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高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册 4.3 等比数列前n项和
一、单选题
1.（2021高二上·商丘期中）在正项等比数列 中， ， ， 的前 项和为 ，前 项积为 ，则满足 的最大正整数 的值为（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
2.（2021高二上·商丘期中）已知正项等比数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 32 B. 21 C. 16 D. 8
3.（2021高三上·赣州期中）已知 为等比数列 的前n项和， ， ，则 （ ）．
A. 30 B. -20 C. -30 D. 30或-20
4.（2021高二上·河南月考）设等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A. 28 B. 36 C. D.
5.（2021高二上·河南月考）设等比数列 的前 项和为 则 （ ）
A. 27 B. 36 C. 63 D. 72
6.（2021高三上·五华月考）已知递增等比数列 的前 项和为 ， ， ， ， ，则 （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.（2021高三上·长治月考）已知 是首项为2的等比数列， 是其前n项和，且 ，则数列 前20项和为（ ）
A. ﹣360 B. ﹣380 C. 360 D. 380
8.（2021高一下·抚州期末）已知正项等比数列 中 ， ，则数列 中前9项的和为（ ）
A. 21或39 B. 21 C. 45 D. 39
二、多选题
9.（2021高三上·顺德月考）已知 是公比q的正项等比数列 的前n项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列 是等比数列
C. D. 数列 是公差为2的等差数列
10.（2021高二下·河北期末）已知各项均为正数的等比数列 ， 是数列 的前 项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.（2020高三上·湖北期中）如图，已知四边形 中， 为边 上的一列点，连接 交 于 ，点 满足 ，其中数列 是首项为1的正项数列， 是数列 的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 数列 是等比数列 C. D.
12.（2019高二上·章丘月考）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题
13.（2021高三上·湖州期中）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙 尺；若城墙厚20尺，则至少在第 天相遇．
14.（2021高三上·贵州月考）已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项和为Sn ， 且S2=6，S3=14，则a1= .
15.（2021高三上·湖北开学考）已知等比数列 的前 项和分别记为 ，且 ，则 .
16.（2021高二下·杭州期中）已知 为等比数列， ， ，那么数列 的公比为 ， 数列 的前5项的和为 ．
17.（2021·梅州模拟）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则 ．
四、解答题
18.（2021高二上·南阳月考）在数列 中，
（1）求证:数列 是等比数列;
（2）求数列 的前 项和 .
19.（2021·河北模拟）已知数列 ， 满足 ，且 是公差为1的等差数列， 是公比为2的等比数列.
（1）求 ， 的通项公式；
（2）求 的前n项和 .
20.（2021高一下·内江期末）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
21.（2021·中卫模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和为 ．
22.（2021·海南模拟）在等比数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
23.（2021·长春模拟）已知等比数列 满足： ．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，其前 项和为 ，若 恒成立，求 的最小值．
24.（2020高二上·黄陵期末）已知 是等比数列， ， 是等差数列， ，
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】等差数列的前n项和，等比数列的前n项和
【解析】【解答】设正项等比数列 的公比为 ，则 ，即 ，
，则 ， ，
所以， ，
，
因为 ，即 ，即 ，即 ，
解得 ，因为 ，则 ，
因此，满足条件的正整数 的最大值为12.
故答案为：B.
【分析】 求出等比数列 的公比和首项，利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式可得出关于n的不等式，求出n的取值范围，即可得解.
2.【答案】 B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】设正项等比数列 的公比为 ，则 ，
所以， .
故答案为：B.
【分析】求出等比数列的公比，结合等比数列的求和公式可求得 的值 。
3.【答案】 A
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 得 ，则等比数列 的公比 ，
则 得 ，令 ，则 即 ，
解得 或 （舍去）， ，则 ．
故答案为：A．
【分析】由已知条件结合等比数列的前n项和公式即可得出 ， 令整理化简得到关于t的方程，求解出t的取值，进而得到 ， 由此即可得出答案。
4.【答案】 D
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题知公比不为0，设等比数列 的公比为 ，则 ，
，所以 ，
又因为 ，解得 ，
.
故答案为：D.
【分析】首先由等比数列的通项公式整理化简已知条件，再由等比数列的前n项和公式整理得到q的取值，结合已知条件即可计算出 ， 从而由数列的前n项和公式的定义以及等比数列的项的性质，计算出结果即可。
5.【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由题意，设等比数列 的公比为
，
又
故答案为：C
【分析】根据题意由等比数列的通项公式整理化简得到q的值，然后由等比数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
6.【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得an>0，则由 ， 即 ， 解得a1=2，a3=8，则q=2
故由得n=6.
故答案为：C
【分析】根据等比数列的通项公式与前n项和公式求解即可.
