安徽省亳州市第五完全中学2022届高三上学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案解析）

亳州市第五完全中学2021-2022学年度第一学期高三理科数学期中试卷
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在R是奇函数，当时，， 则 的值（ ）
A．5 B．-5 C．9 D．-9
5．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．以下四个选项中的函数，其部分函数图象最适合如图的是( )
A． B．
C． D．
7．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．若，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
10．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知偶函数在单调递减，若，则满足的的取值范围是________.
14．设，若，则=_________.
15．定义集合 的一种运算：，若，，则___________.
16．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则________.
三、解答题：第17题10分，第18-22题每题12分，共70分。
17．已知函数.
（1）（5分）求不等式的解集；
（2）（5分）求函数在区间上的最大值和最小值.
18．已知函数的定义域为，函数的值域为.
（1）（6分）当时，求.
（2）（6分）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19．已知在时有极值0.
（1（6分））求常数，的值；
（2）（6分）求在区间上的最值.
20．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
（1）（6分） 当a=0时，求f(x)在点 (－1，-2)处的切线方程.
（2）（6分）若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.
21．已知函数.
（1）（6分）若f(x)在x=1处有极值，求实数a的值；
（2）（6分）若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.
22．已知函数.
（1）（6分）讨论的单调性；
（2）（6分）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
2021-2022学年度第一学期高三理科数学期中试卷
考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据全称命题和特称命题的否定：变量词否结论即可求解.
【详解】
命题，则为：，
故选：A.
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用并集的定义可求得集合．
【详解】
已知集合，，
因此，．
故选：A．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0及分母不等于0，列出不等式，即可求解.
【详解】
要使函数有意义，则，解得.
所以函数的定义域为.
故选：B.
4．已知函数在R是奇函数，当时，， 则 的值（ ）
A．5 B．-5 C．9 D．-9
【答案】B
【分析】
根据函数在R是奇函数，可得，即可得出答案.
【详解】
解：因为函数在R是奇函数，
所以.
故选：B.
5．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出集合和集合，再根据集合的交集运算，即可得解.
【详解】
∵集合，
∴，
∴
故选：D.
6．以下四个选项中的函数，其部分函数图象最适合如图的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据图像的对称性可知函数为奇函数，可排除A；对于选项B：根据函数在内的零点个数即可判断是否正确；对于选项C：利用导函数求函数单调性并判断零点个数即可求解；对于选项D：当，且时，判断函数值的符号即可求解.
【详解】
由函数奇偶性可知，选项A为非奇非偶函数，选项B为奇函数，选项C为奇函数，选项D为奇函数.
由图像可知，函数图像关于原点对称，故函数为奇函数，故A错误；
对于选项B：因为在内有两个零点，
所以在内有两个零点，故B错误；
对于选项C：因为，易得在上单调递增，在上单调递减，利用零点存在的基本定理，在上只有一个零点，
故C符合图像；
对于选项D：，
当，且时，可知，故D错误.
故选：C.
7．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用指数、对数函数的单调性及不等式的基本性质即可得出．
【详解】
因为，
所以，，，，
故，，错误，正确．
故选：C
8．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据分段函数解析式，可将自变量的值一步一步代入，即可求解.
【详解】
由题意得，当时，，则.
∵当时，
∴，即.
故选：C.
9．若，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用微积分基本定理求定积分，然后利用余弦的二倍角公式转化为关于的方程，进而求解即得.
【详解】
，又，，
即，解得或，
又，，
故选:A.
10．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
由，结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，
故“”推不出“”，即充分性不成立；
“”也推不出“”，即必要性不成立
故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D
11．若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
函数在区间内有极值点等价于导函数的图象在区间上有变号零点，即可得到，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，
因为函数在区间内有极值点等价于导函数的图象在区间上有变号零点，结合，
所以解得.
故选：B
12．已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据分段函数的性质确定函数大致图象，将问题转化为与有两个不同交点，应用数形结合判断的取值范围即可.
【详解】
由题设，在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，可得的大致图象如下：
∴要使恰有两个不同的实数解，即与有两个不同交点，
由图知：当或时，它们有两个交点，
∴的取值范围是.
故选：D
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知偶函数在单调递减，若，则满足的的取值范围是________.
【答案】
【分析】
根据题意，由偶函数的性质可得的值以及函数的单调性，结合函数的单调性可得函数的符号；由，可得或；结合函数的图象，分析可得的范围，即可得答案．
【详解】
根据题意，函数为偶函数，则，
又由函数在上单调递减，则在上，，在上，，函数在上单调递增，则在上，，在上，，是将函数的图象向右平移个单位，其草图如图：
又由，则有或,解得或；
即的取值范围为.
故答案为：.
14．设，若，则=_________.
