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高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册 4.3 等比数列
一、单选题
1.（2021高二上·河南期中）若 是各项均为正数的等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 32 B. -48 C. 16 D. -48或16
2.（2021高三上·太原期中）已知 为等比数列，且首项为31，公比为 ，则数列的前 项积取得最大值时， （ ）
A. 15 B. 16 C. 5 D. 6
3.（2021高三上·太原期中）设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.（2021高三上·海淀期中）已知等比数列 的公比为 ，若 为递增数列且 ，则（ ）
A. B. C. D.
5.（2021高二上·河南月考）已知数列 为各项都是正数的等比数列， ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
6.（2021高二上·河南月考）已知 为等比数列 则 （ ）
A. 4 B. -2 C. -6 D. 8
7.（2021高二上·河池月考）已知等比数列 中， ，则公比 （ ）
A. 2 B. -2 C. D.
8.（2021高二上·新郑月考）已知数列 满足 ， （ 为非零常数）， ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1024 D.
二、多选题
9.（2021高二下·淄博期末）等比数列 中， ，公比 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列 中的所有偶数项可以组成一个公比为 的等比数列
B. 设数列 的前 项和为 ，对 ， ， 恒成立
C. 数列 是递增数列
D. 数列 是首项和公差都小于0的等差数列
10.（2020高二上·揭阳期末）数列 的前 项和为 ，若 ， ，则有（ ）
A. B. 为等比数列 C. D.
11.（2020高二上·盘县期中）对任意等比数列 ，下列说法一定正确的是（ ）
A. ， ， 成等比数列 B. ， ， 成等比数列
C. ， ， 成等比数列 D. ， ， 成等比数列
12.（2020高二上·吴中期中）已知数列 是公比为q的等比数列， ，若数列 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题
13.（2021高二上·南阳月考）已知数列 满足 ，则 ．
14.（2021高二下·安徽月考）设各项为正的等比数列 的首项为1，且 ， ， 成等差数列，则 ．
15.（2020高二上·桂林期末）数列 的前 项和 满足 ，则数列 的通项公式 ________.
16.（2021高二上·潮州期末）已知在等比数列 中， ， ，则 ．
17.（2020高二上·商洛期末）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下 尺，第二天被截取剩下的一半剩下 尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下 尺，则 ．
四、解答题
18.（2021高二下·南昌期末）已知等差数列 满足 ，正项等比数列 满足首项为1，前3项和为7.
（1）求 与 的通项公式；
（2）求 的前n项和 .
19.（2021高二下·海南期末）在正项等比数列 中， ， .
（1）求 的公比 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
20.（2021高二下·房山期末）已知等比数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ；
（3）比较 与2的大小，并说明理由．
21.（2021高二下·杭州期末）已知 为等差数列， 是各项为正数且首项为2的等比数列， ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）求 .
22.（2021高二下·辽宁月考）已知数列 ，满足 ， ，设 ， （ 为实数）．
（1）求证： 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 是递增数列，求实数 的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质
【解析】【解答】设数列 的公比为 ，则 ，所以 （ 舍去），因此 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的公比，再结合等比数列的性质，进而求出的值。
2.【答案】 C
【考点】有理数指数幂的运算性质，数列的函数特性，等比数列的通项公式
【解析】【解答】 首项为31，公比为 ， ，
设数列的前 项积为 ，则 ，
，
可得当 时， ，此时 ，即 ,
当 时， ，此时 ， ，
所以当 时，前5项积最大。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而得出 ， 再利用指数幂的运算法则，从而求出数列的前 项积，从而得出 ， 再利用分类讨论的方法结合数列的前 项积的单调性，进而求出数列的前 项积的最大值，从而求出此时对应的n的值。
3.【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列 的公比为q，依题意， ，解得 ，
于是得 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
4.【答案】 C
【考点】数列的函数特性，等比数列
【解析】【解答】因为等比数列 为递增数列且 ，
所以 ，
则 ，即 ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件结合等比数列的定义，即可求出答案。
5.【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质
【解析】【解答】设数列 的首项为 ，公比为 ，由于数列 为各项都是正数的等比数列，
， ， ， ，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件结合等比数列的项的性质，计算出q的值，然后由等比数列的通项公式整理化简计算出结果即可。
6.【答案】 A
【考点】等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
， ，解得 ，
， ，解得 .