7.【答案】 A
【考点】等差数列的前n项和，等比数列的通项公式
【解析】【解答】根据题意 ，所以 ，
从而有 ，
所以 ，
所以数列 的前20项和等于
故答案为：A.
【分析】 利用等比数列前n项和公式求出,从而得到 ， 进而,由此能求出数列 的前20项和.
8.【答案】 D
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设正项的等比数列 的公比为 ，
因为正项等比数列 中 ， ，
可得 ，解得 ，
又由 ，
所以等比数列 中前9项的和为 .
故答案为：D.
【分析】 先求出等比数列的首项与公比，再求出数列{an}前9项的和.
二、多选题
9.【答案】 A,B,C
【考点】等差数列，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】公比q为正数，且 ， ， ，
又 ，解得 ， .
， ， ，
∴数列 是公比为2的等比数列. ，ABC符合题意，
，数列 是公差为 的等差数列，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】 由已知结合等比数列的通项公式可求a1,q，然后结合等比数列的求和公式及定义，等差数列的定义检验各选项即可判断.
10.【答案】 A,C,D
【考点】对数的运算性质，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列 的公比为 ，因为 ， ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，A符合题意，B不符合题意；
，C符合题意；
当 时， ，
，
故 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】设等比数列 的公比为 ， 根据 ， 即可计算出q值，从而得到通项公式与前n项和公式即可对选项进行逐一判断，可得答案。
11.【答案】 A,B
【考点】等比数列，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 得
因为 三点共线，所以 ，则
又 ，所以 是以4为首项，公比为2的等比数列，
所以 ，故 ．
则 ， ，
所以AB符合题意，CD不符合题意．
故答案为：AB
【分析】 由三点共线的向量表示可得 ， 构造数列 ， 结合等比数列的定义、通项公式和求和公式，可得结论.
12.【答案】 A,D
【考点】数列的函数特性，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】① , 与题设 矛盾.
② 符合题意.
③ 与题设 矛盾.
④ 与题设 矛盾.
得 ，则 的最大值为 .
B，C，错误.
故答案为：AD.
【分析】分类讨论 大于1的情况，得出符合题意的一项.
三、填空题
13.【答案】 ；5
【考点】数列的函数特性，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以 为公比的等比数列，前 天打洞之和为 ，
所以小老鼠第三天穿城墙的厚度为 ；
大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前 天打洞之和为 ，
所以两只老鼠第 天打洞穿墙的厚度之和为 ，且数列 为递增数列，
因为 ， ，
因为城墙厚20尺，
所以这两只老鼠至少5天相遇。
故答案为： ；5。
【分析】由题意结合等比数列的定义可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以 为公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求出前 天打洞之和，进而求出小老鼠第三天穿城墙的厚度，再利用等比数列的定义，推出大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求出前 天打洞之和，进而求出两只老鼠第 天打洞穿墙的厚度之和为 ，再利用增函数的定义推出数列 为递增数列，再利用代入法得出 的值 ，再利用城墙厚20尺，从而求出这两只老鼠至少5天相遇。
14.【答案】 2
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，得 或 （舍去），故 .
故答案为：2.
【分析】利用等比数列的基本量代换，联立方程组，即可求出a1。
15.【答案】 12
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】令 可得 ，设 ， ；
令 可得 ，解得 ①；
令 可得 ，即 ②；
由①②可得： ，
所以 ， ，经检验， ， 适合题意.
所以 ，
故答案为：12.
【分析】根据题意由特殊值法结合等比数列的通项公式和前n项和公式，求解出q的值然后等比数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
16.【答案】 ；31
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得 ， 则,
则 数列 是以为首项，以为公比的等比数列，
则所求前5项之和为
故答案为： ， 31
【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式直接求解即可.
17.【答案】 502
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由数列 的前 项和 ，且满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
则 ，所以 ，
所以
.
故答案为：502.
【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，结合等比数列的通项公式以及等比数列前n项和公式计算出结果即可。
四、解答题
18.【答案】 （1）由已知得 ，又
所以数列 是公比为4的等比数列
（2）由（1）得 ，
所以
.
【考点】等差数列的前n项和，等比数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)将 变形为 ， 结合等比数列的定义，即可得证；
(2) 由（1）得 ， ，结合等差数列和等比数列的求和公式即可求得 数列 的前 项和 .
19.【答案】 （1）因为 是公差为1的等差数列， ，所以 .
又 是公比为2的等比数列， ，所以 ，
故 .
（2）因为 ，所以 为递增数列，
又 ， ， ，故当 时，恒有 ，
故
记 的前n项和为 ，
则 .
当 时， ；
当 时， .
综上， .
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】 (1 )利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
(2)先研究数列 单调性,对n分类讨论，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
20.【答案】 （1）由题意可知
解得
所以数列 的通项公式为 .
