF＝∠EDC；
∴△ADF∽△DEC，
∴ ；而AD＝4，DE＝2 ，CD＝ ，
∴AF＝ ．
故答案为 ．
【分析】先求出DE＝2 ，再求出△ADF∽△DEC，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
13．（2021九上·普陀期中）如图，矩形 的边 在 的边 上，顶点G、F分别在边 、 上，已知 ， ， ，那么边 上的高的长是 ．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于Q，如图，
易得四边形FEHQ为矩形，
∴QH=EF=2 cm，
∵四边形GDEF是矩形
∴GF//DE，
∵ 在 的边 上，
∴GF//BC
∴
∴
∴
∴AQ=2 cm
∴AH=AQ+QH=2+2=4 cm
∴边 上的高的长是4cm
故答案为4
【分析】先求出GF//DE，再求出，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
14．（2021九上·普陀期中）如图，在 中，D是 上一点， ， ， ，如果 ，那么 的面积是 ．
【答案】16
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D是AB上一点
且∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
∴
∵S△ABC＝36cm2
∴△ACD的面积是36× ＝16，
∴△ACD的面积是16cm2．
故应填：16．
【分析】先求出△ACD∽△ABC，再根据 ， 计算求解即可。
15．（2021九上·黄浦期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠DBC＝45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果 ，那么 的值是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接 ，过点A作 ，如下图：
由对称的性质可得， ， ，∴ ，
在 中， ，∴
∴ ，即
∴
∵ ，∴可设 ，
由题意可得：四边形 为矩形，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，即
又∵
∴
又∵
∴
∴ ，即 ， ，
∴
∴
答案：
【分析】先求出 ， ，再利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
16．（2021九上·黄浦期中）如图，在 中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上， 交DE于M，DG：DE=1：2，BC=12cm，AH=8cm，则DE=
【答案】 cm
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设DG＝x，则DE＝2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AH⊥BC交DE于M，
∴四边形DGHM是矩形，
∴DG＝MH＝x，
∵AH＝8cm，
∴AM＝AH MH＝8 x，
∵ ，即 ，
解得：x＝ ，
∴DE＝2x＝ cm，
故答案为 cm．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再列方程求出x＝ ，最后计算求解即可。
三、作图题
17．（2021九上·长春期中）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②中，各画一个 ，使得 与 相似，且点P在格点上．
【答案】解：①如图：
理由 ：由勾股定理得： ； ；
∴
∴
又
∴
∴
②如图
∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】先利用勾股定理求出三角形三边的长，再利用相似三角形的判定作出三角形即可。
18．（2021九上·滨湖期中）平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标分别为A（1，－2），B（2，－1），C（4，－3） .
（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于x轴对称：
（2）以点（4，0）为位似中心，在网格中画出ΔABC的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 .
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求作的图形，
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求作的图形；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（3）由（2）中规律得，设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述变换后点P2到（4，0）的距离是点P到（4，0）的距离的2倍，且点P2位于第一象限
即点P2的横坐标为：2(4-a)+4=12-2a，点P2的纵坐标为：-2b
故答案为： .
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接；
（2）分别连接A、B、C与位似中心并延长，使A2、B2、C2与位似中心的距离等于A、B、C与位似中心距离的2倍，然后顺次连接即可；
（3）由（2）中规律得：点P2到（4，0）的距离是点P到（4，0）的距离的2倍，且点P2位于第一象限
即点P2的横坐标为：2(4-a)+4=12-2a，点P2的纵坐标为：-2b，据此可得点P2的坐标.
四、解答题
19．（2021九上·李沧期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分线，BD交AC与点E，求AE的长．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠D，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠D＝∠CBD，
∴CD＝BC＝8，
∵∠ABE＝∠D，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得：AE＝2，
答：AE的长为2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先利用 ∠ABE＝∠D，∠AEB＝∠CED，证明△ABE∽△CDE，再利用相似的性质可得，最后将数据代入计算即可。
20．（2021九上·章丘期中）如图，在△ABC中，点P在AB边上，∠ABC＝∠ACP．若AP＝4，AB＝9，求AC的长．
【答案】解：∵∠ABC＝∠ACP，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACP，
∴ ，
即 ，
∴AC＝6（负值舍去）．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由∠ABC＝∠ACP，∠A＝∠A，可证出△ABC∽△ACP，利用相似三角形的性质，可求出AC的长。
21．（2021九上·宿松期中）如图，四边形 ， ， 均是正方形，且 ， ， ， 在同一直线上，连接 ， ，则 的度数为多少？
【答案】解：如图，连接 ，
设正方形 ， ， 的边长为1，
， ，
，
又 ，
，
，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先通过对应边成比例可证明，再利用相似三角形的性质可得，最后利用角的运算求解即可。
五、综合题
22．（2021九上·西湖月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，连接OC，点F、E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO＝∠EFM．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求证： ．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵O是AB的中点，
∴CO⊥AB，
∴∠OCB＝∠B＝45°，
∵∠EFM＝∠FCO，
∵∠FEC＝∠EFM+∠B，∠FCE＝∠FCO+∠OCB，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴CF＝EF；
（2）证明：由（1）得：∠FEC＝∠FCE，∠OCB＝∠B＝45°，
∴△BFC∽△CNE，
∴ ，
∵CF＝EF，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可证得CO⊥AB，可得到∠OCB＝∠B＝45°，利用三角形的外角的性质及∠EFM＝∠FCO，可证得∠FEC＝∠FCE，利用等角对等边，可证得结论.
