【精品解析】湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题10 相似三角形的应用

湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题10 相似三角形的应用
一、单选题
1．（2021九上·阳谷月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 ，底边上的高为 ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
2．（2021九上·阳谷月考）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端C处，已知 ，且测得 ，那么该古城墙的高度是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021九上·太原月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端 C 处，已知 AB ^ BD ，CD ^ BD ，且测得 AB = 4m ，BP = 6m ， PD = 12m ，那么该古城墙CD 的高度是（　　）
A．8m B．9m C．16m D．18m
4．（2021九上·山东月考）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（　　）
A．12米 B．14米 C．16米 D．18米
5．（2021九上·顺义月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（　　）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
6．（2021·兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为 时，标准视力表中最大的“ ”字高度为 ，当测试距离为 时，最大的“ ”字高度为（　　）mm
A．4.36 B．29.08 C．43.62 D．121.17
7．（2021·内江）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为 的竹竿的影长为 ，某一高楼的影长为 ，那么这幢高楼的高度是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·槐荫模拟）如图，把一根4.5米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米时它离地面的高度是0.6米，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8米，∠CBF记作α，下列式子正确的是（　　）
A．sinα＝ B．cosα＝
C．sinα＝ D．tanα＝
9．（2021·新抚模拟）在某一时刻，测得一根高为 的竹杆的影长为 ，同时测得一栋楼的影长为 ，则这栋楼的高度为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·江州模拟）如图，圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（　　）
A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．1.44πm2 D．3.24πm2
二、填空题
11．（2021九上·李沧期中）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝　 　m．
12．（2021九上·高州期中）如图，路灯距地面 ，身高 的小明从点A处沿 所在的直线行走 到点B时，人影长度变短　 　．
13．（2021九上·阳谷月考）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度 为　 　m．
14．（2021九上·包头月考）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=　 　 米.
15．（2021九上·皇姑月考）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是　 　米．
16．（2021九上·昆都仑月考）教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1m的竹竿的影长为0.9m，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为2.7m，落在墙壁上的影长为1.2m，请你和他们一起计算一下树高　 　m．
三、解答题
17．（2021九上·朝阳期中）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使 ， ），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB有什么关系？为什么？
18．（2021九上·禅城月考）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上．已知纸板的两条边EF＝30cm，DE＝40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求树高AB．
19．（2021九上·富平期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且 ，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D， ，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得 米.已知标杆 米，求该塔的高度AB.
四、综合题
20．（2021九上·宝山期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？
21．（2021九上·山东月考）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：△APN∽△ABC；
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则宽是多少mm？
22．（2020九上·阜阳期末）如图，在 中， ，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，设运动时间为 秒（ ），连接 ．
（1）若 与 相似，求 的值；
（2）当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则该正方形的边长为 ，
设从顶点到这个正方形顶边的距离为 ，
根据相似三角形的性质可得 ，解得 （张），
所以这张正方形纸条是第5张，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张即可。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题意知： ，
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
故答案为：C
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质列出比例式，最后将数据代入计算即可。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
答：该古城墙CD的高度为8m．
故答案为：A．
【分析】利用入射与反射得出∠ABP＝∠CDP＝90°，则可判断，再根据相似三角形的性质得出答案。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如下图：
过点C作CE⊥AB于点E，某一时刻竹竿和影长构成的三角形为△FGH，此时FG=1米，GH=1.5米，BD=EC=21米，CD=EB=2米．
据题意，同一时刻，
∴
∴
∴AE=14
∴AB=AE+BE=14+2=16米
故答案为：C
【分析】根据题意，先证明，再利用相似的性质列出比例式，最后将数据代入计算即可。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，FD=4，ED=1；
则∠ECF=∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠ECD+∠E=90°，∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠E=∠FCD
∴Rt△EDC∽Rt△CDF
∴
即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=4，
∴DC=2．
故答案为：B
【分析】先求出∠E=∠FCD，再求出Rt△EDC∽Rt△CDF，最后求解即可。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意，得 ，且
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ABC∽△ADF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设这幢高楼的高度为 米，依题意得： ，
解得： .
故这栋高楼的高度为36米.
故答案为：D.
【分析】根据在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比，因此设这幢高楼的高度为x米，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于点F，
由题意得： ，
∵AD＝1米，AC＝4.5米，
∴ ，
解得：CF＝2.7米，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】作CF⊥AB于点F，利用杆长和影子吃哪个求得CF的长，再利用三角函数求得结论。
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设这栋楼的高度为xm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴ ，
解得：x=54．
故答案为：A．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，
∴△OBC∽△OAD
∴ ，而OD=3，CD=1，
∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= ×1.2=0.6
∴ ，
∴AD=0.9 S⊙D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2.