故答案为：A.
【分析】由等比数列的定义即可求出公比的值，然后由等比数列的通项公式计算出结果即可。
7.【答案】 B
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】∵ ，∴ ，解得 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意由等比数列的通项公式结合已知条件，计算出q的值即可。
8.【答案】 A
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由数列 为等比数列，得 ，
所以 ，
又因为数列 的首项 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用数列 满足 ， （ 为非零常数）结合等比数列的定义，从而判断出数列 为等比数列，再利用递推公式结合等比数列的通项公式，从而得出 ， 再结合已知条件，从而求出的值。
二、多选题
9.【答案】 A,B,C
【考点】数列的函数特性，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 可知A对；
由 ，公比 ，可知 ， 当 ， 时， 恒成立，B对；
由 ，公比 ，可知数列 是递增数列，C对；
与1无法比较大小， 数列 是首项无法和0比较，D不符合题意．
故答案为：ABC
【分析】根据题意由等比数列的通项公式结合q的性质即可判断出选项A正确；由数列的前n项和的定义结合已知条件即可判断出选项B正确；由数列首项和公比的性质即可判断出选项C正确；由等差数列的首项即可判断出选项D错误，由此得出答案。
10.【答案】 A,B,D
【考点】等比数列，数列递推式
【解析】【解答】由题意，数列 的前 项和满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，
可得 ，即 ，
又由 ，当 时， ，所以 ，
所以数列的通项公式为 ；
当 时， ，
又由 时， ，适合上式，
所以数列的 的前 项和为 ；
又由 ，所以数列 为公比为3的等比数列，
综上可得选项 是正确的.
故答案为：ABD.
【分析】利用题设条件，求得 的表达式，可判断A选项的正误；结合等比数列的定义，可判断B选项的正误；由数列中an和Sn的关系式求得，数列的通项公式，可判断C,D选项的正误。
11.【答案】 A,D
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设 的公比是 ，则 ，
A． ， ， ， 成等比数列，正确；
B， ， ，在 时，两者不相等，错误；
C． ， ，在 时，两者不相等，错误；
D． ， ， ， 成等比数列，正确．
故答案为：AD．
【分析】首先根据等比数列的通项公式 ， 对选项里的项进行验证即可得出结论。
12.【答案】 B,D
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】
数列 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中
数列 有连续四项在集合 ， ，18，36， 中
又 数列 是公比为 的等比数列，
在集合 ， ，18，36， 中，数列 的连续四项只能是： ，36， ，81或81， ，36， .
或 .
故答案为：BD
【分析】先分析得到数列 有连续四项在集合 ， ，18，36， 中，再求等比数列的公比.
三、填空题
13.【答案】
【考点】等比数列的通项公式，数列递推式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
由 ，所以 为首项为2，公比为3的等比数列，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】 根据题意，利用递推关系式推出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.
14.【答案】
【考点】等比数列的通项公式，等差数列的性质
【解析】【解答】设 的公比为q ， 则 ，即 ， （舍去）或 ，所以 。
【分析】利用已知条件结合等差中项的公式，再结合等比数列的通项公式，从而求出满足要求的公比的值，再利用等比数列的通项公式，从而求出等比数列的通项公式。
15.【答案】
【考点】等比数列，等比数列的通项公式，数列递推式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
故数列 是首项为2、公比为2的等比数列， ，
故答案为： 。
【分析】利用与的关系式结合已知条件，从而结合分类讨论的方法，进而结合等比数列的定义，推出数列 是首项为2、公比为2的等比数列，再利用等比数列通项公式求出数列 的通项公式。
16.【答案】 2
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
故 .
故答案为：2.