（2）利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得△BFC∽△CNE，利用全等三角形的性质及CF=EF，可证得结论.
23．（2021九上·普陀期中）如图，已知 ，A是 上一点， ， 交 于D， 交 于E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）设 与 的交点为点G，如果 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵AM=AN，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示：
由（1）得， ，
∴ ，
∴ ，
AM=AN，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
24．（2021九上·普陀期中）如图，在等腰直角 中， ， ，过点C作射线 ，D为射线 上一点，E在边 上（不与B、C重合）且 ， 与 交于点O．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°，
∴∠CAD=∠BAE；
∵CP∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=45°．
∴△ACD∽△ABE，
∴ ，即 ，
又∵∠DAE=∠CAB=45°，
∴△ADE∽△ACB．
（2）证明：∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE．
∵∠AEC=∠AED+∠CED=45°+∠CED，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+∠BAE，
∴∠CED=∠BAE，
∴∠CDE=∠CED=∠BAE，
∵CP∥AB，
∴∠DCE+∠B=180°，
∴∠DCE=180°-∠B=135°，
∴∠CDE=∠CED=∠BAE = （180°-∠DCE）=22.5°，
∴∠BAE= ∠CAB，即AE为角平分线．
∴∠CAE=∠CEO
又∠ACE=∠ECO=90°
∴
∴ ，即
∵
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ACD=∠CAB=45°，再求出△ACD∽△ABE， 最后证明求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题9 相似三角形的判定与性质
一、单选题
1．（2021九上·普陀期中）下列各组条件中，一定能够判定 与 相似的是（ ）
A． ， ；
B． ， ， ， ；
C． 三边长分别为 ， ， ， 三边之比为 ；
D． ， ， ．
2．（2021九上·普陀期中）如图，在 中， 是边 上的高，那么下列条件不一定能推出 的选项是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． ．
3．（2021九上·普陀期中）如图，已知 ， 与 相交于点O，点G是 的中点，过点G作 交 于点E，如果 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·黄浦期中）下列判断中，错误的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
5．（2021九上·宝山期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△ABC被DE分割成两个面积相等的图形，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．AD：DB＝ ：1 B．DE：BC＝1：
C．AE：AC＝1：2 D．CE：AC＝1：
6．（2021九上·宝山期中）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·宝山期中）下列命题中正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形都相似 B．任意两个直角三角形都相似
C．任意两个菱形都相似 D．任意两个正方形都相似
8．（2021九上·李沧期中）如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①AE＝ CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP EB；其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021九上·章丘期中）如图，在四边形 中，如果 ，那么下列条件中不能判定 和 相似的是（ ）
A． B． 是 的平分线
C． D．
10．（2021九上·章丘期中）如图，正方形ABCD的边长为4，G是BC边上一点，若矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，则FG长为（ ）
A．2.8 B．3 C．3.2 D．4
二、填空题
11．（2021九上·西湖月考）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝ ．
12．（2021九上·普陀期中）如图，在平行四边形 中，过点A作 ，垂足为E，联结 ，F为线段 上一点，且 ，如果 ， ， ，那么 的长为 ．
13．（2021九上·普陀期中）如图，矩形 的边 在 的边 上，顶点G、F分别在边 、 上，已知 ， ， ，那么边 上的高的长是 ．
14．（2021九上·普陀期中）如图，在 中，D是 上一点， ， ， ，如果 ，那么 的面积是 ．
15．（2021九上·黄浦期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠DBC＝45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果 ，那么 的值是 ．
16．（2021九上·黄浦期中）如图，在 中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上， 交DE于M，DG：DE=1：2，BC=12cm，AH=8cm，则DE=
三、作图题
17．（2021九上·长春期中）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②中，各画一个 ，使得 与 相似，且点P在格点上．
18．（2021九上·滨湖期中）平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标分别为A（1，－2），B（2，－1），C（4，－3） .
（1）画出△A1B1C1，使它与△ABC关于x轴对称：
（2）以点（4，0）为位似中心，在网格中画出ΔABC的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 .
