湖南省衡阳市第一高级中学校2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版含答案）

数学试卷
注意事项：本试卷满分为 150 分，时量为 120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 M={1,2,3,4},集合 N={2,3,4,5}，则 M ∩ N的子集个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若 , ∈ ,且 + > 2，则 , 至少有 1个大于 1
B. ∈ ，2 < 2
C. + = 0 的充要条件是 = 1

D. 若“ ∈ , 2 + 1 < 0”的否定是“ ∈ ， 2 + 1 > 0”
3. 下列函数为奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A. 2 1 1 ( ) = 3 B. ( ) = + 3 C. ( ) = + D. ( ) = 2 2
4．设 > 0，且 1 < < （ ）
A．0 < < < 1 B．0 < < < 1 C．1< < D．1 < <
5．已知函数 f (x) 2x2 kx 8在[-2，1]上具有单调性，则实数 的取值范围是（ ）
A. ≤ 8 B. ≥ 4 C. 8 ≤ ≤ 4 D. ≤ 8或 ≥ 4
≠ 0 = 2 + ( < 1)6．已知实数， 函数 2 ( ≥ 1)，若 1 = 1 + ,则 的值为（）
A 1 1 C 3 3．
6 B．- ． D．6 4 4
7.如图(1)是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差) y与乘客量 x之间关系的图象.由
于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图(2)(3)所示.
则下列说法中，正确的是
A.图(2)的建议是：提高成本，并保持票价不变
B.图(2)的建议是：提高成本，并提高票价
C.图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变
D.图(3)的建议是：提高票价，并降低成本
0 < < 1 18．已知 ,则 + 2 的最小值为.（）
2 1
9
A 5．9 B． C．5 D．2 2
`
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9．若函数 ( )是定义在 R上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A． (0) = 0
B．若 ( )在[0, + ∞)上有最小值 1，则 ( )在( ∞，0]上有最大值 1
C．若 ( )在[1,+∞)上单调递增，则 ( )在( ∞, 1]上单调递减
D．若函数 ( ) = [ ( )]2 + | ( )|，则 ( )为偶函数
10．给出下面四个推断，其中正确的是（ ）
A．若 < 0，且 < 0 1，则 + ≥ 2 B．若 , b ∈ R,且 + = 1,则 ≤ 4
C．若 > 1, 1则 + ≥ 3 D．若 , b ∈ R+，则
2+ 2
1 ≤
+
2 2
1 为有理数
11．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 ( ) = ，称为狄利克雷函数，则关
0 为无理数
于函数 f(x)有（ ）
A．函数 y=f(x)的图像是两条直线
B． [ ( )] = 1
C． ( 3) > (1)
D． ∈ ，都有 (1 ) = (2 + )

12．已知函数 ( ) = 2 1 ，则下列说法正确的是为（ ）2 +1
A． ( )的图像关于原点对称
B． ( ) ( ) = 0
C． ( )的值域为( 1,1)
( ) ( )
D． 1， 2 ∈ ,且 1 ≠
1 2
2,则 < 0 恒成立1 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
5
13．计算： + 2 2 ( 1 ) 1 + 20 =__________.
2 2
14． ( ) = 5 + 3 + 2,且 ( 5) = 16，则 (5) =__________.
( ) 0 + ∞ (1) = 0, ( )+ ( )15．若函数 为偶函数且在（ ， ）上单调递减，又 则 < 0的解集为_________.2
2
16．设函数 ( ) = 1 | |+2 2，若 ( ) ≥ ( 2 + 4)恒成立，则实数 的取值范围是_________.1+
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
17．（本小题满分 10 分）设全集 U=R，已知集合 = { |2 ≤ 2 ≤ 8}. = { | = } 2 .
（1）求 ∪ ，( ) ∩ .
（2）已知非空集合 = { |1 < < }，且 C ∩ A = C，求实数 的取值范围.
18．（本小题满分 12分）已知函数 ( ) = 2 + 1， ∈
（1）求使 f( ) < 0时 x的取值集合.
（2）命题 p：“对 ∈ [2,3]，都有 ( ) ≤ 0”，若命题 p为真命题，求实数 a的取值范围
19．（本小题满分 12 分）已知幂函数 ( ) = 2 2+ +3（ ∈ ）是偶函数，且 (1) < (2).
（1）求 ( )的表达式
（2）若函数 ( ) = ( ) + ( ) 在[1,2]与 轴有交点，求实数 的取值范围．
20．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) = + （其中 > 0 且 ≠ 1），其中 , 为实数.
（1）若函数 ( )的图像过点 A（0,2），B（1,3）.求 ( ) = (2 ) ( )的值域；
（2）若函数 ( )的定义域和值域都是[0,1]，求 + 的值
21．（本小题满分 12 分）十九大指出中国的电动车汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽油车、柴油车，
中国正在大力实施一项重塑全球汽车行业的计划，目前各种新能源电动汽车已进入各大车行.2021 年某企业计划引
进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 2500 万元，每生产 x（百辆），需另投入成本 C（x）
10 2 + 100 , 0 < < 40
万元，且 ( ) = 501 + 10000 4500, ≥ 40．

