湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题11 位似
一、单选题
1．（2021九上·大东期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到对应的△A′B′O′．若点A的坐标是（﹣1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4）
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意知，点A′的坐标为（2，-4）
故答案为：B．
【分析】根据位似三角形的性质求解即可。
2．（2021九上·深圳期中）如图，△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'=2AA'，则△A'B'C'和△ABC的位似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，
∴△A'B'C'和△ABC的位似比=OA′：OA，
∵OA'=2AA'，
∴OA′：OA=2：3，
即△A'B'C'和△ABC的位似比为2：3．
故答案为：D．
【分析】利用位似图形的性质求解即可.
3．（2021九上·高州期中）等边三角形OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 边长为6，且 与△ 关于点O成位似图形，且位似比为 ，则点 的坐标可能是（ ）
A． ， B． ， C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；位似变换
【解析】【解答】解：作 于C，
为等边三角形， ，
，
，
点A的坐标为 ， ，
与△ 关于点O成位似图形，且位似比为 ，
点 的坐标为 ， 或 ，即 ， 或 ，
故答案为：B．
【分析】作 于C，由等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出AC=，即得点A坐标，根据位似比的性质求出点的坐标即可.
4．（2021九上·平昌期中）如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为 1∶2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为( )
A．(－x，－y) B．(－2x，－2y)
C．(－2x，2y) D．(2x，－2y)
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵P（x，y），相似比为1：2，点O为位似中心，
∴P′的坐标是（-2x，-2y）.
故答案为：B.
【分析】给点P的横、纵坐标分别乘以-2即可得到点P′的坐标.
5．（2021九上·阳谷月考）如图，已知 ， ，以O为位似中心，把 缩小到原来的 ，则点E的对应点的坐标为是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，以O为位似中心，把 缩小到原来的 ，
则 都符合题意，
且 为 中点，
由中心对称的性质可得：
故答案为：C
【分析】根据位似变换的性质求解即可以求出点E的对应点的坐标。
6．（2021九上·铁西月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）或（1，﹣2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵点A（-3，6）且相似比为 ，
∴点A的对应点A′的坐标是（-3× ，6× ）或（3× ，-6× ）
∴A′（-1，2）或（1，-2）.
故答案为：A
【分析】利用位似变换是以原点位位似中心，相似比位k，慢位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行求解即可。
7．（2021九上·太原月考）如图，原点在网格格点上的平面直角坐标系中，两个三角形（顶点均在网格的格点上）是以点 为位似中心的位似图形，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：分别连接 、 并延长交于点 ，
则点 为位似中心，
故答案为：A．
【分析】根据位似中心的概念作图，根据坐标与图象性质解答即可。
8．（2021九上·温州月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD.若点C的坐标为（－1，－ ），则点A的坐标为（ ）
A．（ ，2） B．（2，3） C．（3， ） D．（3，2）
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：在第三象限内与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，相当于在第一象限内与△OCD的位似比为 的位似图形△OAB.
则以点O为位似中心，位似比为 ，
而点C的坐标为（-1，- ），
∴A点的对应点A的坐标为（3，2）.
故答案为：D.
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，如果位似图形对应点在原点的同一侧，那么位似图形对应点的坐标的比等于k；如果位似图形对应点在原点的两侧，那么位似图形对应点的坐标的比等于-k.
9．（2021九上·福州月考）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△ ，把△AOB的边长放大到原来的2倍，设点B的对应点 的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：依题意，位似比为 ， 的坐标是（4，﹣2），
，即 .
故答案为：C.
【分析】平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，如果位似图形对应点在原点的同一侧，那么位似图形对应点的坐标的比等于k；如果位似图形对应点在原点的两侧，那么位似图形对应点的坐标的比等于-k据此即可得出答案.
10．（2021·婺城模拟）视力表用来测量一个人的视力.如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故答案为：D.
【分析】根据位似变换的特点并结合题意可求解.