【分析】利用等比中项的性质结合题意即可求出 ， 再由等比数列的通项公式计算出q的值，然后由等比数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
17.【答案】 24
【考点】等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【解答】依题意可知， ， ， ，…成等比数列，且公比为 ，
则 ．
故答案为：24．
【分析】依题意可知， ， ， ，…成等比数列，且公比为 ， 利用等比数列的通项公式可得 的值 。
四、解答题
18.【答案】 （1）解：设等差数列 的公差为d，
由 ，可得 ，
解得 ，则 ；
设正项等比数列 的公比为q，q>0，
由首项为1，前3项和为7，可得 ，解得q=2，
则 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
则 ，
两式相减可得 = ，
所以 .
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，从而求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用已知条件结合等比数列前n项和公式，从而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 与 的通项公式 ，进而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出数列 的前n项的和。
19.【答案】 （1）解：由条件得 ，得 ，
又因为 ，即 ，所以 .
（2）由（1）知， .
所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 .
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求出 的公比 ；
（2） 由（1）知， 可得 是以3为首项，3为公比的等比数列， 再根据等比数列的前n和公式求解可得。
20.【答案】 （1）设等比数列的公比为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ；
（3）因为 且 ，
所以 ，即 .
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，计算可得；
（2）利用等比数列前n项和公式进行计算即可；
（3）由 且 可得 。
21.【答案】 （1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
由已知 ，得 ，而 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以， .
由 ，可得 ①.
由 ，可得 ②，
联立①②，解得 ， ，由此可得 .
所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .
（2） .
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）将条件转化为a1, d, b1, q,通过解方程即可求解;
（2）判断数列{(-1)n bnbn+1}为等比数列，利用求和公式求解.
22.【答案】 （1）因为 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是等比数列．
（2）由 ，公比为2，
得 ，
所以 ．
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 是递增数列，所以 成立，
故 ， 成立，
即 ， 成立，
因为 是递减数列，
所以该数列的最大项是 ，
所以 的取值范围是 ．
【考点】等比数列的通项公式，数列递推式
【解析】【分析】（1） 由题意可知 ， 即 ，判断数列是等比数列。
（2）由 可得 的通项公式；
（3）由递推式计算 ， 由题意知 ，即 ， 成立 ，分析可知 的取值范围 。
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一、单选题
1.（2021高二上·河南期中）若 是各项均为正数的等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 32 B. -48 C. 16 D. -48或16
【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质
【解析】【解答】设数列 的公比为 ，则 ，所以 （ 舍去），因此 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的公比，再结合等比数列的性质，进而求出的值。
2.（2021高三上·太原期中）已知 为等比数列，且首项为31，公比为 ，则数列的前 项积取得最大值时， （ ）
A. 15 B. 16 C. 5 D. 6
【答案】 C
【考点】有理数指数幂的运算性质，数列的函数特性，等比数列的通项公式
【解析】【解答】 首项为31，公比为 ， ，
设数列的前 项积为 ，则 ，
，
可得当 时， ，此时 ，即 ,
当 时， ，此时 ， ，
所以当 时，前5项积最大。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而得出 ， 再利用指数幂的运算法则，从而求出数列的前 项积，从而得出 ， 再利用分类讨论的方法结合数列的前 项积的单调性，进而求出数列的前 项积的最大值，从而求出此时对应的n的值。
3.（2021高三上·太原期中）设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列 的公比为q，依题意， ，解得 ，
于是得 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
4.（2021高三上·海淀期中）已知等比数列 的公比为 ，若 为递增数列且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】数列的函数特性，等比数列
【解析】【解答】因为等比数列 为递增数列且 ，
所以 ，
则 ，即 ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件结合等比数列的定义，即可求出答案。
5.（2021高二上·河南月考）已知数列 为各项都是正数的等比数列， ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质
【解析】【解答】设数列 的首项为 ，公比为 ，由于数列 为各项都是正数的等比数列，
， ， ， ，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件结合等比数列的项的性质，计算出q的值，然后由等比数列的通项公式整理化简计算出结果即可。
6.（2021高二上·河南月考）已知 为等比数列 则 （ ）
A. 4 B. -2 C. -6 D. 8
【答案】 A
【考点】等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
， ，解得 ，
， ，解得 .
