人教A版 选择性必修二 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法 同步学案
文档属性
| 名称 | 人教A版 选择性必修二 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法 同步学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 196.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-16 18:11:06 | ||
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文档简介
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4．1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示法
学习指导 核心素养
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法．2．理解数列的分类标准．3．掌握数列通项公式的概念及其应用． 1.数学抽象：数列的概念与分类．2．逻辑推理、数学运算：数列的通项公式及其应用．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．数列的概念
(1)定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
(3)表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}．
2．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
摇动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1，2，3，4和1，2，4，3是相同的数列．( )
(2){an}与an是一样的，都表示数列．( )
(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的．( )
(4)数列的图象不可能是一条连续的曲线．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
答案：C
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的( )
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
解析：选C.令n2＋1＝122，则n2＝121，所以n＝11.
4. 数列1，－2，3，－4，5…的一个通项公式是________．
答案：an＝(－1)n＋1·n
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1 数列的概念及分类
数列的项和集合中的元素有何区别？数列与函数有什么关系？
探究感悟：
(1)集合中的元素具有互异性、无序性，数列的项可以重复按一定顺序排列；
(2)数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集{1，2，…，n}，其解析式是an＝f(n).由于其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，故值域是当n依次取1，2，3，4，…时对应的一列函数值所组成的集合．
例 (1)下列说法错误的是( )
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是三角形
(2)(多选)下列四个结论正确的是( )
A．数列的项数是无限的
B．数列的图象都是一群孤立的点
C．1，3，1，3，…是常数列
D．数列{2n＋1}是递增数列
【解析】 (1)由数列的相关概念可知，数列4，7，3，4的首项是4，故A正确．同一个数在数列中可以重复出现，故B错误．按一定顺序排列的一列数称为数列，所以数列1，2，3，…就是数列{n}，故C正确．数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．
(2)数列的项数可以有限，也可以无限，A错误；数列的图象都是一群孤立的点，B正确；1，3，1，3，…是摆动数列，C错误；数列{2n＋1}是递增数列，D正确．
【答案】 (1)B (2)BD
归纳总结
(1)数列定义的理解
从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
(2)数列的分类
按项的个数，数列可分为有穷数列、无穷数列；按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．
即时检测
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列的项可以相等
D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列
解析：选C.{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；数列具有有序性，故B错误；当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列的项可以相等，故C正确．
2．下列数列中，即是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…
B．sin ，sin ，sin ，sin ，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，2，3，4，…，30
解析：选C.数列1，，，，…是无穷数列，也是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．
探究点2 用观察法求数列的通项公式
是否每个数列都有通项公式？怎样从函数观点理解数列的通项公式？
探究感悟：数列不一定有通项公式，数列的通项公式就是函数的解析式．
例 写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)1 ，－3，5，－7，9，…；
(3)9，99，999，9 999，…；
(4)，，，，….
【解】 (1)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝.
(2)数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1).
(3)各项加1后，分别变成10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n－1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数，综合得原数列的一个通项公式为an＝＝.
归纳总结
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
即时检测
1．(2021·广东广州高二期末)数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝( )
A．－ B．
C． D．
解析：选B.－＝(－1)×，＝(－1)2×，－＝(－1)3×，＝(－1)4×，所以它的一个通项公式是an＝.
2．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式为an＝( )
A．(10n－1) B．(10n－1)
C． D．(10n－1)
解析：选C.因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为an＝1－.而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，所以它的一个通项公式为an＝.故选C.
探究点3 数列通项公式的简单应用
怎样求数列的某一项？如何研究数列的项的性质？
探究感悟：求数列的某一项相当于求函数值；通过数列的通项公式可以得到，并且利用通项公式可得到数列的单调性、最值及周期性等性质．
例 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？
【解】 (1)a4＝3×42－28×4＝－64.