二、填空题
11．（2021九上·长春期中）如图，在平面直角坐标中，正方形 与正方形 是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形 的边长为2，则点F的坐标为 ．
【答案】(9，6)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 正方形 与正方形 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
，
点坐标为： ，
故答案为： ．
【分析】根据位似图形的概念得出EF的长，进而得出OB的长，即可得出答案。
12．（2021九上·朝阳期中）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，则 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，
，
则 ，
故答案为 ．
【分析】利用位似图形的性质即可求解。
13．（2021九上·包头月考）如图，正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A'B'C'D'，则点C'的坐标为 ．
【答案】（2，1）或（0，-1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据题意，可知正方形 与正方形ABCD的位似比是 ，
则位似后的正方形的边长为1，
根据位似的定义，得位似后的正方形，如图所示：
故点 的坐标位（2，1）或（0，-1），
故答案为：（2，1）或（0，-1）．
【分析】以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，作正方形A'B'C'D'，根据图形写出点C'的坐标即可。
14．（2021九上·太原月考）如图，在 △ABC 中，点 A 的坐标为（ 3，6） ，以原点 O 为位似中心，将 △ABC 位似缩小后得到△ A＇B＇C＇ ．若 点 A＇的坐标为 （1，2），△ A＇B＇C＇的面积为 1，则 △ABC 的面积为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】 点 A 的坐标为（ 3，6），点 A＇ 的坐标为 （1，2）
△ABC与△ A＇B＇C＇的相似比为
△ A＇B＇C＇ 的面积为 1，
△ABC 的面积为9
故答案为：9
【分析】利用对应点坐标的变化即可得出相似比；利用位似图形面积之比等于相似比的平方即可得出答案。
15．（2021九上·山东月考）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是 ．
【答案】（-2，1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：设点B的坐标为（x，y），
∵点B的对应点B′的坐标是（4，-2），
∴根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，
∴点B的坐标为（-2，1）．
故填（-2，1）．
【分析】设点B的坐标为（x，y），根据位似变换的坐标特点得到-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，由此求得点B的坐标。
16．（2021九上·济南月考）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝9，则S△A′B′C′＝ ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′．
可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，
又S△ABC=9，
∴S△A'B'C′= ．
故答案为： ．
【分析】△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA=2AA′可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方。
三、作图题
17．（2021九上·高州期中）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出△OB'C′；
（2）B点的对应点B'的坐标是 ；C点的对应点C′的坐标是 ．
【答案】（1）解：如图所示：△OB'C′，即为所求；
（2）（﹣6，2）；（﹣4，﹣2）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）B点的对应点B'的坐标是（﹣6，2）；
C点的对应点C′的坐标是（﹣4，﹣2）．
【分析】（1）延长BO到B'，使OB'=2OB，同理求出点C'，然后顺次连接即可得到△OB'C'；
（2）根据（1）作图即可得出B'、C'坐标.
18．（2021九上·宜兴期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）.
（1）在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与△ABC位似比为2的位似图形△A'B'C'；
（2）△A'B'C'的面积为 .
【答案】（1）
（2）6
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2） ，
由（1）可得△ABC∽△A'B'C'且相似比为
∴ ，
∴△A'B'C'的面积＝ =6.
【分析】（1）分别连接AO、BO、CO并延长，使C′O=2CO，B′O=2BO，A′O=2AO，然后顺次连接即可；
（2）首先根据正方形、三角形的面积公式以及面积间的和差关系求出△ABC的面积，然后根据相似三角形的性质进行求解.
四、解答题
19．（2020九上·西城期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】位似变换
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得，再将数据代入计算即可。
20．（2019九上·昌平期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）， B（﹣3，4），C（﹣2，6）;要求：以原点O为位似中心，画出将△ABC三条边放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
【答案】解：如图，
延长OA到A1使O A1=2OA，则点A1为A点的对应点，同样方法作出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△A1B1C1．（或延长AO到A1使O A1=2OA，则点A1为A点的对应点，同样方法作出点B、C的对应点B1、C1，从而在第四象限画出△A1B1C1．）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】由对应点坐标先画出△ABC，再由位似三角形的性质，即可画出△A1B1C1．
21．（2019·巴中）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
【答案】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③ ，
点B经过的路径长
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质
【解析】【分析】 ①、延长AC到A1，使得A1C=2AC，延长BC到B1，使得B1C=2BC，Z则作出图形，从而可表示出A得坐标
②、利用网格特点和旋转的性质画出A、B对应的A2、B2从而得到图形
③、先计算出OB的长度，然后根据弧长公式计算出B经过得路径长
五、综合题
22．（2021九上·于洪期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△ ，点 的坐标是 ；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ ，使 ＝ ，点 坐标是 ．
【答案】（1）解：画图如下： 故答案为： （1，-3）；
（2）（-8，-4）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1）∵A（1，3），B（4，2），C（2，1），
∴关于x轴的对称点坐标分别为 （1，-3）， （4，-2）， （2，-1），
（2）∵原点O为位似中心， ＝ ，B（4，2），
画图如下：
∴ 的横坐标，纵坐标都扩大原来的2倍，分别为8，4，
∵ 在第三象限，
∴ （-8，-4）．
故答案为： （-8，-4）．
【分析】（1）根据轴对称的性质求出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点A1的坐标即可；
（2）根据位似图形的定义及=作出图形并直接写出点B2的坐标即可。
23．（2021九上·石家庄月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段 （点A，B的对应点分别为 ）.画出线段 ；
（2）将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 .画出线段 ；
（3）以 为顶点的四边形 的面积是 个平方单位.
