河南省淮阳中学2013届高三富洲部10月第八次周考（数学文）有答案

淮阳中学2012～2013学年上期高三富洲部第八次周考
数学文试题 2012/10/20
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1. 已知直角中，，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 或
2．（文科学生做）如果复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或3 D．2或3
3. 已知条件关于的不等式（）的解集为；条件指数函数为增函数， 则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C.　　　　　D.
5．函数的图像可能是（ ）
6、已知函数（其中为常数）的图象关于直线对称，（ ）
A、 B、
C、 D、
7．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E， F，且，则下列结论中错误的是 （ ）
A． B．
C．直线与平面所成的角为定值
D．异面直线所成的角为定值
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则(　　)
A． B．
C． D．a与b的大小关系不能确定
9. （文做）已知函数，则函数的图像的交点的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10. 如右图，正三角形所在平面与正方形所在的平面互相垂直，为正方形的中心，为正方形内一点，且满足，则点的轨迹为（ ）
11．（文科学生做）若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. 　B. C. D.
12．在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．设则的值等于__
14．设O是△ABC内部一点，且的面积之比为 .
15．△ABC的周长是20，面积是10，A＝60°，则BC边的长等于________．
16. 已知球是棱长为12的正四面体的外接球，分别是棱的中点，则平面截球所得截面的面积是 。
三、解答题（本大题共6个小题，共70分. 各题解答必须答在答题卡上规定的矩形区域内。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在中，内角分别对应的边是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
18．（本小题满分12分）
在直三棱柱中，
∠ACB=90°,Ｍ是 的中点，Ｎ是的中点
（１）求证：MN∥平面 ；
（２）求点到平面BMC的距离；
19. （本小题满分12分）
已知角A、B、C是的三个内角，若向量，，且。
（1）求的值； （2）求的最大值。
20．（本小题满分12分）
已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cos，－sin)，其中x∈[0，]
(1)求·及|＋|；
(2)若f(x)＝·－2λ|＋|的最小值为－，求λ的值
21. （本小题满分12分）
（文科学生做）已知函数（）.
（1）求函数的单调区间;
(2）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求 的取值范围。
22. （文科学生做）已知函数.
(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；
(Ⅱ)求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
淮阳中学2012～2013学年上期高三富洲部第八次周考
数学试题参考答案
一、选择题
1. D. 2．文A 3. A. 4. C 5．C 6. 7．D 8． 9.文D 10. A 11．文C12．C
二、填空题
13． 14．1 15． 7 16.
三、解答题（本大题共6个小题，共75分. 各题解答必须答在答题卡上规定的矩形区域内。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在中，内角分别对应的边是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
17． 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得． 2分
联立方程组解得，． 5分
所以的面积． 10分
18．（本小题满分12分）
在直三棱柱中，
∠ACB=90°,Ｍ是 的中点，Ｎ是的中点
（１）求证：MN∥平面 ；
（２）求点到平面BMC的距离；
（３）（只有理科学生做）求二面角的平面角的余弦值大小。
18：（1）如图所示，取B1C1中点D，连结ND、A1D
∴DN∥BB1∥AA1
又DN＝
∴四边形A1MND为平行四边形。
∴MN∥A1 D 又 MN 平面A1B1C1 AD1平面A1B1C1
∴MN∥平面--------------------------4分
(2)因三棱柱为直三棱柱， ∴C1 C ⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥平面A1MC1
在平面ACC1 A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，故C1H为C1点到平面BMC的距离。
在等腰三角形CMC1中，C1 C=2,CM=C1M=
∴.--------------------------8分
(3)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F,
则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，
∴BE⊥C1M, ∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,
在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=,∴tan∠BEC=
∴cos∠BEC=
即二面角的余弦值为。-----------------------12分
19. （本小题满分12分）
已知角A、B、C是的三个内角，若向量，，且。
（1）求的值； （2）求的最大值。
19.解：（1）
（2）
（A,B均是锐角，即其正切均为正）
所求最大值为。
20．（本小题满分12分）
已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cos，－sin)，其中x∈[0，]
(1)求·及|＋|；
(2)若f(x)＝·－2λ|＋|的最小值为－，求λ的值
20、(1)·＝cosxcos－sinxsin＝cos2x，|＋|＝＝2cosx
(2)f(x)＝·－2λ|＋|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－1－4λcosx＝2(cosx－λ)2－2λ2－1
∵x∈[0，]，故cosx∈[0，1]，
若λ＜0，当cosx＝0时f(x)取最小值－1，不合条件，舍去.
若0≤λ≤1，当cosx＝λ时，f(x)取最小值－2λ2－1，令－2λ2－1＝－且0≤λ≤1，解得λ＝，
若λ＞1，当cosx＝1时，f(x)取最小值1－4λ， 令1－4λ＝－且λ＞1，无解
综上：λ＝为所求.
21. （本小题满分12分）
（理科学生做）已知函数.
（Ⅰ）若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，对任意的正整数，
求证：，且不等式都成立.
21（理科学生做）解：（I）由题设可得
函数在上是增函数，
当时，不等式即恒成立.
当时，的最大值为1，则实数的取值范围是；-----------6分
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知在上是增函数
对于任意的正整数，有，则--------------8分
（文科学生做）已知函数（）.
（1）求函数的单调区间;
(2）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求 的取值范围。
21（文科学生做）解：（I） ……2分
当 即
f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（, ………4分
当 ， 即
f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，） ……6分
（II）得 ……7分
+3 ……8分
………9分
……10分
……12分 即： ……12分
22. （理科学生做）已知函数其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（e是自然对数的底数），是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
22
（文科学生做）已知函数.
(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；
(Ⅱ)求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
22（文科学生做）解：(1)由已知， ……2分
.
故曲线在处切线的斜率为. ……………4分
(2). ………………5分
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为. ………………6分
②当时，由，得.
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.………7分
（3）由已知，转化为. ………………8分
……………9分
由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.) ……………10分
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，………11分
所以，
解得. ………………12分