故答案为：A.
【分析】由等比数列的定义即可求出公比的值，然后由等比数列的通项公式计算出结果即可。
7.（2021高二上·河池月考）已知等比数列 中， ，则公比 （ ）
A. 2 B. -2 C. D.
【答案】 B
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】∵ ，∴ ，解得 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意由等比数列的通项公式结合已知条件，计算出q的值即可。
8.（2021高二上·新郑月考）已知数列 满足 ， （ 为非零常数）， ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1024 D.
【答案】 A
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由数列 为等比数列，得 ，
所以 ，
又因为数列 的首项 ，所以 。
故答案为：A.
【分析】利用数列 满足 ， （ 为非零常数）结合等比数列的定义，从而判断出数列 为等比数列，再利用递推公式结合等比数列的通项公式，从而得出 ， 再结合已知条件，从而求出的值。
二、多选题
9.（2021高二下·淄博期末）等比数列 中， ，公比 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列 中的所有偶数项可以组成一个公比为 的等比数列
B. 设数列 的前 项和为 ，对 ， ， 恒成立
C. 数列 是递增数列
D. 数列 是首项和公差都小于0的等差数列
【答案】 A,B,C
【考点】数列的函数特性，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 可知A对；
由 ，公比 ，可知 ， 当 ， 时， 恒成立，B对；
由 ，公比 ，可知数列 是递增数列，C对；
与1无法比较大小， 数列 是首项无法和0比较，D不符合题意．
故答案为：ABC
【分析】根据题意由等比数列的通项公式结合q的性质即可判断出选项A正确；由数列的前n项和的定义结合已知条件即可判断出选项B正确；由数列首项和公比的性质即可判断出选项C正确；由等差数列的首项即可判断出选项D错误，由此得出答案。
10.（2020高二上·揭阳期末）数列 的前 项和为 ，若 ， ，则有（ ）
A. B. 为等比数列 C. D.
【答案】 A,B,D
【考点】等比数列，数列递推式
【解析】【解答】由题意，数列 的前 项和满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，
可得 ，即 ，
又由 ，当 时， ，所以 ，
所以数列的通项公式为 ；
当 时， ，
又由 时， ，适合上式，
所以数列的 的前 项和为 ；
又由 ，所以数列 为公比为3的等比数列，
综上可得选项 是正确的.
故答案为：ABD.
【分析】利用题设条件，求得 的表达式，可判断A选项的正误；结合等比数列的定义，可判断B选项的正误；由数列中an和Sn的关系式求得，数列的通项公式，可判断C,D选项的正误。
11.（2020高二上·盘县期中）对任意等比数列 ，下列说法一定正确的是（ ）
A. ， ， 成等比数列 B. ， ， 成等比数列
C. ， ， 成等比数列 D. ， ， 成等比数列
【答案】 A,D
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设 的公比是 ，则 ，
A． ， ， ， 成等比数列，正确；
B， ， ，在 时，两者不相等，错误；
C． ， ，在 时，两者不相等，错误；
D． ， ， ， 成等比数列，正确．
故答案为：AD．
【分析】首先根据等比数列的通项公式 ， 对选项里的项进行验证即可得出结论。
12.（2020高二上·吴中期中）已知数列 是公比为q的等比数列， ，若数列 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B,D
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】
数列 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中
数列 有连续四项在集合 ， ，18，36， 中
又 数列 是公比为 的等比数列，
在集合 ， ，18，36， 中，数列 的连续四项只能是： ，36， ，81或81， ，36， .
或 .
故答案为：BD
【分析】先分析得到数列 有连续四项在集合 ， ，18，36， 中，再求等比数列的公比.
三、填空题
13.（2021高二上·南阳月考）已知数列 满足 ，则 ．
【答案】
【考点】等比数列的通项公式，数列递推式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
由 ，所以 为首项为2，公比为3的等比数列，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】 根据题意，利用递推关系式推出数列为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.