四、解答题
19．（2021九上·李沧期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分线，BD交AC与点E，求AE的长．
20．（2021九上·章丘期中）如图，在△ABC中，点P在AB边上，∠ABC＝∠ACP．若AP＝4，AB＝9，求AC的长．
21．（2021九上·宿松期中）如图，四边形 ， ， 均是正方形，且 ， ， ， 在同一直线上，连接 ， ，则 的度数为多少？
五、综合题
22．（2021九上·西湖月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，连接OC，点F、E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO＝∠EFM．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求证： ．
23．（2021九上·普陀期中）如图，已知 ，A是 上一点， ， 交 于D， 交 于E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）设 与 的交点为点G，如果 ， ，求 的值．
24．（2021九上·普陀期中）如图，在等腰直角 中， ， ，过点C作射线 ，D为射线 上一点，E在边 上（不与B、C重合）且 ， 与 交于点O．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A. ， ，两角不一定对应相等，两个三角形不一定相似；
B. ， ， ， ；
有 ，其夹角不一定相等，两个三角形不一定相似；
C. 三边长分别为 ， ， ，故 三边之比为
∵ 三边之比为 ；
∴三边对应成比例的两个三角形相似；
D. ，两边对应成比例，其夹角不一定相等，两个三角形不一定相似；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.当 时，即 ， （公共角），
，
， ，
是边 上的高，
，
，故A符合题意；
B.当 时，即 ，
是边 上的高，
与 都是直角三角形，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
， ，
是边 上的高，
，
，故B符合题意；
C.当 时，即 ，
是边 上的高，
，
，
， ，
是边 上的高，
，
，故C符合题意；
D.当 时，即 ，但题目没给出 ，也没给出三边对应成比例，故D不符合题意．
【分析】利用相似三角形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，GD=BG，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△OGE∽△OBC，
∴ ．
故答案为：A
【分析】先求出 ，再求出 ，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
又∵S△ADE=S四边形BCED，
∴ ，
则DE：BC=1： ，
故答案为：B．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再求出 ，最后计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．
D、AB-5=3，AC-2=4， ，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：任意两个等腰三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故A不符合题意；
任意两个直角三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故B不符合题意；
任意两个菱形满足四条边对应成比例，但不一定满足四个角分别对应相等，所以不一定相似，故C不符合题意；
任意两个正方形既满足四条边对应成比例，也满足四个角对应相等，所以任意两个正方形都相似，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
8．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴ （ASA），
∴AE＝ BE＝ CF；故①符合题意；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠EDP＝∠EBD，
∵∠DEP＝∠DEP，
∴△DEP∽△BED，
∴ ＝ ，即ED2＝EP EB，故④符合题意；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠PED＝∠DEB，
∴△PDE∽△DBE，故③符合题意；
∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°，
∴∠BPD＝135°，故②符合题意；
故答案为：D．
【分析】由正方形的性质、等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论。
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
② ；
故答案为：D．
【分析】已知∠ADC＝∠BAC，则A、B选项可根据由两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项也是对应边成比例但无法得出其夹角相等，所以不能推出两个三角形相似；D选项可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定。
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，
∴∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG，AD＝CD＝4，
∴∠EDA＝∠CDG，
∴△EDA∽△CDG，
∴ ，
即 ，
解得，ED＝3.2，
∴FG＝3.2，
故答案为：C．
【分析】根据矩形和正方形的性质，可得出∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG，AD＝CD＝4，从而得出△EDA∽△CDG，即可得出 ，得出ED的值，再根据ED=FG，即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，DB与CE交于点O，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，
∴CE⊥BF，
∴∠COD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，AB＝DC＝2，
∴∠DCE+∠CDB＝∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠CDB＝∠ECB，
∴△DCB∽△CBE，
∴ ，
设CB＝x，
∵E是AB的中点，
∴BE＝1，
∴ ，
∴x＝ （负值舍去），
故答案为： ．
【分析】利用折叠的性质可证得CE⊥BF，利用矩形的性质和余角的性质可证得∠CDB＝∠ECB，可得到△DCB∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设CB＝x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD BC，∠B＝∠ADC；而AE⊥BC，
∴AE⊥AD，∠ADF＝∠DEC；
∴DE2＝AE2＋AD2＝4＋16＝20，
∴DE＝2
而∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ADC，即∠ADF＋∠DAF＝∠ADF＋∠EDC，
∴∠DAF＝∠EDC；
∴△ADF∽△DEC，
∴ ；而AD＝4，DE＝2 ，CD＝ ，
∴AF＝ ．
故答案为 ．
【分析】先求出DE＝2 ，再求出△ADF∽△DEC，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
13．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于Q，如图，
