9.在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度 15°的看台上，同一列上的第一排
亳州五中 2021- 2022 和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第一排和最后一排的距离为 9 6米 (如图所示学年第一学期高二年级 )，则旗杆的高度为 （ ）
A. 9米
数学期中试卷 B. 27米
C. 9 3米
注意事项：
D. 9 6米
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题 10.函数 f(x) = sin2x- cosx在 0,π 内的零点个数为 （ ）
卡上的非答题区域均无效。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域
均无效。 11.已知ω> 0， π < 2，函数 f x = sin ωx+ φ 的部分图象如图所示，为了得到函数 g x = sinωx
的图象，只要将 f x 的图象 （ ）
第 I卷 (选择题 共 60分 )
A.向右平移 π4 个单位长度
一、单选题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 B.向右平移
π
8 个单位长度
要求的． C.向左平移 π4 个单位长度
1.已知全集U ={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则CU A∪B = （ ） D.向左平移 π8 个单位长度
A. {1，3，4} B. {3，4} C. 3 D. 4
12.在长方体ABCD-A
+ 1
B1C1D1中，AB= 2，BB1= 2 2，AC1与平面ABCD所成的角为 45 ，则直线
2.已知 i是虚数单位，则复数 4 2i1- i 等于 （ ） CD1与BC1所成角的余弦值为 （ ）
A. 2+ i B. 2- i C. 1- 3i D. 1+ 3i A. 1 B. 2 C. 2 D. 63 3 2 3
3.在平面直角坐标系 xOy中，角 α以 x轴的非负半轴为始边，且点P -1, 2 在角 α的终边上，则
cosα= （ ）
A.- 3 B. 3 C.- 6 6 第 II卷 (非选择题 共 90分 )3 3 3 D. 3
4.下列函数中，是奇函数且在 0, +∞ 上为增函数的是 （ ） 二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
A. f x 1 =- x B. f x = x C. f x = x D. f x = x+ 3 13.命题“存在 x ∈R，使得 x
2+ 2x+ 5= 0”的否定是 ．
5. 14.某班共有学生 40人，将一次数学考试成绩 (单位：分 )绘制成频率分布直方图，如图所示，则成绩不解关于 x的不等式 x+ 23x- 1 ≤ 0，所得的解集为 （ ） 低于 80分的人数有 人．
A. 1 - 2，3 B.
-2，
1
3 C. -∞，-2 D.
1
-∞，-2 ∪ 3，+∞
6.若 a= log 0.320.3,b= 2 ,c= 0.32，则 a，b，c的大小关系是 （ ）
A. b> c> a B. c> b> a C. c> a> b D. b> a> c
7. a
若 = (2,1)，b= (-1,2)，(2a + b) (a -mb)，则m= （ ）
A.- 1 B. 12 2 C. 2 D.- 2
8.若 tanα= 1 ，则 sinα+ cosα3 sinα- cosα 的值为 （ ） 15.已知函数 f(x) = 2(m+ 1)x2+ 4mx+ 2m- 1有两个零点，则实数m的取值范围是 .
A. 2 B.- 2 C. 1 D.- 1 16.如图是正方体平面展开图，在这个正方体中
第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页
(1)BM ED； 20.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N 分别为AB、PC的中点；
(2)CN 和BE是异面直线； (1)求证：MN 平面PAD；
(3)CN 和BM 成 60°角； (2)若∠PDA= 45 ，求证：MN ⊥平面PCD．
(4)DM ⊥BN
以上四个命中正确的序号是 ．
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知 a= 1,2 ，b= -3,1
(1) 求 a- 2b 以及 a，b的夹角 θ的余弦值
(2) a 若向量 + kb 与 a- kb互相垂直，求 k的值 .
sin -α π cos π+ α cos - α 21.有编号为 2,3的两个红球，编号为 2,3,4的三个黑球，这五个球的形状和大小完全相同，现从中任意
18（. 1）已知 f α = 2 .cos π- α sin 2π+ α 取出两个球 . tan π+ α
（1）化简 f α ； (1)求取出的两个球颜色不同的概率；
（2）若角 α的终边在第二象限且 sinα= 3 f α (2)求取出的两个球的编号之和不为 6的概率 .5，求 ．
22.已知 a = (2sinx,1)，b= (cosx- sinx,1)，函数 f(x) = a b．
19.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且 3a= 2csinA.