由市场调研知，每辆车售价 5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出 2021 年的利润 L（x）（万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2021 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
x x
22.（本小题满分 12 分）定义函数 fa x 4 a 1 2 a，其中 x为自变量， a为常数．
（Ⅰ）若函数 fa x 在区间 0,2 上的最小值为 1，求 a的值；
（Ⅱ）集合 A x f3 x fa 0 ， B x f a x f a 2 x f 2 2 ，且 RA B ，求 a的取值范围．
数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A B D D A C B ABD ABC BD AC
13.0 14. 12 15. ( 1,0) ∪ (1, + ∞) 16.[-4,4]
17.解：（1）A = [1,3]，B = (2, + ∞)，CUB = ( ∞, 2]···································3分
A ∪ B = [1, + ∞)，(CUB) ∩ A = [1,2] ·················································5分
（2）∵C∩A=A
∴C为 A > 1的子集，故 ≤ 3 解得 ∈ (1,3] ············································10分
18.解：（1） ( ) = ( 1)( ( 1)) < 0
①当 = 2时，（ 1）( 1) < 0 解为 ············································2分
②当 > 2时，( 1)( ( 1)) < 0 解得 ∈ (1, 1)································4分
③当 < 2时，( 1)( ( 1)) < 0 解得 ∈ ( 1,1)································6分
(2) ≤ 0
2 3 ≤ 0（ ）若命题 p为真命题，则有 (3) ≤ 0 即 8 2 ≤ 0··································9分
解得 ∈ [4, + ∞)··································································12分
19.解：（1）对幂函数 ( )，有 (1) < (2)
故 ( )在(0, + ∞)单调递增，所以 2 2 + + 3 > 0·····································2分
3
解得 ∈ ( 1, )，所以 = 0或 1···················································4分
2
当 = 0时， ( ) = 3，此时 ( )为奇函数，舍去.······································5分
当 = 0时， ( ) = 2，此时 ( )为偶函数，满足题意.
故 ( ) = 2········································································6分
（2） ( ) = 2 + | | ，问题转化为 ( ) = 0在 ∈ [1,2]有解
故 2 + | | = 在 ∈ [1,2]有解.·······················································7分
另 ( ) = 2 + | |
所以 ∈ ( )在[1,2]的值域，即求 ( )在[1,2]的值域····································8分
( ) = 2 + = ( + 1 )2 1························································9分
2 4
当 = 1时，有最小值 2；当 = 2 时，有最大值 6·····································11分
所以 ( ) ∈ [2,6]，即 ∈ [2,6]·······················································12分
20.解：（1）∵y = f(x)的图像经过点 A(0,2)，B(1,3).
2 = + 1
∴ 3 = + 解得 = 2， = 1······················································2分
故 ( ) = 2 + 1
即 ( ) = (2 ) ( ) = 22 2 ····················································3分
即 ( ) = (2 1 )2 1 ·····························································4分
2 4
所以 ( ) ∈ [ 1 , + ∞) ·····························································6分
4
（2）①当 > 1时， ( )在[0,1]上单调递增············································7分
(0) = 0 1 + = 0
∴ (1) = 1 即 + = 1 解得 = 2, = 1·········································9分
∴ + = 1·······································································10分
②当 0 < < 1时， ( )在[0,1]上单调递减
(0) = 1 1 + = 1
∴ (1) = 0 即 + = 0 解得 = 0, = 0 （舍去）··································12分
综上 + = 1
21.解：（1）①当 0 < < 40时， ( ) = 500 10 2 100 2500 = 10 2 + 400 2500·2分
②当 ≥ 40时， ( ) = 500 501 10000 + 4500 2500 = 2000 + ( 10000 )··········4分

10 2 + 400 2500 ( ∈ (0,40))
∴ ( ) =
2000 ( + 10000 ) ( ∈ [40, + ∞))
···········································5分

（2）①当 0 < < 40时， ( ) = 10( 20)2 + 1500··································6分
当 = 20时， ( ) = (20) = 1500·················································8分
②当 x≥ 40 10000时，L(x)=2000-(x+ ) ≤ 2000 200 = 1800·······························10分

当且仅当 = 100时等号成立·························································11分
∵1800> 1500
∴当生产 100（百）辆时，利润最大.··················································12分
22.解：（Ⅰ x）因为 x 0,2 ，令 t 2 1,4 ，则 g t fa x t 2 a 1 t a．
a 1
①若 1，即 a 1，则函数 y g t 在 1,4 上为增函数， g t min g 1 0，矛盾；····················22 分
a 1
②若 4，即a 7，则函数 y g t 在 1,4 上为减函数， g 4 g t 12 3a 1 13min ，解得 a ，矛盾 42 分3
a 1 y g t 1, a 1 a 1 ③若1 4，即1 a 7，则函数 在 上为减函数，在 , 4 上为增函数，············62 2 分 2
g t g a 1 a 1
2

min 2
1，解得 a 3或 a 1（舍）；
2
综上所述， a 3；
（Ⅱ）由已知 A x f3 x fa 0 x 4x 4 2x 3 0 x 2x 1 2x 3 0 ，··························7分
x
所以， U A x 2 1 2x 3 0 x 1 2x 3 0, log2 3 ，··········································8分
由 fa x fa 2 x f2 2 化简整理得 4x 42 x 1 a 2x 22 x 2a 6，
2
即 2x 22 x 14 1 a 2x 22 x 2a 0，
令 s 2x
4
22 x 2 2x 2 ， x 0, log x 2 x
2x 2
3 ，则 2 2 s 2，
当 x 0, log x2 3 时，令 t 2 1,3 ，
4
由双勾函数的单调性可知，函数 h t t 2在区间 1,2 上单调递减，在 2,3 上单调递增，
t
h t h 2 2，又 h 1 3， h 3 7 ，则 2 h t 3min ，即 2 s 3，·······························93 分
2 12
所以， s 2 14 1 a s 2 2a 0 ，整理得 s2 3s 12 as，此时 a s 3，s
由 12U A B 知， a s 3在 s 2,3 上有解，···············································10s 分
又 s s 12 3在 2,3 上是增函数，可得 s 1, 2 ，
s
因此，实数 a的取值范围为 1,2 ．······························································12分