【答案】##
【分析】
先把对数式化为指数式，求出的值，再利用指数幂的运算性质化简所求式子，代入的值即可求出结果．
【详解】
，，
又，，
，
．
故答案为：．
15．定义集合 的一种运算：，若，，则___________.
【答案】
【分析】
准确理解，根据新定义求，时的结果.
【详解】
∵ ，，，
∴
故答案为：{2，3，4，5}
16．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则________.
【答案】
【分析】
求得，得到，得出切线方程，再求得，令，求得，进而得到答案.
【详解】
由题意，函数，可得，则，
所以函数在点处的切线，
又由，可得，
因直线与该曲线相切，令，可得，
当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；
当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.
故答案为：.
三、解答题：第17题10分，第18-22题每题12分，共70分。
17．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）或；（2）最小值，最大值.
【分析】
（1）直接解不等式可得不等式的解集；
（2）对函数求导，令，求出方程根，得出单调性可得函数的最值．
【详解】
（1）因为，
由，得.
所以或.
所以不等式的解集为或；
（2）由得：.
令，得，或（舍）.
与在区间[0，2]上的情况如下：
x 0 （0，1） 1 （1，2） 2
－ 0 +
0 减 增
所以当时，取得最小值；
当时，取得最大值.
18．已知函数的定义域为，函数的值域为.
（1）当时，求.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，求得集合,利用指数函数的性质和二次函数的性质求得集合,进而求得所求；
（2）根据必要不充分条件的意义得到是的真子集，进而得到不等式，求解即得.
【详解】
解：（1）由，解得：或，即，
由于，.
当时，，
，.
（2）依题可知，是A的真子集，即，
所以，解得：，
所以实数的取值范围为.
19．已知在时有极值0.
（1）求常数，的值；
（2）求在区间上的最值.
【答案】（1），；（2）最小值为0，最大值为4.
【分析】
（1）对求导，根据在时有极值0，得到，再求出，的值；
（2）由（1）知，，然后判断的单调性，再求出的值域．
【详解】
解：（1），由题知：
联立（1） （2）有(舍)或.当时在定义域上单调递增，故舍去；所以，，经检验，符合题意
（2）当，时，故方程有根或由，得或由得，函数的单调增区间为：，，减区间为：.函数在取得极大值，在取极小值；经计算，，，，所以最小值为0，最大值为4.
20．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
（1） 当a=0时，求f(x)在点 (－1，-2)处的切线方程.
（2）若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）当时，求出函数f(x)和导函数，进而利用点斜式方程写出切线方程；
（2）在区间上为增函数，即在上恒成立，分离参数求出最值，可得a的取值范围．
【详解】
（1）当时，，，
所以曲线在处切线斜率为，
所以切线方程为：，即．
（2）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，即的取值范围为．
21．已知函数.
（1）若f(x)在x=1处有极值，求实数a的值；
（2）若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，由解出实数a的值，并代入求出单调性检验即可；
（2）当a≤0时，f(x)在上单调递減，不合题意；当a>0时，可得函数唯一的极大值，构造函数，利用导数得出单调性解出不等式，可得a的取值范围．
【详解】
（1）函数定义域为，
，
在x=1处取到极值，∴，解得a=1
.
当0当x>1时，，f(x)在上单调递减，
因此f(x)在x=1处取得极大值，故a的值为1
（2）∵x>0，，
当a≤0时，f(x)在上单调递減，不可能有两个零点；
当a>0时，f(x)在(0，a)上是増函数，在上是减函数，
∴是函数f(x)的最大值，
当f(a)≤0时，f(x)最多只有一个零点，显然不符合题意，
，
令，
由得x>1，因此g(a)在上单调递增
同理可得g(a)在(0，1)上单调递减，又g（1）=0，
∴g(a)0(当且仅当a=1时等号成立)
因此由，可得a>0且a≠1
又x→0且x>0时，；时，
(或分类讨论：当01时，(此处有)
∴f(x)在(0，a)和上都仅有一个零点
∴a的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数在单调性，极值和零点中的应用，解决本题的关键点是分和两种情况分别判断函数的单调性，列出不等式并构造新函数，利用导数得出函数的最值，进而解出不等式，得出参数范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．
22．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求的导函数，讨论参数判断的符号，进而确定的单调性；
（2）由题设可知在上恒成立，构造并利用导数研究单调性，即可求的取值范围.
【详解】
（1）∵，
当时，，由得；由得.
当时，令，令得，.
当时，由得；由得.
当，即时，由得；由得.
当，即时，恒成立.
当，即时，由得，由得.
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由，故在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，则，
，则，
在上单调递减，则，
，则在上单调递减，有，
的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：第二问，问题转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求值域，进而确定参数范围.
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