人教A版 选择性必修二 4.2 4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 同步学案
文档属性
| 名称 | 人教A版 选择性必修二 4.2 4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 同步学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 250.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-16 18:10:10 | ||
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文档简介
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4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习指导 核心素养
1.理解等差数列、等差中项的概念．2．掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．3．掌握等差数列的判断与证明方法． 1.数学抽象：等差数列、等差中项的概念．2．逻辑推理、数学运算：等差数列的判断和有关计算．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言描述：an＋1－an＝d.
2．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
3．等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
4．等差数列与一次函数
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
即时检测
1．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差为常数，是否可说此数列是等差数列？
提示：不可以．因为这些常数可能不同，应强调“同一个常数”．
2．若数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则此数列为等差数列，这种说法是否正确？
提示：正确．{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2).
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，1，1，1，1是等差数列．( )
(2)若数列a1，a2，a3…an为等差数列，则数列an，an－1，an－2，…a2，a1也是等差数列．( )
(3)任意两个实数都有等差中项．( )
(4)等差数列的公差是相邻两项的差．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
4．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式为an＝( )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
答案：C
5．x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y＝( )
A．0 B．10
C．20 D．不确定
解析：选C.因为x＋1与y－1的等差中项为10，所以(x＋1)＋(y－1)＝2×10，所以x＋y＝20.
6．若一个等差数列的前三项为a，2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为________________．
解析：因为a＋(3－a)＝2(2a－1)，所以a＝.
所以这个等差数列的前三项依次为，，，
所以d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N*.
答案：an＝＋1，n∈N*
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1 等差数列的通项公式及应用
1．确定一个等差数列的某一项，需要已知几个条件？
探究感悟：在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，a1，d是最基本的量．在an，a1，n，d四个量中“知三求一”．
2．等差数列的通项公式一定是一次函数吗？反之呢？
探究感悟：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，当d＝0时，an＝a1－d是常数函数；当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)，当x＝n时的函数an＝f(n).等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上；反之一次函数f(x)＝kx＋b可以构成等差数列{nk＋b}，首项为k＋b，公差为k.
例 已知在等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
【解】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知，得解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45，45∈N*，
所以153是数列{an}的第45项．
归纳总结
等差数列通项公式的应用要点
(1)等差数列问题可以通过列关于a1，d的方程组求解得到a1，d，从而写出数列的通项公式．
(2)解题中要注意公式的变形和整体计算，以减少计算量．
即时检测
1．2 022是等差数列4，6，8，…的( )
A．第1 007项 B．第1 008项
C．第1 009项 D．第1 010项
解析：选D.因为此等差数列的公差d＝2，所以an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2 022＝2n＋2，解得n＝1 010.
2．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是( )
A．1，4 B．－1，－4
C．4，1 D．－4，－1
解析：选B.当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
3．设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则数列{an}的通项公式为________．
解析：设数列{an}的公差为d，a2＋a5＝36，所以(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，即2a1＋5d＝36.因为a1＝3，所以d＝6，所以通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝6n－3.
答案：an＝6n－3
探究点2 等差中项及其应用
三个数a，b，c成等差数列的条件是什么？
探究感悟：条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．
例 (1)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
(2)已知，，成等差数列，证明，，成等差数列．
(1)【解】 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，
得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
(2)【证明】 因为，，成等差数列，
所以＝＋，化简得2ac＝b(a＋c)，
又＋＝
＝＝
＝＝＝2·，
所以，，成等差数列．
归纳总结
等差中项的应用
(1)涉及等差数列中相邻三项的问题可用等差中项求解；
(2)若数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则可判定数列{an}是等差数列．
即时检测
1．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z＝( )
A．26 B．29
C．39 D．52
解析：选C.因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
2．已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝________．
解析：因为{an}是等差数列，所以a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d.又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝2，解得d＝1.
答案：1
探究点3 等差数列的判定与证明
在数列{an}中，若a2－a1＝3，a3－a2＝3，是否可以判断数列{an}是等差数列？
探究感悟：不可以，不能从几个特殊项之间的关系来判定等差数列．判断时应从定义出发，证明an＋1－an是常数．
例 已知数列{an}满足an＝(n≥2).
(1)求证：数列是等差数列；
(2)当a1＝时，求a2 023.
(1)【证明】 因为an＝.所以＝＋.
所以－＝(n≥2)，所以数列是等差数列．
(2)【解】 当a1＝时，＝2，所以＝2＋(n－1)＝.所以an＝.所以a2 023＝.
归纳总结
判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列．
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列．
[注意] 证明一个数列是等差数列可用定义法和等差中项法．
即时检测
1．已知数列{an}满足an＋1＝，证明数列为等差数列．
证明：因为an＋1＝，所以－＝－＝－＝＝－1，
所以是公差为－1的等差数列．
2．在数列{an}，{bn}中，已知a1＝，且2an＋1＝an＋，bn＝2nan，求证：数列{bn}为等差数列．
证明：方法一：由2an＋1＝an＋得an＋1＝an＋，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1·－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列．
方法二：在2an＋1＝an＋的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列．
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．已知等差数列{an}的通项为an＝90－2n，则这个数列共有正数项( )
A．44项 B．45项
C．90项 D．无穷多项
解析：选A.由数列an＝90－2n>0，
解得n<45.
又因为n>0且n∈N*，
所以n＝44.
2．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝( )
A．15 B．22
C．7 D．29
解析：选A.设数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
3．若log2a是1和5的等差中项，则a＝________．
解析：由题意知，log2a＝＝3，所以a＝23＝8.
答案：8
4．已知在数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由．
解：不是等差数列．理由如下，
因为an＝an－1＋2(n≥3)，
所以an－an－1＝2(常数).