(1)求 f(x)的最小正周期和单调减区间；
(1)求角C的大小；
(2)求 f(x)在区间 - π , 3π 上的最大值．
(2)若 c= 7，且△ABC的面积为 3 32 ，求 a+ b的值 .
8 8
第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页亳州五中 2021- 2022学年第一学期高二年级
数学期中试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指
定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非
答题区域均无效。
第 I卷 (选择题 共 60分 )
一、单选题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.已知全集U ={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则CU A∪B = （ ）
A. {1，3，4} B. {3，4} C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】全集U = 1,2,3,4 ，A= 1,2 ，B= 2,3 ，可得A∪B={1，2，3}，所以CU A∪B = 4 .
2.已知 i是虚数单位，则复数 4+ 2i1- i 等于 （ ）
A. 2+ i B. 2- i C. 1- 3i D. 1+ 3i
【答案】D
(4+ 2i) (1+ i)
【解析】由题意，4+ 2i1- i = ( - ) ( + ) = (2+ i) (1+ i) = 2+ 2i+ i- 1= 1+ 3i1 i 1 i
3.在平面直角坐标系 xOy中，角 α以 x轴的非负半轴为始边，且点P -1, 2 在角 α的终边
上，则 cosα= （ ）
A.- 3 B. 33 3 C.-
6
3 D.
6
3
【答案】A
【解析】因为P( -1， 2)，所以OP= 3由角 α的余弦值的定义可得 cosα=- 1 =- 3 ，
3 3
4.下列函数中，是奇函数且在 0, +∞ 上为增函数的是 （ ）
A. f 1 x =- x B. f x = x C. f x = x D. f x = x+ 3
【答案】A
【解析】对于A，定义域为 x x≠ 0 ，因为 f -x =- 1 1-x = x =-f x ，所以函数是奇函数，任取 x1,x2∈ (0,
+∞) < ( )- ( )=- 1 + 1 = x，且 x x ，则 f x f x 2- x11 2 2 1 x x x x ，因为 x1,x2∈ (0, +∞)，且 x1< x2，所以 f(x2) -2 1 1 2
f(x1)> 0，即 f(x2)> f(x1)，所以 f(x)在 0, +∞ 上为增函数，所以A正确，
对于B，因为定义域为 x x≥ 0 ，所以函数 f(x)为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为定义域为R，因为 f -x = -x = x = f x ，所以 f(x)为偶函数，所以C错误，
第 1 页 共 7 页
对于D，因为定义域为R，因为 f -x =-x+ 3≠ f(x) ≠-f(x)，所以函数 f(x)为非奇非偶函数，所以
D错误，
5.解关于 x的不等式 x+ 23x- 1 ≤ 0，所得的解集为 （ ）
A. 1 1 - 2，3 B. -2，3 C. -∞，-2 D. -∞，-2 ∪
1
3，+∞
【答案】B
-2≤ x≤ 1 3x- 1 x+ 2 ≤ 0
根据题意，原不等式可化为： 解得 3【解析】 3x- 1≠ 0 x≠ 13
所以原不等式的解集为 -2, 1 3 ，选项B正确 .
6.若 a= log20.3,b= 20.3,c= 0.32，则 a，b，c的大小关系是 （ ）
A. b> c> a B. c> b> a C. c> a> b D. b> a> c
【答案】A
【解析】解：∵ y= log2x是增函数∴ a= log20.3< log21= 0，∵ y= 2
x是增函数 .∴ b= 20.3> 20= 1，
又∵ c= 0.32= 0.09∴ 0< c< 1，∴ b> c> a.