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）20
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）结合网格特点易得四边形AA1 B1 A2是正方形，
AA1= ，
所以四边形AA1 B1 A2的面积为： =20，
故答案为20.
【分析】（1） 以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可得到线段 ；
（2） 将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 .画出线段 ；
（3）连接 ， 结合网格特点易得四边形AA1 B1 A2是正方形，进而得出其面积。
24．（2021·镇雄模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 、点 的坐标分别为 ， ．
（1）画出 绕点 顺时针旋转90°后的 ；
（2）以点 为位似中心，相似比为 ，在 轴的上方画出 放大后的△O″A″B；
（3）点 是 的中点，在（1）和（2）的条件下， 的对应点 的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图，△O′A′B即为所求；
（2）解：如图，△O″A″B即为所求；
（3）（2，7）
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）如图，∵点M是OA的中点，
∴M的对应点M′的坐标为（2，7）．
故答案为：（2，7）
【分析】（1）根据旋转的性质及网格特点，分别确定点A、O绕点 顺时针旋转90°后的对应点O′、A′的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别连接BO'、BA'并延长使BO''=2BO'，BA'=BA''，然后连接即得△O″A″B ；
（3）根据旋转的性质得出点M′为A''O''的中点，根据位置写出坐标即可.
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题11 位似
一、单选题
1．（2021九上·大东期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到对应的△A′B′O′．若点A的坐标是（﹣1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（4，﹣2） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4）
2．（2021九上·深圳期中）如图，△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'=2AA'，则△A'B'C'和△ABC的位似比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·高州期中）等边三角形OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 边长为6，且 与△ 关于点O成位似图形，且位似比为 ，则点 的坐标可能是（ ）
A． ， B． ， C． D．
4．（2021九上·平昌期中）如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为 1∶2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为( )
A．(－x，－y) B．(－2x，－2y)
C．(－2x，2y) D．(2x，－2y)
5．（2021九上·阳谷月考）如图，已知 ， ，以O为位似中心，把 缩小到原来的 ，则点E的对应点的坐标为是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
6．（2021九上·铁西月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）或（1，﹣2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）
7．（2021九上·太原月考）如图，原点在网格格点上的平面直角坐标系中，两个三角形（顶点均在网格的格点上）是以点 为位似中心的位似图形，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·温州月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD.若点C的坐标为（－1，－ ），则点A的坐标为（ ）
A．（ ，2） B．（2，3） C．（3， ） D．（3，2）
9．（2021九上·福州月考）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴的下方作△AOB的位似图形△ ，把△AOB的边长放大到原来的2倍，设点B的对应点 的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
10．（2021·婺城模拟）视力表用来测量一个人的视力.如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
二、填空题
11．（2021九上·长春期中）如图，在平面直角坐标中，正方形 与正方形 是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形 的边长为2，则点F的坐标为 ．
12．（2021九上·朝阳期中）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，则 ．
13．（2021九上·包头月考）如图，正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A'B'C'D'，则点C'的坐标为 ．
14．（2021九上·太原月考）如图，在 △ABC 中，点 A 的坐标为（ 3，6） ，以原点 O 为位似中心，将 △ABC 位似缩小后得到△ A＇B＇C＇ ．若 点 A＇的坐标为 （1，2），△ A＇B＇C＇的面积为 1，则 △ABC 的面积为 ．
15．（2021九上·山东月考）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是 ．
16．（2021九上·济南月考）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝9，则S△A′B′C′＝ ．
三、作图题
17．（2021九上·高州期中）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出△OB'C′；
（2）B点的对应点B'的坐标是 ；C点的对应点C′的坐标是 ．
18．（2021九上·宜兴期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）.
（1）在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与△ABC位似比为2的位似图形△A'B'C'；
（2）△A'B'C'的面积为 .