又n≥3，
所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，
而a2－a1＝0≠a3－a2，
所以数列{an}不是等差数列．
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习指导 核心素养
1.理解等差数列、等差中项的概念．2．掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．3．掌握等差数列的判断与证明方法． 1.数学抽象：等差数列、等差中项的概念．2．逻辑推理、数学运算：等差数列的判断和有关计算．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言描述：an＋1－an＝d.
2．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
3．等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
4．等差数列与一次函数
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
即时检测
1．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差为常数，是否可说此数列是等差数列？
提示：不可以．因为这些常数可能不同，应强调“同一个常数”．
2．若数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则此数列为等差数列，这种说法是否正确？
提示：正确．{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2).
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，1，1，1，1是等差数列．( )
(2)若数列a1，a2，a3…an为等差数列，则数列an，an－1，an－2，…a2，a1也是等差数列．( )
(3)任意两个实数都有等差中项．( )
(4)等差数列的公差是相邻两项的差．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
4．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式为an＝( )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
答案：C
5．x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y＝( )
A．0 B．10
C．20 D．不确定
解析：选C.因为x＋1与y－1的等差中项为10，所以(x＋1)＋(y－1)＝2×10，所以x＋y＝20.
6．若一个等差数列的前三项为a，2a－1，3－a，则这个数列的通项公式为________________．
解析：因为a＋(3－a)＝2(2a－1)，所以a＝.
所以这个等差数列的前三项依次为，，，
所以d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N*.
答案：an＝＋1，n∈N*
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1 等差数列的通项公式及应用
1．确定一个等差数列的某一项，需要已知几个条件？
探究感悟：在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，a1，d是最基本的量．在an，a1，n，d四个量中“知三求一”．
2．等差数列的通项公式一定是一次函数吗？反之呢？
探究感悟：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，当d＝0时，an＝a1－d是常数函数；当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)，当x＝n时的函数an＝f(n).等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上；反之一次函数f(x)＝kx＋b可以构成等差数列{nk＋b}，首项为k＋b，公差为k.
例 已知在等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
【解】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知，得解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45，45∈N*，
所以153是数列{an}的第45项．
归纳总结
等差数列通项公式的应用要点
(1)等差数列问题可以通过列关于a1，d的方程组求解得到a1，d，从而写出数列的通项公式．
(2)解题中要注意公式的变形和整体计算，以减少计算量．
即时检测
1．2 022是等差数列4，6，8，…的( )
A．第1 007项 B．第1 008项
C．第1 009项 D．第1 010项
解析：选D.因为此等差数列的公差d＝2，所以an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2 022＝2n＋2，解得n＝1 010.
2．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是( )
A．1，4 B．－1，－4
C．4，1 D．－4，－1
解析：选B.当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
3．设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则数列{an}的通项公式为________．
解析：设数列{an}的公差为d，a2＋a5＝36，所以(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，即2a1＋5d＝36.因为a1＝3，所以d＝6，所以通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝6n－3.
答案：an＝6n－3
探究点2 等差中项及其应用
三个数a，b，c成等差数列的条件是什么？
探究感悟：条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．
例 (1)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
(2)已知，，成等差数列，证明，，成等差数列．
(1)【解】 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，
得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
(2)【证明】 因为，，成等差数列，
所以＝＋，化简得2ac＝b(a＋c)，
又＋＝
＝＝
＝＝＝2·，
所以，，成等差数列．
归纳总结
等差中项的应用
(1)涉及等差数列中相邻三项的问题可用等差中项求解；
(2)若数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则可判定数列{an}是等差数列．
即时检测
1．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z＝( )
A．26 B．29
C．39 D．52
解析：选C.因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
2．已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝________．
解析：因为{an}是等差数列，所以a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d.又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝2，解得d＝1.
答案：1
探究点3 等差数列的判定与证明
在数列{an}中，若a2－a1＝3，a3－a2＝3，是否可以判断数列{an}是等差数列？
探究感悟：不可以，不能从几个特殊项之间的关系来判定等差数列．判断时应从定义出发，证明an＋1－an是常数．
例 已知数列{an}满足an＝(n≥2).
(1)求证：数列是等差数列；
(2)当a1＝时，求a2 023.
(1)【证明】 因为an＝.所以＝＋.
所以－＝(n≥2)，所以数列是等差数列．
(2)【解】 当a1＝时，＝2，所以＝2＋(n－1)＝.所以an＝.所以a2 023＝.
归纳总结
判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 数列{an}是等差数列．
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列．
[注意] 证明一个数列是等差数列可用定义法和等差中项法．
即时检测
1．已知数列{an}满足an＋1＝，证明数列为等差数列．
证明：因为an＋1＝，所以－＝－＝－＝＝－1，
所以是公差为－1的等差数列．
2．在数列{an}，{bn}中，已知a1＝，且2an＋1＝an＋，bn＝2nan，求证：数列{bn}为等差数列．
证明：方法一：由2an＋1＝an＋得an＋1＝an＋，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1·－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列．
方法二：在2an＋1＝an＋的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列．
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．已知等差数列{an}的通项为an＝90－2n，则这个数列共有正数项( )
A．44项 B．45项
C．90项 D．无穷多项
解析：选A.由数列an＝90－2n>0，
解得n<45.
又因为n>0且n∈N*，
所以n＝44.
2．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝( )
A．15 B．22
C．7 D．29
解析：选A.设数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
3．若log2a是1和5的等差中项，则a＝________．
解析：由题意知，log2a＝＝3，所以a＝23＝8.
答案：8
4．已知在数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由．
解：不是等差数列．理由如下，
因为an＝an－1＋2(n≥3)，
所以an－an－1＝2(常数).
又n≥3，
所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，
而a2－a1＝0≠a3－a2，
所以数列{an}不是等差数列．
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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