7.若 a= (2,1)，b= (-1,2)，(2a + b) (a -mb)，则m= （ ）
A.- 12 B.
1
2 C. 2 D.- 2
【答案】A
【解析】因为 a= (2,1)，b= (-1,2)，所以 2a + b= 3,4
，a-mb= 2+m,1- 2m ，因为 (2a
+ b) (a -
mb)，所以 3 1- 2m = 4 2+m ，解得m=- 12
8.若 tanα= 13，则
sinα+ cosα
sinα- cosα 的值为 （ ）
A. 2 B.- 2 C. 1 D.- 1
【答案】B
【解析】因为 tanα= 1 ，所以 sinα+ cosα tanα+ 13 sinα- cosα = tanα- 1 =-2，
9.在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度 15°的看台上，同一列上的第
一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第一排和最后一排的距离为 9 6米
(如图所示 )，则旗杆的高度为 （ ）
A. 9米
B. 27米
C. 9 3米
D. 9 6米
【答案】B
【解析】依题意可知∠AEC = 45°， ∠CAE= 180° - 60° - 15° = 105°，
∴∠ACE= 180° - 45° - 105° = 30°，由正弦定理可知 AE ACsin∠ACE = sin∠AEC ，
∴AC = AEsin∠ACE sin∠AEC = 18 3米，
∴在Rt△ABC中，BC =AC sin∠CAB= 18 3 × 32 = 27米 .
10.函数 f(x) = sin2x- cosx在 0,π 内的零点个数为 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第 2 页 共 7 页
【答案】D
【解析】由 f x = sin2x- cosx= cosx 2sinx- 1 = 0及 x ∈ (0,π)，解得 x= π，π，5π2 6 6 ，所以函数 f x 在
(0,π)内有 3个零点 .
11.已知ω> 0， < π 2，函数 f x = sin ωx+ φ 的部分图象如图所示，为了得到函数 g x =
sinωx的图象，只要将 f x 的图象 （ ）
A.向右平移 π4 个单位长度
B.向右平移 π8 个单位长度
C.向左平移 π4 个单位长度
D.向左平移 π8 个单位长度
【答案】B
【解析】由图可得：T = 5π4 8 -
3π
8 =
π
4 ，所以T = π=
2π
ω ，可得ω= 2，所以 f x = sin 2x+ φ ，
令 2× 5π8 + φ=
3π
2 + 2kπ k ∈ Z ，所以 φ=
π
4 + 2kπ k ∈ Z ，因为 <
π
2 ，所以 k= 0，φ=
π
4 ，
所以 f x = sin 2x+ π4 ，g x = sin2x，为了得到函数 g x = sin2x的图象，
将 f x = sin 2x+ π 4 = sin2 x+
π π
8 的图象向右平移 8 个单位长度，
可得 y= sin2 x+ π - π8 8 = sin2x= g x ，
12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= 2，BB1= 2 2，AC1与平面ABCD所成的角为 45 ，