14.（2021高二下·安徽月考）设各项为正的等比数列 的首项为1，且 ， ， 成等差数列，则 ．
【答案】
【考点】等比数列的通项公式，等差数列的性质
【解析】【解答】设 的公比为q ， 则 ，即 ， （舍去）或 ，所以 。
【分析】利用已知条件结合等差中项的公式，再结合等比数列的通项公式，从而求出满足要求的公比的值，再利用等比数列的通项公式，从而求出等比数列的通项公式。
15.（2020高二上·桂林期末）数列 的前 项和 满足 ，则数列 的通项公式 ________.
【答案】
【考点】等比数列，等比数列的通项公式，数列递推式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
故数列 是首项为2、公比为2的等比数列， ，
故答案为： 。
【分析】利用与的关系式结合已知条件，从而结合分类讨论的方法，进而结合等比数列的定义，推出数列 是首项为2、公比为2的等比数列，再利用等比数列通项公式求出数列 的通项公式。
16.（2021高二上·潮州期末）已知在等比数列 中， ， ，则 ．
【答案】 2
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
故 .
故答案为：2.
【分析】利用等比中项的性质结合题意即可求出 ， 再由等比数列的通项公式计算出q的值，然后由等比数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
17.（2020高二上·商洛期末）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下 尺，第二天被截取剩下的一半剩下 尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下 尺，则 ．
【答案】 24
【考点】等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【解答】依题意可知， ， ， ，…成等比数列，且公比为 ，
则 ．
故答案为：24．
【分析】依题意可知， ， ， ，…成等比数列，且公比为 ， 利用等比数列的通项公式可得 的值 。
四、解答题
18.（2021高二下·南昌期末）已知等差数列 满足 ，正项等比数列 满足首项为1，前3项和为7.
（1）求 与 的通项公式；
（2）求 的前n项和 .
【答案】 （1）解：设等差数列 的公差为d，
由 ，可得 ，
解得 ，则 ；
设正项等比数列 的公比为q，q>0，
由首项为1，前3项和为7，可得 ，解得q=2，
则 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
则 ，
两式相减可得 = ，
所以 .
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，从而求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用已知条件结合等比数列前n项和公式，从而求出等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 与 的通项公式 ，进而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出数列 的前n项的和。
19.（2021高二下·海南期末）在正项等比数列 中， ， .
（1）求 的公比 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】 （1）解：由条件得 ，得 ，
又因为 ，即 ，所以 .
（2）由（1）知， .
所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 .
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求出 的公比 ；
（2） 由（1）知， 可得 是以3为首项，3为公比的等比数列， 再根据等比数列的前n和公式求解可得。
20.（2021高二下·房山期末）已知等比数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ；
（3）比较 与2的大小，并说明理由．
【答案】 （1）设等比数列的公比为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ；
（3）因为 且 ，
所以 ，即 .
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，计算可得；
（2）利用等比数列前n项和公式进行计算即可；
（3）由 且 可得 。
21.（2021高二下·杭州期末）已知 为等差数列， 是各项为正数且首项为2的等比数列， ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）求 .
【答案】 （1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
由已知 ，得 ，而 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以， .
由 ，可得 ①.
由 ，可得 ②，
联立①②，解得 ， ，由此可得 .
所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .
（2） .
【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）将条件转化为a1, d, b1, q,通过解方程即可求解;
（2）判断数列{(-1)n bnbn+1}为等比数列，利用求和公式求解.
22.（2021高二下·辽宁月考）已知数列 ，满足 ， ，设 ， （ 为实数）．
（1）求证： 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 是递增数列，求实数 的取值范围．
【答案】 （1）因为 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是等比数列．
（2）由 ，公比为2，
得 ，
所以 ．
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 是递增数列，所以 成立，
故 ， 成立，
即 ， 成立，
因为 是递减数列，
所以该数列的最大项是 ，
所以 的取值范围是 ．
【考点】等比数列的通项公式，数列递推式
【解析】【分析】（1） 由题意可知 ， 即 ，判断数列是等比数列。
（2）由 可得 的通项公式；
（3）由递推式计算 ， 由题意知 ，即 ， 成立 ，分析可知 的取值范围 。
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