易得四边形FEHQ为矩形，
∴QH=EF=2 cm，
∵四边形GDEF是矩形
∴GF//DE，
∵ 在 的边 上，
∴GF//BC
∴
∴
∴
∴AQ=2 cm
∴AH=AQ+QH=2+2=4 cm
∴边 上的高的长是4cm
故答案为4
【分析】先求出GF//DE，再求出，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
14．【答案】16
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D是AB上一点
且∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴
∴
∵S△ABC＝36cm2
∴△ACD的面积是36× ＝16，
∴△ACD的面积是16cm2．
故应填：16．
【分析】先求出△ACD∽△ABC，再根据 ， 计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接 ，过点A作 ，如下图：
由对称的性质可得， ， ，∴ ，
在 中， ，∴
∴ ，即
∴
∵ ，∴可设 ，
由题意可得：四边形 为矩形，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，即
又∵
∴
又∵
∴
∴ ，即 ， ，
∴
∴
答案：
【分析】先求出 ， ，再利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
16．【答案】 cm
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设DG＝x，则DE＝2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AH⊥BC交DE于M，
∴四边形DGHM是矩形，
∴DG＝MH＝x，
∵AH＝8cm，
∴AM＝AH MH＝8 x，
∵ ，即 ，
解得：x＝ ，
∴DE＝2x＝ cm，
故答案为 cm．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再列方程求出x＝ ，最后计算求解即可。
17．【答案】解：①如图：
理由 ：由勾股定理得： ； ；
∴
∴
又
∴
∴
②如图
∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】先利用勾股定理求出三角形三边的长，再利用相似三角形的判定作出三角形即可。
18．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求作的图形，
（2）解：如图，△A2B2C2就是所求作的图形；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（3）由（2）中规律得，设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述变换后点P2到（4，0）的距离是点P到（4，0）的距离的2倍，且点P2位于第一象限
即点P2的横坐标为：2(4-a)+4=12-2a，点P2的纵坐标为：-2b
故答案为： .
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接；
（2）分别连接A、B、C与位似中心并延长，使A2、B2、C2与位似中心的距离等于A、B、C与位似中心距离的2倍，然后顺次连接即可；
（3）由（2）中规律得：点P2到（4，0）的距离是点P到（4，0）的距离的2倍，且点P2位于第一象限
即点P2的横坐标为：2(4-a)+4=12-2a，点P2的纵坐标为：-2b，据此可得点P2的坐标.
19．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠D，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠D＝∠CBD，
∴CD＝BC＝8，
∵∠ABE＝∠D，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得：AE＝2，
答：AE的长为2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先利用 ∠ABE＝∠D，∠AEB＝∠CED，证明△ABE∽△CDE，再利用相似的性质可得，最后将数据代入计算即可。
20．【答案】解：∵∠ABC＝∠ACP，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACP，
∴ ，
即 ，
∴AC＝6（负值舍去）．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由∠ABC＝∠ACP，∠A＝∠A，可证出△ABC∽△ACP，利用相似三角形的性质，可求出AC的长。
21．【答案】解：如图，连接 ，
设正方形 ， ， 的边长为1，
， ，
，
又 ，
，
，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先通过对应边成比例可证明，再利用相似三角形的性质可得，最后利用角的运算求解即可。
22．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵O是AB的中点，
∴CO⊥AB，
∴∠OCB＝∠B＝45°，
∵∠EFM＝∠FCO，
∵∠FEC＝∠EFM+∠B，∠FCE＝∠FCO+∠OCB，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴CF＝EF；
（2）证明：由（1）得：∠FEC＝∠FCE，∠OCB＝∠B＝45°，
∴△BFC∽△CNE，
∴ ，
∵CF＝EF，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可证得CO⊥AB，可得到∠OCB＝∠B＝45°，利用三角形的外角的性质及∠EFM＝∠FCO，可证得∠FEC＝∠FCE，利用等角对等边，可证得结论.
（2）利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得△BFC∽△CNE，利用全等三角形的性质及CF=EF，可证得结论.
23．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵AM=AN，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示：
由（1）得， ，
∴ ，
∴ ，
AM=AN，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
24．【答案】（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°，
∴∠CAD=∠BAE；
∵CP∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=45°．
∴△ACD∽△ABE，
∴ ，即 ，
又∵∠DAE=∠CAB=45°，
∴△ADE∽△ACB．
（2）证明：∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE．
∵∠AEC=∠AED+∠CED=45°+∠CED，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+∠BAE，
∴∠CED=∠BAE，
∴∠CDE=∠CED=∠BAE，
∵CP∥AB，
∴∠DCE+∠B=180°，
∴∠DCE=180°-∠B=135°，
∴∠CDE=∠CED=∠BAE = （180°-∠DCE）=22.5°，
∴∠BAE= ∠CAB，即AE为角平分线．
∴∠CAE=∠CEO
又∠ACE=∠ECO=90°
∴
∴ ，即
∵
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ACD=∠CAB=45°，再求出△ACD∽△ABE， 最后证明求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
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