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△OBC∽△OAD，由相似三角形的性质可得比例式，结合已知求出AD的值，再根据圆的面积S=可求解.
11．【答案】7.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴由勾股定理求得EF＝0.06m，
∴ ，
∴BC＝6米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．
故答案为：7.5．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可得出答案。
12．【答案】3.5m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴ ， ，
则 ，
∴x＝ a；
，
∴y＝ a 3.5，
∴x y＝3.5，
故变短了3.5米．
故答案为： ．
【分析】设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y，根据AC∥OP，BD∥OP，可证△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，利用相似三角形的对应边成比例求出x-y的值即可.
13．【答案】1.6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
（米 ，
故答案为：1.6．
【分析】利用平行线可以判断出，再利用相似三角形的性质列出比例式，将数据代入计算即可。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵光是沿直线传播的，
∴AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，
∴ ，即 ，
解得：BC= ．
故答案为 ．
【分析】根据平行线证明△BCE∽△ACD，再利用平行线的性质得到，再将数据代入计算即可。
15．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题目中的条件易证△ABP∽△CDP，由相似三角形对应边的比相等可得 ，即 ，解得CD=8m．
【分析】先证明△ABP∽△CDP，可得出，再代入相应数据可得出答案。
16．【答案】4.2
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，过点C作CE∥AD，交AB于E，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD．
由题意，得△EBC∽△PQR，
∴ ，即 ．
∴BE＝3m．
∴AB＝BE＋AE＝3＋1.2＝4.2（m）．
即树高为4.2m．
故答案为：4.2．
【分析】先根据同一时刻高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度。
17．【答案】解：AB=3CD．理由如下：
∵OA=3OD，OB=3CO，
∴OA：OD=BO：CO=3：1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴ ，
∴AB=3CD．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定两个三角形相似，然后利用相似三角形的性质求解。
18．【答案】解： ∠DEF=∠DCB = 90°，∠EDF=∠CDB，
△DEF △DCB，
在Rt△DEF中，
答：树高AB是10.5m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出，根据勾股定理得出EF的值，求得BC的值，根据线段的和差即可得出结论。
19．【答案】解：∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得： （米）.
答：该塔的高度 为44米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先由相似的判定方法得到 ，再由相似的性质得到 ，最终得到AB的值.
20．【答案】（1）解：作EM⊥CD于M，交AB于N，
可得，EF＝BN＝DM＝1.5米，MN＝BD＝23米，EN＝FB＝2米．
∴ME＝25米，AN＝1米，
∵AN∥CD，
∴△AEN∽△CEM，
∴ ，即
∴CM＝12.5米，
CD＝CM+DM＝14米，
答：大楼的高度CD为14米．
（2）解：类似（1）可得△AEN∽△GEM，
∴ ，
∵GD＝11.5米，DM＝1.5米，AN＝1米，ME＝25米，
∴GM＝10米，
∴ ，
∴EN＝2.5米，
相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动2.5-2=0.5（米），
答：相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先求出 △AEN∽△CEM， 再求出 ，最后求解即可；
（2）利用相似三角形的性质计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵四边形PNQM为矩形，
∴BC∥PN，
∴△APN∽△ABC；
（2）解：设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PN∥BC，PQ∥AD，
根据平行线的性质可以得出： 、 ，
①PQ为长，PN为宽：
由题意知PQ=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，PN=xmm，
即 、 ，
∵AP+BP=AB，
∴ ，
解得x=30，2x=60．
即长为60mm，宽为30mm．
②PQ为宽，PN为长：
由题意知PQ=xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=2xmm，
即 、 ，
∵AP+BP=AB，
∴ ，
解得x= ，2x= ．
即长为 mm，宽为 mm．
答：矩形的宽是30mm或 mm．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的对对边平行得到BC//PN，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可；
（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可。
22．【答案】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
分两种情况：
①当 时， ，即 ，解得 ；
②当 时， ，即 ，解得 ．
综上所述，当 或 时， 与 相似；
（2）解：过点 作 于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ．
设四边形 的面积为 ，
．
∴当 时， 取得最小值，最小值为 ．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）分两种情况：
①当 ，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
②当 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
（2） 过点 作 于点 ，得 ， 证出 ，得出比例式求出
。又由四边形 的面积 = 的面积- 的面积，得出Y是t的二次函数，由二次函数的性质得出结论。
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题10 相似三角形的应用
一、单选题
1．（2021九上·阳谷月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 ，底边上的高为 ，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则该正方形的边长为 ，
设从顶点到这个正方形顶边的距离为 ，
根据相似三角形的性质可得 ，解得 （张），
所以这张正方形纸条是第5张，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张即可。
2．（2021九上·阳谷月考）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端C处，已知 ，且测得 ，那么该古城墙的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题意知： ，