则直线CD1与BC1所成角的余弦值为 （ ）
A. 13 B.
2
3 C.
2 6
2 D. 3
【答案】B
【解析】连接AC，A1B，A1C1，∵CC1⊥平面ABCD，∴∠CAC1即为AC1与平面ABCD所成的角，即
∠CAC1= 45 ，∵CC1⊥AC，∴△ACC1为等腰直角三角形，∴AC =CC1=BB1= 2 2，
∵AB= 2，∴BC = 2，
由长方体的性质知：A1D1 BC，A1D1=BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，
∴CD1 A1B，
∴∠A1BC1或其补角是直线CD1与BC1所成的角，
由勾股定理知，A1B=C1B= BC 2+CC 2 21 = 2 + 2 2 2 = 2 3，
A B2△ +BC
2-A C 2
在 A1BC1中，由余弦定理知，cos∠A BC 1 1 1 1 12+ 12- 8 21 1= 2A1B BC = =1 2× 2 3 × 2 3 3
，
∴直线CD1与BC 21所成角的余弦值为 3 ，
第 3 页 共 7 页
第 II卷 (非选择题 共 90分 )
二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13.命题“存在 x ∈R，使得 x2+ 2x+ 5= 0”的否定是 ．
【答案】对任何 x ∈R，都有 x2+ 2x+ 5≠ 0．
【解析】因为命题“存在 x ∈R，使得 x2+ 2x+ 5= 0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，
可得命题的否定为：对任何 x ∈R，都有 x2+ 2x+ 5≠ 0．
故答案为对任何 x ∈R，都有 x2+ 2x+ 5≠ 0．
14.某班共有学生 40人，将一次数学考试成绩 (单位：分 )绘制成频率分布直方图，如图所示，则
成绩不低于 80分的人数有 人．
【答案】15
【解析】由频率分布直方图的频率和为 1，可得：0.005× 10+ 0.0225× 10+ a× 10+ 0.035× 10+ 0.0075×
10= 1，解得：a= 0.030.故成绩不低于 80分的人的频率为 0.030× 10+ 0.0075× 10= 0.375，
所以成绩不低于 80分的人数有 0.375× 40= 15.
15.已知函数 f(x) = 2(m+ 1)x2+ 4mx+ 2m- 1有两个零
点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】 -∞,- 1 ∪ -1,1
【解析】∵函数 f(x) = 2(m+ 1)x2+ 4mx+ 2m- 1有两个零点
∴关于 x的方程 2(m+ 1)x2+ 4mx+ 2m- 1= 0有两个不同的实数根
∴ 2(m+ 1) ≠ 0 Δ= 16m2- 8(m+ 1) ( - )> ，解得m< 1且m≠-12m 1 0
∴实数m的取值范围是 -∞,- 1 ∪ -1,1 ．
16.如图是正方体平面展开图，在这个正方体中
(1)BM ED；
(2)CN 和BE是异面直线；
(3)CN 和BM 成 60°角；
(4)DM ⊥BN
第 4 页 共 7 页
以上四个命中正确的序号是 ．
【答案】(3) (4)
【解析】把平面展开图还原原几何体如图：
由正方体的性质可知，BM 与ED异面且垂直，故①错误；CN 与BE平行，故②错误；
连接BE，则BE CN，∠EBM 为CN 与BM 所成角，连接EM，可知△BEM 为正三角形，则∠EBM
= 60°，故③正确；∵BN 在平面NDCM 上的投影为CN，可得DM 与BN 垂直，故④正确．∴正确命
题的个数是 2个．
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知 a= 1,2 ，b= -3,1
(1) 求 a- 2b 以及 a，b的夹角 θ的余弦值
(2) a 若向量 + kb a 与 - kb互相垂直，求 k的值 .
【答案】(1) 7，0 2 ；(2) - 10 ；(3)k=±
2
2
.
【解析】(1)a - 2b= 1,2 - 2 -3,1 = 7,0 ；
cosθ= a
b 1× -3 + 2× 1 2
a
= =- ；
b 1+ 4 9+ 1 10
(3) a 因为向量 + kb a 与 - kb互相垂直，
所以 a+ kb a - kb = 0 a ，即 2- k2b2= 0，
因为 a2= 5,b2= 10，所以 5- 10k2= 0，解得 k=± 22 ．
sin -α cos π+ α cos π - α
18（. 1）已知 f α = 2cos π-
.
α sin 2π+ α tan π+ α
（1）化简 f α ；
（2）若角 α的终边在第二象限且 sinα= 35，求 f α ．
【答案】【答案】 1 - cos α; 4 2 5
19.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且 3a= 2csinA.
(1)求角C的大小；
(2)若 c= 7，且△ABC的面积为 3 32 ，求 a+ b的值 .
【答案】(1) π3；(2)5.
