2021-2022学年高二上学期数学沪教版(2020)必修第三册13.5.2 估计总体的数字特征“四基”测试题word版含答案

四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 【建议用时：40分钟】
【学生版】
《 第13 章 统计》【13.5.2 估计总体的数字特征】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、下列说法错误的是（ ）
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．众数是一组数据中出现次数最多的数
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
2、下列说法正确的是（ ）
A．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分；
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
4、某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分是 分，众数是 分，中位数分别是 分；
【提示】
【答案】
【解析】
【考点】
5、如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是
6、样本容量为100的频率直方图如图所示，根据样本频率直方图，得平均数为________．
7、已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是
8、设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数为________和方差为 ；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、（1）某班45名同学的年龄(单位：岁)如下：
14　15　14　16　15　17　16　15　16　16　15　15
17　13　14　15　16　16　15　14　15　15　14　15
16　17　16　15　15　15　16　15　13　16　15　15
17　14　15　16　16　15　14　15　15
求全班的平均年龄；
（2）从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率直方图．
试利用频率直方图估计高三年级学生的平均成绩．
10、某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时．为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表：
锻炼时长（小时） 5 6 7 8 9
男生人数（人 1 2 4 3 4
女生人数（人 3 8 6 2 1
（1）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长；
（2）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；
（3）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小．（直接写出结果）
【附录】相关考点
考点一 数字特征 把能反映一组数据某种特征的量称为这组数据的数字特征；在初中阶段学习过的平均数、中位数和众数等，就是用来刻画一组数据集中趋势的数字特征，而方差和标准差则是用来刻画一组数据离散程度的数字特征；
考点二 通过样本估计总体的集中趋势 通过样本估计总体的集中趋势利用初中阶段学习过的平均数、中位数和众数，我们可以描述有限样本的集中趋势；例如，设样本数据为，由公式就得到样本平均数，它描述了样本数据的平均水平；如果个数据中不同的数据的频数分别为，那么样本平均数为；平均数反映的是平均水平，中位数反应的是中等水平，众数反应的是概率最大；它们都是用来刻画一组数据的集中趋势；
考点三 通过样本估计总体的离散程度 通过样本估计总体的离散程度在初中阶段我们已学习过用样本数据的方差来衡量一组数据的波动大小；一组数据的方差越大，表明这组数据波动越大；我们把方差的算术平方根叫做样本数据的标准差，它同样是一个用来衡量样本数据波动大小的统计量；方差和标准差都反映了一组数据围绕平均数波动的大小；方差的单位是观测数据的单位的平方，而标准差的单位与观测数据的单位一致，因此我们常常用标准差来描述数据的离散程度；【说明】在实验中，为了消除系统性偏差，标准差公式中往往以代替，用来作为总体标准差的估计值；
【教师版】
《 第13 章 统计》【13.5.2 估计总体的数字特征】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、下列说法错误的是（ ）
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．众数是一组数据中出现次数最多的数
【提示】理解平均数、众数与中位数的定义；
【答案】B；
【解析】平均数不大于最大值，不小于最小值；故B错；
【考点】数字特征；
2、下列说法正确的是（ ）
A．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
【提示】理解刻画一组数据集中趋势的数字特征与用来刻画一组数据离散程度的数字特征；
【答案】B；
【解析】A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C中求和后还需取平均数；D中方差越大，射击越不平稳，水平越低．
【考点】通过样本估计总体的集中趋势、通过样本估计总体的离散程度；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分；
【提示】考查平均数；
【答案】85；
【解析】平均成绩为＝85(分)；
【考点】通过样本估计总体的集中趋势；
4、某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分是 分，众数是 分，中位数分别是 分；
【提示】理解平均数、中位数、众数的定义；
【答案】87，85，85；
【解析】由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，
平均数为＝87；
【考点】通过样本估计总体的集中趋势；【说明】平均数、中位数、众数
（1）平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝，叫作这n个数的平均数；（2）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数；（3）众数：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个；
5、如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是
【提示】理解平均数的计算方法；
【答案】8；
【解析】不妨，将新数据，记为：yi，则由题设得，与原有数据的关系为yi＝xi＋1(i＝1,2,3,4,5)，故新数据的平均数为＋1＝8；
【考点】通过样本估计总体的集中趋势；与数据处理的简单交汇；
6、样本容量为100的频率直方图如图所示，根据样本频率直方图，得平均数为________．
【提示】会识图与数据处理；
【答案】14.84；
【解析】平均数＝10×0.06＋12×0.1＋14×0.4＋16×0.24＋18×0.2＝14.84；
【考点】通过样本估计总体的集中趋势；
【说明】样本平均数的又一种求法：一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；
7、已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是
【提示】会依据公式处理数据；
【答案】0.1；；
【解析】5个数的平均数＝＝5.1，
所以它们的方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.