（2）
数列 的前 项和 .
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列前n项和公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（2）利用 结合（1）中的数列 的通项公式， 从而求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
21.【答案】 （1）解：由 可知数列 是公比为2的等比数列，所以 ．
又因为 ，所以 ，所以 ．
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：由（1）知 ，
所以 .
【考点】等差数列的前n项和，等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【分析】 （1）由等比数列的定义和通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求；
（2）由对数的运算性质和等差数列的求和公式，计算可得所求和.
22.【答案】 （1）解：设 的公比为 ，
∴由题设，得 ，又 ，得 ，
∴
（2）解：由（1）， .
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， .
而 ，
∴
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）将已知的二等式用a1,q表示，联立求解a1,q的值，进而得到 的通项公式 ；
（2）由 这一关系，以及（1）所得的结果，先写出 . 后计算 进下得到结果。
23.【答案】 （1）解：由题意可得： ，
解得： ， ，
故 的通项公式为 ，
（2）解： ，
， ，
令 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
又 ，
，
又 ，
，
即 ，
故 ，
故 的最小值为
【考点】函数单调性的性质，等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）利用数列 的通项公式结合 ， 从而求出数列的通项公式，进而求出 ， ， 令 ， 再利用分类讨论的方法结合增函数的定义和减函数的定义，从而判断出函数的单调性，再利用函数的单调性结合不等式 恒成立问题求解方法，进而求出 的取值范围，进而求出 的最小值。
24.【答案】 （1）解：设等比 的公比为 ，由 ，得 ，解得 ，
所以 ；
设等差 的公差为 ，由 ，得 ，解得 ，
所以
（2）解：由（1）得 ．
所以
．
所以数列 的前 项和
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）分别求出等差数列和等比数列的公差和公比，然后可得两数列的通项公式；
（2）由（1）得到数列 的通项公式，再根据分组求和法求解，即可得到结果。
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一、单选题
1.（2021高二上·商丘期中）在正项等比数列 中， ， ， 的前 项和为 ，前 项积为 ，则满足 的最大正整数 的值为（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】 B
【考点】等差数列的前n项和，等比数列的前n项和
【解析】【解答】设正项等比数列 的公比为 ，则 ，即 ，
，则 ， ，
所以， ，
，
因为 ，即 ，即 ，即 ，
解得 ，因为 ，则 ，
因此，满足条件的正整数 的最大值为12.
故答案为：B.
【分析】 求出等比数列 的公比和首项，利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式可得出关于n的不等式，求出n的取值范围，即可得解.
2.（2021高二上·商丘期中）已知正项等比数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 32 B. 21 C. 16 D. 8
【答案】 B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】设正项等比数列 的公比为 ，则 ，
所以， .
故答案为：B.
【分析】求出等比数列的公比，结合等比数列的求和公式可求得 的值 。
3.（2021高三上·赣州期中）已知 为等比数列 的前n项和， ， ，则 （ ）．
A. 30 B. -20 C. -30 D. 30或-20
【答案】 A
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 得 ，则等比数列 的公比 ，
则 得 ，令 ，则 即 ，
解得 或 （舍去）， ，则 ．
故答案为：A．
【分析】由已知条件结合等比数列的前n项和公式即可得出 ， 令整理化简得到关于t的方程，求解出t的取值，进而得到 ， 由此即可得出答案。
4.（2021高二上·河南月考）设等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A. 28 B. 36 C. D.
【答案】 D
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题知公比不为0，设等比数列 的公比为 ，则 ，
，所以 ，
又因为 ，解得 ，
.
故答案为：D.
【分析】首先由等比数列的通项公式整理化简已知条件，再由等比数列的前n项和公式整理得到q的取值，结合已知条件即可计算出 ， 从而由数列的前n项和公式的定义以及等比数列的项的性质，计算出结果即可。
5.（2021高二上·河南月考）设等比数列 的前 项和为 则 （ ）
A. 27 B. 36 C. 63 D. 72
【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】由题意，设等比数列 的公比为
，
又
故答案为：C
【分析】根据题意由等比数列的通项公式整理化简得到q的值，然后由等比数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
6.（2021高三上·五华月考）已知递增等比数列 的前 项和为 ， ， ， ， ，则 （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】 C
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得an>0，则由 ， 即 ， 解得a1=2，a3=8，则q=2
故由得n=6.
故答案为：C
【分析】根据等比数列的通项公式与前n项和公式求解即可.
7.（2021高三上·长治月考）已知 是首项为2的等比数列， 是其前n项和，且 ，则数列 前20项和为（ ）
A. ﹣360 B. ﹣380 C. 360 D. 380
【答案】 A
【考点】等差数列的前n项和，等比数列的通项公式
【解析】【解答】根据题意 ，所以 ，
从而有 ，
所以 ，
所以数列 的前20项和等于
故答案为：A.