【解析】(1)由正弦定理边化角得 3sinA= 2sinCsinA，
因为A ∈ (0,π)，所以 sinA≠ 0，
所以 3= 2sinC，即 sinC = 32 ，
因为C ∈ 0, π ，所以C = π2 3 .
(2)因为S= 12 absinC =
3 3 3
4 ab= 2 ，
第 5 页 共 7 页
所以 ab= 6，
a2+ b2- c2= = (a+ b)
2- 2ab- 7
又 cosC 12ab 2ab = 2 ，
所以 (a+ b)2= 25，即 a+ b= 5.
20.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N 分别为AB、PC的中点；
(1)求证：MN 平面PAD；
(2)若∠PDA= 45 ，求证：MN ⊥平面PCD．
【解析】(1)取PD中点E，连接EN ,EA，矩形ABCD，M、N 分别为AB、PC的中点，
NE CD,NE= 12 CD，所以NE AM ,NE=AM，
所以四边形AMNE是平行四边形，MN AE，MN 平面PAD，
AE 平面PAD，所以MN 平面PAD；
(2)PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD，∠PDA= 45 ，则△PDA为等腰直角三角
形，PD=AD，所以AE⊥PD，PA⊥AB，BA⊥AD，PA，AD，是平面PAD内两条相交直线，
所以BA⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以BA⊥AE，CD⊥AE
CD，PD，是平面PCD内两条相交直线，所以AE⊥平面PCD，
由 (1)MN AE，所以MN ⊥平面PCD，
21.有编号为 2,3的两个红球，编号为 2,3,4的三个黑球，这五个球的形状和大小完全相同，现从
中任意取出两个球 .
(1)求取出的两个球颜色不同的概率；
(2)求取出的两个球的编号之和不为 6的概率 .
【答案】(1) 3 75；(2) 10 .
【解析】从五个球中任取两个球的基本事件有：红 2红 3,黑 2黑 3，黑 3黑 4，黑 2黑 4，红 2黑 2，红 2黑 3，
红 2黑 4，红 3黑 2，红 3黑 3，红 3黑 4，共 10种取法
(1)记“取出的两个球颜色不同”为事件A，有：红 2黑 2，红 2黑 3，红 2黑 4，红 3黑 2，红 3黑 3，红 3黑
4，共 6种，∴P 3 3 A = 10 = 5
(2)记“取出的两个球的编号之和为 6”为事件B，有：黑 2黑 4，红 2黑 4，红 3黑 3，
∴P B = 3 10
记“取出的两个球的编号之和不为 6”为事件C，事件B与事件C为对立事件，
第 6 页 共 7 页
∴P C = 1-P B = 1- 3 710 = 10
22. 已知 a= (2sinx,1)，b= (cosx- sinx,1)，函数 f(x) = a b．
(1)求 f(x)的最小正周期和单调减区间；
(2)求 f(x)在区间 - π , 3π 8 8 上的最大值．
【答案】(1)π；(2)单调递减区间为 kπ+ π 8 ,kπ+
5π
8
，k ∈ Z；(3) 2．
【解析】(1)由 f(x) = a b= 2sinx(cosx- sinx) + 1= 2sinxcosx- 2sin2x+ 1= sin2x+ cos2x=
2sin 2x+ π4 ，T =
2π
2 = π，所以 f(x)的最小正周期为 π．
要求 f(x)的单调减区间，只需 2kπ+ π2 ≤ 2x+
π
4 ≤ 2kπ+
3π
2 ，k ∈ Z，
解得 kπ+ π8 ≤ x≤ kπ+
5π
8 ，k ∈ Z，
所以 f(x)的单调递减区间为 π 5π kπ+ 8 ,kπ+ 8 ，k ∈ Z．
(2)因为 x ∈ - π，3π ，所以 2x ∈ - π，3π 8 8 4 4 ，所以 2x+
π
4 ∈ [0，π]，
当 2x+ π4 =
π
2 ，即 x=
π
8 时，f(x)在区间
-
π 3π
8 ，8 上的最大值为 2．
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