7.2.2_定理与证明 课件（共26张PPT）

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想一想
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那
么如何证实一个命题是真命题呢？
7.2 定义与命题
第七章 平行线的证明
第2课时 定理与证明
1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理．（重点）
2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性．（难点）
学习目标
1
知识点
定理与公理
用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.
这些方法往往不可靠.
能不能根据已经知道的真命题证实呢？
讲授新课
那已经知道的真命题又是如何证实的？
哦……那可怎么办？
讲授新课
新知讲解
通过刚刚的复习,我们回顾了真命题与假命题的概念,也知道要判断一个命题是假命题,只需要举出一个反例即可;但要判断一个命题是真命题,该怎么办呢
能用以前学习的观察、实验、验证特例的方法吗
这我们在以前的学习过程中已经探讨过,这种方法不可靠.那么,是否可以根据已经知道的真命题证实呢 试想一下,这样的真命题又该如何证实它是正确的呢
新知讲解
阅读教材P168~P169内容,并回答下列问题:
(1)什么叫公理 公理的意义是什么
(1)公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.
例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等的两个三角形全等”,
“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”……
新知讲解
阅读教材P168~P169内容,并回答下列问题:
(2)定理的概念是什么 它和公理有什么区别和联系
(2)定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据.
新知讲解
本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条，它们是：
（1）两点确定一条直线.
（2）两点之间线段最短.
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两
条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
新知讲解
本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条，它们是：
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（8）三边分别相等的两个三角形全等.
此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。
新知讲解
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c， 那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
新知讲解
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不
一定是真命题，因而不 能作为进一步判断其他命题真假的依据.
新知讲解
请用学过的公理或定理说明下面这些命题的正确性.
(1)同角(等角)的补角相等.
(2)同角(等角)的余角相等.
(3)三角形的任意两边之和大于第三边.
新知讲解
(1)已知∠1=∠2,∠3是∠1的补角,∠4是∠2的补角,求证∠3=∠4.
证明: ∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°(已知),
∴∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2(等式的性质).
又∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等量代换).
同理可证同角的补角相等.
(2)证明过程与(1)类似.
(3)任取三角形的两个顶点,根据公理“两点之间线段最短”可知命题正确.
新知讲解
为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们根据此题总结一下证明一个命题的一般步骤.
证明一个命题的一般步骤:
1.已知:写出命题的条件(必要时结合图形).
2.求证:写出命题的结论.
3.证明:写出演绎推理的过程.
下列命题不是公理的是(　　)
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等
导引：公认的真命题称为公理，其正确性不需要推理
证实．
C
讲授新课
例题1
2
知识点
证明的意义
演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命
题称为 定理. 每个定理都只能用公理、定义和已
经证明 为真的命题来证明.
讲授新课
定义、命题、公理 (基本事实)、定理之间的区别
与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、公理（基本事实）、定理都是真
命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的
依据，只不过公理（基本事实）是最原始的依
据；而命题不一定是真命题，因而不 一定能作
为进一步判断其他命题真假的依据.
讲授新课
证实其他命
题的正确性
推理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
原名、公理
一些条件
+
总结归纳
讲授新课
证明定理“对顶角相等”
如图，直线AB与直线CD相交于点O，
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD
证明：
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( )
平角的定义
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°
补角的定义
∴ ∠AOC =∠BOD ( )
同角的补角相等
∵直线AB与直线CD相交于点O ( )
∠BOD＋∠AOD＝180°
( )
已知
例题2
讲授新课
已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
典例精析
讲授新课
例题3
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
B
C
当堂练习
3.下列命题中，属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线；
B.同角的余角相等；
C.互补的两个角是邻补角；
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度.
D
4.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ）.
A.若a=b，b=c，则a=c；
B.对顶角相等
C.全等三角形的对应边相等，对应角相等
B,C
A
当堂练习
命题
证明：推理的过程
公理：公认的真命题
定理：经过证明的真命题
分类
课堂小结
谢谢
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