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)由3n2－28n＝－49，得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列中的项，是第7项．
由3n2－28n＝68，得n＝－2或n＝，均不合题意，
所以68不是该数列中的项．
拓展探究
1.在本例中，数列{an}中有多少个负数项？
解：an＝3n2－28n＝n(3n－28)，
令an<0，则0又n∈N*，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
即数列{an}中共有9个负数项．
2．在本例中，求数列{an}的最小项．
解： an＝3n2－28n＝3 －.
因为n∈N*，
所以n＝5时，(an)min＝－65，
故数列{an}的最小项是a5＝－65.
归纳总结
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列{an}中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列中的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的一项．
即时检测
1．(2021·天津经济技术开发区第一中学高二检测)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则是这个数列的( )
A．第8项 B．第9项
C．第10项 D．第12项
解析：选C.由题意得an＝＝，解得n＝10或n＝－12(舍去).故选C.
2．已知an＝－n2＋25n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是( )
A．a12 B．a13
C．a12或a13 D．a10或a11
解析：选C.an是关于n的二次函数，对称轴为直线x＝.因为n∈N*，所以a12或a13是数列{an}的最大项．
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝( )
A．－ B．
C． D．
解析：选B.所给数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为(－1)n，故此数列的一个通项公式是an＝.
2．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的( )
A．第4项 B．第8项
C．第7项 D．第12项
解析：选B.令2n2－3＝125，解得n＝8或n＝－8(舍去)，故125是这个数列的第8项．
3．数列，，，，…的第10项是( )
A． B．
C． D．
解析：选C.由数列的前4项可知，
它的一个通项公式为an＝.
当n＝10时，a10＝＝.
4．若数列{an}的通项公式为an＝则a3a4＝________．
解析：a3＝3×3＋1＝10，
a4＝2×4－2＝6，
所以a3a4＝10×6＝60.
答案：60
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－7，则数列{nan}的最小项为第________项．
解析：nan＝n(n－7)＝n2－7n＝－.
因为n∈N*，所以n＝3或n＝4时，
数列{nan}的项最小．
答案：3或4
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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4．1 数列的概念
第1课时 数列的概念与简单表示法
学习指导 核心素养
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法．2．理解数列的分类标准．3．掌握数列通项公式的概念及其应用． 1.数学抽象：数列的概念与分类．2．逻辑推理、数学运算：数列的通项公式及其应用．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．数列的概念
(1)定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
(3)表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}．
2．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
摇动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1，2，3，4和1，2，4，3是相同的数列．( )
(2){an}与an是一样的，都表示数列．( )
(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的．( )
(4)数列的图象不可能是一条连续的曲线．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
答案：C
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的( )
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
解析：选C.令n2＋1＝122，则n2＝121，所以n＝11.
4. 数列1，－2，3，－4，5…的一个通项公式是________．
答案：an＝(－1)n＋1·n
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1 数列的概念及分类
数列的项和集合中的元素有何区别？数列与函数有什么关系？
探究感悟：
(1)集合中的元素具有互异性、无序性，数列的项可以重复按一定顺序排列；
(2)数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集{1，2，…，n}，其解析式是an＝f(n).由于其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，故值域是当n依次取1，2，3，4，…时对应的一列函数值所组成的集合．
例 (1)下列说法错误的是( )
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是三角形
(2)(多选)下列四个结论正确的是( )
A．数列的项数是无限的
B．数列的图象都是一群孤立的点
C．1，3，1，3，…是常数列
D．数列{2n＋1}是递增数列
【解析】 (1)由数列的相关概念可知，数列4，7，3，4的首项是4，故A正确．同一个数在数列中可以重复出现，故B错误．按一定顺序排列的一列数称为数列，所以数列1，2，3，…就是数列{n}，故C正确．数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．
(2)数列的项数可以有限，也可以无限，A错误；数列的图象都是一群孤立的点，B正确；1，3，1，3，…是摆动数列，C错误；数列{2n＋1}是递增数列，D正确．
【答案】 (1)B (2)BD
归纳总结
(1)数列定义的理解
从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
(2)数列的分类
按项的个数，数列可分为有穷数列、无穷数列；按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．
即时检测
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C．数列的项可以相等
D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列
解析：选C.{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；数列具有有序性，故B错误；当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列的项可以相等，故C正确．
2．下列数列中，即是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…
B．sin ，sin ，sin ，sin ，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，2，3，4，…，30
解析：选C.数列1，，，，…是无穷数列，也是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．
探究点2 用观察法求数列的通项公式
是否每个数列都有通项公式？怎样从函数观点理解数列的通项公式？
探究感悟：数列不一定有通项公式，数列的通项公式就是函数的解析式．
例 写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)1 ，－3，5，－7，9，…；
(3)9，99，999，9 999，…；
(4)，，，，….