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
故答案为：C
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质列出比例式，最后将数据代入计算即可。
3．（2021九上·太原月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端 C 处，已知 AB ^ BD ，CD ^ BD ，且测得 AB = 4m ，BP = 6m ， PD = 12m ，那么该古城墙CD 的高度是（　　）
A．8m B．9m C．16m D．18m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
答：该古城墙CD的高度为8m．
故答案为：A．
【分析】利用入射与反射得出∠ABP＝∠CDP＝90°，则可判断，再根据相似三角形的性质得出答案。
4．（2021九上·山东月考）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（　　）
A．12米 B．14米 C．16米 D．18米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如下图：
过点C作CE⊥AB于点E，某一时刻竹竿和影长构成的三角形为△FGH，此时FG=1米，GH=1.5米，BD=EC=21米，CD=EB=2米．
据题意，同一时刻，
∴
∴
∴AE=14
∴AB=AE+BE=14+2=16米
故答案为：C
【分析】根据题意，先证明，再利用相似的性质列出比例式，最后将数据代入计算即可。
5．（2021九上·顺义月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（　　）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，FD=4，ED=1；
则∠ECF=∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠ECD+∠E=90°，∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠E=∠FCD
∴Rt△EDC∽Rt△CDF
∴
即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=4，
∴DC=2．
故答案为：B
【分析】先求出∠E=∠FCD，再求出Rt△EDC∽Rt△CDF，最后求解即可。
6．（2021·兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为 时，标准视力表中最大的“ ”字高度为 ，当测试距离为 时，最大的“ ”字高度为（　　）mm
A．4.36 B．29.08 C．43.62 D．121.17
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意，得 ，且
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ABC∽△ADF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
7．（2021·内江）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为 的竹竿的影长为 ，某一高楼的影长为 ，那么这幢高楼的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设这幢高楼的高度为 米，依题意得： ，
解得： .
故这栋高楼的高度为36米.
故答案为：D.
【分析】根据在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比，因此设这幢高楼的高度为x米，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
8．（2021·槐荫模拟）如图，把一根4.5米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米时它离地面的高度是0.6米，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8米，∠CBF记作α，下列式子正确的是（　　）
A．sinα＝ B．cosα＝
C．sinα＝ D．tanα＝
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于点F，
由题意得： ，
∵AD＝1米，AC＝4.5米，
∴ ，
解得：CF＝2.7米，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】作CF⊥AB于点F，利用杆长和影子吃哪个求得CF的长，再利用三角函数求得结论。
9．（2021·新抚模拟）在某一时刻，测得一根高为 的竹杆的影长为 ，同时测得一栋楼的影长为 ，则这栋楼的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设这栋楼的高度为xm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴ ，
解得：x=54．
故答案为：A．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
10．（2021·江州模拟）如图，圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（　　）
A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．1.44πm2 D．3.24πm2
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，
∴△OBC∽△OAD
∴ ，而OD=3，CD=1，
∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= ×1.2=0.6
∴ ，
∴AD=0.9 S⊙D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2.
【分析】根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△OBC∽△OAD，由相似三角形的性质可得比例式，结合已知求出AD的值，再根据圆的面积S=可求解.
二、填空题
11．（2021九上·李沧期中）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝　 　m．
【答案】7.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴由勾股定理求得EF＝0.06m，
∴ ，
∴BC＝6米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．
故答案为：7.5．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可得出答案。
12．（2021九上·高州期中）如图，路灯距地面 ，身高 的小明从点A处沿 所在的直线行走 到点B时，人影长度变短　 　．
【答案】3.5m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴ ， ，
则 ，
∴x＝ a；
，
∴y＝ a 3.5，
∴x y＝3.5，
故变短了3.5米．
故答案为： ．
【分析】设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y，根据AC∥OP，BD∥OP，可证△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，利用相似三角形的对应边成比例求出x-y的值即可.
13．（2021九上·阳谷月考）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度 为　 　m．
【答案】1.6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
（米 ，
故答案为：1.6．
【分析】利用平行线可以判断出，再利用相似三角形的性质列出比例式，将数据代入计算即可。
14．（2021九上·包头月考）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=　 　 米.