四、解答题
19．（2020九上·西城期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 ， ， ， 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， 为固定点， ， ，在点 ， 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 ，画图时固定点 ，控制点 处的笔尖沿图形 的轮廓线移动，此时点 处的画笔便画出了将图形 放大后的图形 ．
原理：
连接 ， ，可证得以下结论：
① 和 为等腰三角形，则 ， （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③ ，于是可得 ， ， 三点在一条直线上；
④当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
20．（2019九上·昌平期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）， B（﹣3，4），C（﹣2，6）;要求：以原点O为位似中心，画出将△ABC三条边放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
21．（2019·巴中）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
五、综合题
22．（2021九上·于洪期中）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△ ，点 的坐标是 ；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ ，使 ＝ ，点 坐标是 ．
23．（2021九上·石家庄月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段 （点A，B的对应点分别为 ）.画出线段 ；
（2）将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 .画出线段 ；
（3）以 为顶点的四边形 的面积是 个平方单位.
24．（2021·镇雄模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 、点 的坐标分别为 ， ．
（1）画出 绕点 顺时针旋转90°后的 ；
（2）以点 为位似中心，相似比为 ，在 轴的上方画出 放大后的△O″A″B；
（3）点 是 的中点，在（1）和（2）的条件下， 的对应点 的坐标为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意知，点A′的坐标为（2，-4）
故答案为：B．
【分析】根据位似三角形的性质求解即可。
2．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，
∴△A'B'C'和△ABC的位似比=OA′：OA，
∵OA'=2AA'，
∴OA′：OA=2：3，
即△A'B'C'和△ABC的位似比为2：3．
故答案为：D．
【分析】利用位似图形的性质求解即可.
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；位似变换
【解析】【解答】解：作 于C，
为等边三角形， ，
，
，
点A的坐标为 ， ，
与△ 关于点O成位似图形，且位似比为 ，
点 的坐标为 ， 或 ，即 ， 或 ，
故答案为：B．
【分析】作 于C，由等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出AC=，即得点A坐标，根据位似比的性质求出点的坐标即可.
4．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵P（x，y），相似比为1：2，点O为位似中心，
∴P′的坐标是（-2x，-2y）.
故答案为：B.
【分析】给点P的横、纵坐标分别乘以-2即可得到点P′的坐标.
5．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，以O为位似中心，把 缩小到原来的 ，
则 都符合题意，
且 为 中点，
由中心对称的性质可得：
故答案为：C
【分析】根据位似变换的性质求解即可以求出点E的对应点的坐标。
6．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵点A（-3，6）且相似比为 ，
∴点A的对应点A′的坐标是（-3× ，6× ）或（3× ，-6× ）
∴A′（-1，2）或（1，-2）.
故答案为：A
【分析】利用位似变换是以原点位位似中心，相似比位k，慢位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行求解即可。
7．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：分别连接 、 并延长交于点 ，
则点 为位似中心，
故答案为：A．
【分析】根据位似中心的概念作图，根据坐标与图象性质解答即可。
8．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：在第三象限内与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，相当于在第一象限内与△OCD的位似比为 的位似图形△OAB.
则以点O为位似中心，位似比为 ，
而点C的坐标为（-1，- ），
∴A点的对应点A的坐标为（3，2）.
故答案为：D.
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，如果位似图形对应点在原点的同一侧，那么位似图形对应点的坐标的比等于k；如果位似图形对应点在原点的两侧，那么位似图形对应点的坐标的比等于-k.
9．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：依题意，位似比为 ， 的坐标是（4，﹣2），
，即 .
故答案为：C.
【分析】平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，如果位似图形对应点在原点的同一侧，那么位似图形对应点的坐标的比等于k；如果位似图形对应点在原点的两侧，那么位似图形对应点的坐标的比等于-k据此即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故答案为：D.
【分析】根据位似变换的特点并结合题意可求解.
