人教A版 选择性必修二 4.2　4.2.1　第2课时　等差数列的性质及应用 同步学案

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4．2　等差数列
4．2.1　等差数列的概念
第2课时　等差数列的性质及应用
学习指导 核心素养
1.了解等差数列的有关性质．2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 1.逻辑推理：等差数列性质及应用．2．数学建模：利用等差数列解决实际问题．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则具有以下性质
(1)an＝am＋(n－m)d，d＝(n≠m).
(2)若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at．
特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(以上m，n，s，t，p∈N*).
2．由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
即时检测
1．等差数列的单调性如何判定？
提示：在一个等差数列中，若d＞0，则该数列为递增数列；若d＝0，则该数列为常数列；若d＜0，则该数列为递减数列．
2．等差数列的图象是什么？公差d有何几何意义？
提示：等差数列的图象是直线上的孤立的点，且任意两点连线的斜率为直线的斜率，即点(n，an)(n∈N*)共线且＝d(d为数列的公差).
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．(　　)
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．(　　)
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5图象的斜率相等．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
4．在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．20
C．100 D．不确定
解析：选A.因为a100－a90＝10d，
即120－100＝10d，
所以d＝2.
5．(2021·天津市宝坻区月考)已知等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a6＝26，则a8＝(　　)
A．9 B．12
C．18 D．22
解析：选D.方法一：因为a2＋a8＝a4＋a6＝26，所以a8＝26－a2＝26－4＝22.
方法二：因为a4＋a6＝2a5＝26，所以a5＝13.
又a2＋a8＝2a5，
所以a8＝2a5－a2＝22.
6．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．
解析：因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也是等差数列．故由等差中项的性质得(a5＋b5)＋(a1＋b1)＝2(a3＋b3)，即(a5＋b5)＋7＝2×21，解得a5＋b5＝35.
答案：35
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　等差数列性质的应用
角度一　求等差数列中的项或两项的和
求等差数列中的某一项，是否一定要求出a1和d
探究感悟：不一定．可以利用等差数列的性质或整体计算求解数列的某一项或两项和．
例 (1)(2021·天津宝坻区高二月考)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．12
C．15 D．18
(2)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．14 B．12
C．28 D．36
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列{an＋bn}的第37项为(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
【解析】　(1)因为{an}是等差数列，
所以2a9＝a5＋a13，
故a13＝2×6－3＝9.
(2)因为a3＋a4＋a5＝12，
所以3a4＝12，则a4＝4，
又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
【答案】　(1)A　(2)C　(3)C
归纳总结
等差数列运算的两种常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
[注意]　对于新构造的数列，要注意判断其首项和公差．　
角度二　等差数列问题的设法技巧
例 已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
【解】　设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d).
由题设，知
解得或
所以这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2.
归纳总结
等差数列问题的常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.　
角度三　求两个等差数列的公共项
怎样求解两个等差数列的公共项？
探究感悟：两个等差数列的公共项仍然构成等差数列，解题时确定新等差数列的首项，公差即可．
例 等差数列{an}：2，5，8，…与等差数列{bn}：1，5，9，…均为40项，求它们的公共项构成的数列{cn}的通项公式．
【解】　方法一(观察归纳法)：{an}：2，5，8，…的公差为3；{bn}：1，5，9，…的公差为4；
观察归纳可知它们的相同项是以5为首项，12为公差(3，4的最小公倍数)的等差数列，cn＝5＋12(n－1)＝12n－7，a40＝119，b40＝157，cn≤119 n≤10，
所以数列{cn}的通项公式为cn＝12n－7(n≤10).
方法二(引入参变量法)：an＝3n－1(n≤40)；bm＝4m－3(m≤40)；令an＝bm 3n＝2(2m－1)，2m－1必为3的倍数(或n必为2的倍数)，设2m－1＝3k(因左边为奇数，k必为奇数)，再设k＝2t－1，则m＝3t－1，n＝4t－2(引入参变量t)，又即
解得≤t≤10，即t＝1，2，3，…，10.ct＝a4t－2＝b3t－1＝12t－7(t≤10)，即cn＝12n－7(n≤10).