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵光是沿直线传播的，
∴AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，
∴ ，即 ，
解得：BC= ．
故答案为 ．
【分析】根据平行线证明△BCE∽△ACD，再利用平行线的性质得到，再将数据代入计算即可。
15．（2021九上·皇姑月考）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是　 　米．
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题目中的条件易证△ABP∽△CDP，由相似三角形对应边的比相等可得 ，即 ，解得CD=8m．
【分析】先证明△ABP∽△CDP，可得出，再代入相应数据可得出答案。
16．（2021九上·昆都仑月考）教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1m的竹竿的影长为0.9m，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为2.7m，落在墙壁上的影长为1.2m，请你和他们一起计算一下树高　 　m．
【答案】4.2
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，过点C作CE∥AD，交AB于E，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD．
由题意，得△EBC∽△PQR，
∴ ，即 ．
∴BE＝3m．
∴AB＝BE＋AE＝3＋1.2＝4.2（m）．
即树高为4.2m．
故答案为：4.2．
【分析】先根据同一时刻高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度。
三、解答题
17．（2021九上·朝阳期中）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使 ， ），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB有什么关系？为什么？
【答案】解：AB=3CD．理由如下：
∵OA=3OD，OB=3CO，
∴OA：OD=BO：CO=3：1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴ ，
∴AB=3CD．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定两个三角形相似，然后利用相似三角形的性质求解。
18．（2021九上·禅城月考）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上．已知纸板的两条边EF＝30cm，DE＝40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求树高AB．
【答案】解： ∠DEF=∠DCB = 90°，∠EDF=∠CDB，
△DEF △DCB，
在Rt△DEF中，
答：树高AB是10.5m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出，根据勾股定理得出EF的值，求得BC的值，根据线段的和差即可得出结论。
19．（2021九上·富平期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且 ，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D， ，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得 米.已知标杆 米，求该塔的高度AB.
【答案】解：∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得： （米）.
答：该塔的高度 为44米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先由相似的判定方法得到 ，再由相似的性质得到 ，最终得到AB的值.
四、综合题
20．（2021九上·宝山期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？
【答案】（1）解：作EM⊥CD于M，交AB于N，
可得，EF＝BN＝DM＝1.5米，MN＝BD＝23米，EN＝FB＝2米．
∴ME＝25米，AN＝1米，
∵AN∥CD，
∴△AEN∽△CEM，
∴ ，即
∴CM＝12.5米，
CD＝CM+DM＝14米，
答：大楼的高度CD为14米．
（2）解：类似（1）可得△AEN∽△GEM，
∴ ，
∵GD＝11.5米，DM＝1.5米，AN＝1米，ME＝25米，
∴GM＝10米，
∴ ，
∴EN＝2.5米，
相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动2.5-2=0.5（米），
答：相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先求出 △AEN∽△CEM， 再求出 ，最后求解即可；
（2）利用相似三角形的性质计算求解即可。
21．（2021九上·山东月考）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：△APN∽△ABC；
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则宽是多少mm？
【答案】（1）证明：∵四边形PNQM为矩形，
∴BC∥PN，
∴△APN∽△ABC；
（2）解：设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PN∥BC，PQ∥AD，
根据平行线的性质可以得出： 、 ，
①PQ为长，PN为宽：
由题意知PQ=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，PN=xmm，
即 、 ，
∵AP+BP=AB，
∴ ，
解得x=30，2x=60．
即长为60mm，宽为30mm．
②PQ为宽，PN为长：
由题意知PQ=xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=2xmm，
即 、 ，
∵AP+BP=AB，
∴ ，
解得x= ，2x= ．
即长为 mm，宽为 mm．
答：矩形的宽是30mm或 mm．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的对对边平行得到BC//PN，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可；
（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，PQ可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可。
22．（2020九上·阜阳期末）如图，在 中， ，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，设运动时间为 秒（ ），连接 ．
（1）若 与 相似，求 的值；
（2）当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值．
【答案】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
分两种情况：
①当 时， ，即 ，解得 ；
②当 时， ，即 ，解得 ．
综上所述，当 或 时， 与 相似；
（2）解：过点 作 于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ．
设四边形 的面积为 ，
．
∴当 时， 取得最小值，最小值为 ．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）分两种情况：
①当 ，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
②当 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
（2） 过点 作 于点 ，得 ， 证出 ，得出比例式求出
。又由四边形 的面积 = 的面积- 的面积，得出Y是t的二次函数，由二次函数的性质得出结论。
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