【解】 (1)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝.
(2)数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1).
(3)各项加1后，分别变成10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n－1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数，综合得原数列的一个通项公式为an＝＝.
归纳总结
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
即时检测
1．(2021·广东广州高二期末)数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝( )
A．－ B．
C． D．
解析：选B.－＝(－1)×，＝(－1)2×，－＝(－1)3×，＝(－1)4×，所以它的一个通项公式是an＝.
2．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的一个通项公式为an＝( )
A．(10n－1) B．(10n－1)
C． D．(10n－1)
解析：选C.因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为an＝1－.而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，所以它的一个通项公式为an＝.故选C.
探究点3 数列通项公式的简单应用
怎样求数列的某一项？如何研究数列的项的性质？
探究感悟：求数列的某一项相当于求函数值；通过数列的通项公式可以得到，并且利用通项公式可得到数列的单调性、最值及周期性等性质．
例 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？
【解】 (1)a4＝3×42－28×4＝－64.
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)由3n2－28n＝－49，得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列中的项，是第7项．
由3n2－28n＝68，得n＝－2或n＝，均不合题意，
所以68不是该数列中的项．
拓展探究
1.在本例中，数列{an}中有多少个负数项？
解：an＝3n2－28n＝n(3n－28)，
令an<0，则0
即数列{an}中共有9个负数项．
2．在本例中，求数列{an}的最小项．
解： an＝3n2－28n＝3 －.
因为n∈N*，
所以n＝5时，(an)min＝－65，
故数列{an}的最小项是a5＝－65.
归纳总结
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列{an}中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列中的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的一项．
即时检测
1．(2021·天津经济技术开发区第一中学高二检测)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则是这个数列的( )
A．第8项 B．第9项
C．第10项 D．第12项
解析：选C.由题意得an＝＝，解得n＝10或n＝－12(舍去).故选C.
2．已知an＝－n2＋25n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是( )
A．a12 B．a13
C．a12或a13 D．a10或a11
解析：选C.an是关于n的二次函数，对称轴为直线x＝.因为n∈N*，所以a12或a13是数列{an}的最大项．
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝( )
A．－ B．
C． D．
解析：选B.所给数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为(－1)n，故此数列的一个通项公式是an＝.
2．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的( )
A．第4项 B．第8项
C．第7项 D．第12项
解析：选B.令2n2－3＝125，解得n＝8或n＝－8(舍去)，故125是这个数列的第8项．
3．数列，，，，…的第10项是( )
A． B．
C． D．
解析：选C.由数列的前4项可知，
它的一个通项公式为an＝.
当n＝10时，a10＝＝.
4．若数列{an}的通项公式为an＝则a3a4＝________．
解析：a3＝3×3＋1＝10，
a4＝2×4－2＝6，
所以a3a4＝10×6＝60.
答案：60
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－7，则数列{nan}的最小项为第________项．
解析：nan＝n(n－7)＝n2－7n＝－.
因为n∈N*，所以n＝3或n＝4时，
数列{nan}的项最小．
答案：3或4
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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