归纳总结
求解两个等差数列公共项的方法
(1)观察归纳法
通过观察归纳得到公共项的首项和公差，进而可得出公共项的通项公式，然后用通项公式求解．
(2)引入参变量法
①分别写出两个等差数列的通项公式(变量分别用m，n表示)；
②由两个通项相等得到m，n之间的关系式；
③由m，n的关系式得到m或n的特点(如是2的倍数，3的倍数)；
④依据m或n的特点引入参变量k；
⑤依据k的特点再引入参变量求解．　
即时检测
1．已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝(　　)
A．7 B．14
C．21 D．7(n－1)
解析：选B.因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
2．已知三个数成等差数列，若这三个数的和为6，积为－24，求此数列．
解：设所求数列为a－d，a，a＋d，依题意得，
解得或
所以所求数列为－2，2，6或6，2，－2.
3．求等差数列{an}：5，8，11，…，302与等差数列{bn}：3，7，11，…，399的公共项构成的数列{cn}的通项公式．
解：两个数列的公共项组成以11为首项，以12为公差的等差数列，所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又12n－1≤302，所以n≤25，
所以数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1(n≤25).
探究点2　等差数列的实际应用
解决实际问题时怎样建立等差数列模型？
探究感悟：和函数建模类似，在实际问题中找出两个变量，其中的自变量记为n，另一个记为an，研究an与n的关系即可．
例 某公司2020年经销一种数码产品，获利200万元，从2020年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【解】　记2020年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年的获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司经销此产品将亏损．
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
由题意知数列{an}为递减数列，令an<0，
即an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，也就是从2031年开始，该公司经销此产品将亏损．
归纳总结
解答数列实际应用问题的基本步骤
　
即时检测
1．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(　　)
A．11.5 B．12.5
C．13.5 D．14.5
解析：选C.由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为a1，公差为d，则a1＋a4＋a7＝31.5，a3＋a6＋a9＝25.5，两式相减得－6d＝6，解得d＝－1，所以a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选C.
2．古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金________斤．
解析：设十人得金按等级依次设为a1，a2，…，a10，
则a1，a2，…，a10成等差数列，且
设等差数列a1，a2，…，a10的公差为d，
则
解得d＝－，
所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝.
答案：
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40＝(　　)
A．40　　　　　　　　 B．70
C．80 D．90
解析：选D.方法一：因为a20＝a10＋10d，所以50＝30＋10d.所以d＝2.则a40＝a20＋20d＝50＋20×2＝90.
方法二：因为2a20＝a10＋a30，所以2×50＝30＋a30，
所以a30＝70.又因为2a30＝a20＋a40，所以2×70＝50＋a40，所以a40＝90.
2．在等差数列{an}中，a1＋a2＝3，a5＋a6＝7，则a9＋a10＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选D.根据等差数列的性质，可得(a1＋a2)＋(a9＋a10)＝2(a5＋a6)，
所以a9＋a10＝2×7－3＝11.
3．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　)
A．7 B．5
C．3 D．1
解析：选D.因为数列{an}，{bn}是等差数列，所以{2an－3bn}是等差数列，
则d＝2an＋1－3bn＋1－(2an－3bn)＝2an＋1－2an－3bn＋1＋3bn＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.
4．两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，它们的公共项构成的等差数列{cn}的通项公式是________．
解析：两数列的通项公式分别为an＝3n－1，bn＝5n－3，设它们的公共项构成的数列为{cn}，则c1＝2.
因为数列{an}，{bn}为等差数列，所以数列{cn}仍为等差数列，且公差d＝15，
所以cn＝c1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×15＝15n－13.
答案：cn＝15n－13
5．假设某市2021年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市从________年开始新建住房的面积大于820万平方米．
解析：设从2022年年底开始，n年后该市每年新建住房的面积为an万平方米．由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>.由于n∈N*，则n≥9.所以该市从2030年开始新建住房的面积大于820万平方米．
答案：2030
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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