11．【答案】(9，6)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 正方形 与正方形 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
，
点坐标为： ，
故答案为： ．
【分析】根据位似图形的概念得出EF的长，进而得出OB的长，即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，
，
则 ，
故答案为 ．
【分析】利用位似图形的性质即可求解。
13．【答案】（2，1）或（0，-1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据题意，可知正方形 与正方形ABCD的位似比是 ，
则位似后的正方形的边长为1，
根据位似的定义，得位似后的正方形，如图所示：
故点 的坐标位（2，1）或（0，-1），
故答案为：（2，1）或（0，-1）．
【分析】以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，作正方形A'B'C'D'，根据图形写出点C'的坐标即可。
14．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】 点 A 的坐标为（ 3，6），点 A＇ 的坐标为 （1，2）
△ABC与△ A＇B＇C＇的相似比为
△ A＇B＇C＇ 的面积为 1，
△ABC 的面积为9
故答案为：9
【分析】利用对应点坐标的变化即可得出相似比；利用位似图形面积之比等于相似比的平方即可得出答案。
15．【答案】（-2，1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：设点B的坐标为（x，y），
∵点B的对应点B′的坐标是（4，-2），
∴根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，
∴点B的坐标为（-2，1）．
故填（-2，1）．
【分析】设点B的坐标为（x，y），根据位似变换的坐标特点得到-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，由此求得点B的坐标。
16．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′．
可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，
又S△ABC=9，
∴S△A'B'C′= ．
故答案为： ．
【分析】△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA=2AA′可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方。
17．【答案】（1）解：如图所示：△OB'C′，即为所求；
（2）（﹣6，2）；（﹣4，﹣2）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）B点的对应点B'的坐标是（﹣6，2）；
C点的对应点C′的坐标是（﹣4，﹣2）．
【分析】（1）延长BO到B'，使OB'=2OB，同理求出点C'，然后顺次连接即可得到△OB'C'；
（2）根据（1）作图即可得出B'、C'坐标.
18．【答案】（1）
（2）6
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2） ，
由（1）可得△ABC∽△A'B'C'且相似比为
∴ ，
∴△A'B'C'的面积＝ =6.
【分析】（1）分别连接AO、BO、CO并延长，使C′O=2CO，B′O=2BO，A′O=2AO，然后顺次连接即可；
（2）首先根据正方形、三角形的面积公式以及面积间的和差关系求出△ABC的面积，然后根据相似三角形的性质进行求解.
19．【答案】解：连接 ， ，如图，
①∵ ，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ ，∠
∴∠ ，∠
②∵ ，
∴四边形 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴ ， ， 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： ，
又 ，且
∴
即：当 时，图形 是以点 为位似中心，把图形 放大为原来的 倍得到的．
故答案为： ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】位似变换
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得，再将数据代入计算即可。
20．【答案】解：如图，
延长OA到A1使O A1=2OA，则点A1为A点的对应点，同样方法作出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△A1B1C1．（或延长AO到A1使O A1=2OA，则点A1为A点的对应点，同样方法作出点B、C的对应点B1、C1，从而在第四象限画出△A1B1C1．）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】由对应点坐标先画出△ABC，再由位似三角形的性质，即可画出△A1B1C1．
21．【答案】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③ ，
点B经过的路径长
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质
【解析】【分析】 ①、延长AC到A1，使得A1C=2AC，延长BC到B1，使得B1C=2BC，Z则作出图形，从而可表示出A得坐标
②、利用网格特点和旋转的性质画出A、B对应的A2、B2从而得到图形
③、先计算出OB的长度，然后根据弧长公式计算出B经过得路径长
22．【答案】（1）解：画图如下： 故答案为： （1，-3）；
（2）（-8，-4）
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1）∵A（1，3），B（4，2），C（2，1），
∴关于x轴的对称点坐标分别为 （1，-3）， （4，-2）， （2，-1），
（2）∵原点O为位似中心， ＝ ，B（4，2），
画图如下：
∴ 的横坐标，纵坐标都扩大原来的2倍，分别为8，4，
∵ 在第三象限，
∴ （-8，-4）．
故答案为： （-8，-4）．
【分析】（1）根据轴对称的性质求出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点A1的坐标即可；
（2）根据位似图形的定义及=作出图形并直接写出点B2的坐标即可。
23．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）20
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）结合网格特点易得四边形AA1 B1 A2是正方形，
AA1= ，
所以四边形AA1 B1 A2的面积为： =20，
故答案为20.
【分析】（1） 以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可得到线段 ；
（2） 将线段 绕点 逆时针旋转90°得到线段 .画出线段 ；
（3）连接 ， 结合网格特点易得四边形AA1 B1 A2是正方形，进而得出其面积。
24．【答案】（1）解：如图，△O′A′B即为所求；
（2）解：如图，△O″A″B即为所求；
（3）（2，7）
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）如图，∵点M是OA的中点，
∴M的对应点M′的坐标为（2，7）．
故答案为：（2，7）
【分析】（1）根据旋转的性质及网格特点，分别确定点A、O绕点 顺时针旋转90°后的对应点O′、A′的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别连接BO'、BA'并延长使BO''=2BO'，BA'=BA''，然后连接即得△O″A″B ；
（3）根据旋转的性质得出点M′为A''O''的中点，根据位置写出坐标即可.
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