【考点】通过样本估计总体的离散程度；
【说明】用定义的公式计算样本数据方差的一般步骤：
①先求出样本平均数；
②再计算一组差：xi－(i＝1,2，…，n)；
③计算②中差的平方，得到一组新的数据：(x1－)2，(x2－)2，…，(xn－)2；
④计算③中这组新数据的平均数，即为所求的方差s2，
即；
方差的算术平方根：叫做样本数据的标准差；
标准差的平方s2称为方差，两者都可以测量样本数据的离散程度；方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差；
8、设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数为________和方差为 ；
【提示】会依据公式处理数据；
【答案】1＋a，4；
【解析】由＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的平均数为1＋a，
方差不变仍为4；
【考点】通过样本估计总体的集中趋势、通过样本估计总体的离散程度；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、（1）某班45名同学的年龄(单位：岁)如下：
14　15　14　16　15　17　16　15　16　16　15　15
17　13　14　15　16　16　15　14　15　15　14　15
16　17　16　15　15　15　16　15　13　16　15　15
17　14　15　16　16　15　14　15　15
求全班的平均年龄；
（2）从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率直方图．
试利用频率直方图估计高三年级学生的平均成绩．
【提示】注意仔细阅读与数据处理；
【解析】（1）方法1：利用平均数的公式计算：＝×(14＋15＋…＋15)＝×684＝15.2；
方法2：利用平均数的简化公式计算；取a＝15，将已知各数减去15，得
－1　 0　－1　1　0　2　 1　 0　 1　1　 0　0
　2　－2　－1　0　1　1　 0　－1　 0　0　－1　0
　1　 2　 1　0　0　0　 1　 0　－2　1 　0　0
　2　－1　 0　1　1　0　－1　 0　 0
′＝×(－1＋0＋…＋0)＝×9＝0.2，＝′＋a＝0.2＋15＝15.2；
方法3：利用加权平均数公式计算；＝×(13×2＋14×7＋15×20＋16×12＋17×4)＝×684＝15.2；
即全班的平均年龄是15.2岁；
（2）由频率直方图分布表与频率直方图，求样本平均数：是频率直方图的“重心”，即所有数据的平均数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可．
故平均成绩为
45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2(分)．
【说明】（1）给定一组数据，要求其平均数可直接套用公式，若这组数据都在某一数据附近波动，可用平均数的简化公式计算，若这组数据某些数多次出现，可用加权平均数公式计算；（2）在频率分布表中，平均数可用各组区间的组中值与对应频率之积进行估计；（3）若一组数据的个数未知，但每一数据所占比例已知，可用频率平均数公式。
【考点】通过样本估计总体的集中趋势、通过样本估计总体的离散程度；
10、某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时．为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表：
锻炼时长（小时） 5 6 7 8 9
男生人数（人 1 2 4 3 4
女生人数（人 3 8 6 2 1
（1）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长；
（2）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；
（3）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小．（直接写出结果）
【答案】（1）6.5（小时）；（2）；（3）．
【解析】（1）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为：（小时）
（2）从锻炼8小时的学生中有男生3人，设为，，，女生2人，设为，，
从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，基本事件总数为10，
分别为：，，，，，，，，，，选到男生和女生各1人包含的基本事件个数为6，分别为：，，，，，，选到男生和女生各1人的概率．
（3）由统计表得，该班男生锻炼时长相对分散，
所以，该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小为；
【考点】通过样本估计总体的集中趋势、通过样本估计总体的离散程度；
【附录】相关考点
考点一 数字特征 把能反映一组数据某种特征的量称为这组数据的数字特征；在初中阶段学习过的平均数、中位数和众数等，就是用来刻画一组数据集中趋势的数字特征，而方差和标准差则是用来刻画一组数据离散程度的数字特征；
考点二 通过样本估计总体的集中趋势 通过样本估计总体的集中趋势利用初中阶段学习过的平均数、中位数和众数，我们可以描述有限样本的集中趋势；例如，设样本数据为，由公式就得到样本平均数，它描述了样本数据的平均水平；如果个数据中不同的数据的频数分别为，那么样本平均数为；平均数反映的是平均水平，中位数反应的是中等水平，众数反应的是概率最大；它们都是用来刻画一组数据的集中趋势；
考点三 通过样本估计总体的离散程度 通过样本估计总体的离散程度在初中阶段我们已学习过用样本数据的方差来衡量一组数据的波动大小；一组数据的方差越大，表明这组数据波动越大；我们把方差的算术平方根叫做样本数据的标准差，它同样是一个用来衡量样本数据波动大小的统计量；方差和标准差都反映了一组数据围绕平均数波动的大小；方差的单位是观测数据的单位的平方，而标准差的单位与观测数据的单位一致，因此我们常常用标准差来描述数据的离散程度；【说明】在实验中，为了消除系统性偏差，标准差公式中往往以代替，用来作为总体标准差的估计值；
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