【分析】 利用等比数列前n项和公式求出,从而得到 ， 进而,由此能求出数列 的前20项和.
8.（2021高一下·抚州期末）已知正项等比数列 中 ， ，则数列 中前9项的和为（ ）
A. 21或39 B. 21 C. 45 D. 39
【答案】 D
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设正项的等比数列 的公比为 ，
因为正项等比数列 中 ， ，
可得 ，解得 ，
又由 ，
所以等比数列 中前9项的和为 .
故答案为：D.
【分析】 先求出等比数列的首项与公比，再求出数列{an}前9项的和.
二、多选题
9.（2021高三上·顺德月考）已知 是公比q的正项等比数列 的前n项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列 是等比数列
C. D. 数列 是公差为2的等差数列
【答案】 A,B,C
【考点】等差数列，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】公比q为正数，且 ， ， ，
又 ，解得 ， .
， ， ，
∴数列 是公比为2的等比数列. ，ABC符合题意，
，数列 是公差为 的等差数列，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】 由已知结合等比数列的通项公式可求a1,q，然后结合等比数列的求和公式及定义，等差数列的定义检验各选项即可判断.
10.（2021高二下·河北期末）已知各项均为正数的等比数列 ， 是数列 的前 项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A,C,D
【考点】对数的运算性质，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列 的公比为 ，因为 ， ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，A符合题意，B不符合题意；
，C符合题意；
当 时， ，
，
故 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】设等比数列 的公比为 ， 根据 ， 即可计算出q值，从而得到通项公式与前n项和公式即可对选项进行逐一判断，可得答案。
11.（2020高三上·湖北期中）如图，已知四边形 中， 为边 上的一列点，连接 交 于 ，点 满足 ，其中数列 是首项为1的正项数列， 是数列 的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 数列 是等比数列 C. D.
【答案】 A,B
【考点】等比数列，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 得
因为 三点共线，所以 ，则
又 ，所以 是以4为首项，公比为2的等比数列，
所以 ，故 ．
则 ， ，
所以AB符合题意，CD不符合题意．
故答案为：AB
【分析】 由三点共线的向量表示可得 ， 构造数列 ， 结合等比数列的定义、通项公式和求和公式，可得结论.
12.（2019高二上·章丘月考）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】 A,D
【考点】数列的函数特性，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】① , 与题设 矛盾.
② 符合题意.
③ 与题设 矛盾.
④ 与题设 矛盾.
得 ，则 的最大值为 .
B，C，错误.
故答案为：AD.
【分析】分类讨论 大于1的情况，得出符合题意的一项.
三、填空题
13.（2021高三上·湖州期中）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙 尺；若城墙厚20尺，则至少在第 天相遇．
【答案】 ；5
【考点】数列的函数特性，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以 为公比的等比数列，前 天打洞之和为 ，
所以小老鼠第三天穿城墙的厚度为 ；
大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前 天打洞之和为 ，
所以两只老鼠第 天打洞穿墙的厚度之和为 ，且数列 为递增数列，
因为 ， ，
因为城墙厚20尺，
所以这两只老鼠至少5天相遇。
故答案为： ；5。
【分析】由题意结合等比数列的定义可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以 为公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求出前 天打洞之和，进而求出小老鼠第三天穿城墙的厚度，再利用等比数列的定义，推出大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求出前 天打洞之和，进而求出两只老鼠第 天打洞穿墙的厚度之和为 ，再利用增函数的定义推出数列 为递增数列，再利用代入法得出 的值 ，再利用城墙厚20尺，从而求出这两只老鼠至少5天相遇。
14.（2021高三上·贵州月考）已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项和为Sn ， 且S2=6，S3=14，则a1= .
【答案】 2
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，得 或 （舍去），故 .
故答案为：2.
【分析】利用等比数列的基本量代换，联立方程组，即可求出a1。
15.（2021高三上·湖北开学考）已知等比数列 的前 项和分别记为 ，且 ，则 .
【答案】 12
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】令 可得 ，设 ， ；
令 可得 ，解得 ①；
令 可得 ，即 ②；
由①②可得： ，
所以 ， ，经检验， ， 适合题意.
所以 ，
故答案为：12.
【分析】根据题意由特殊值法结合等比数列的通项公式和前n项和公式，求解出q的值然后等比数列的通项公式代入数值计算出结果即可。
16.（2021高二下·杭州期中）已知 为等比数列， ， ，那么数列 的公比为 ， 数列 的前5项的和为 ．
【答案】 ；31
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得 ， 则,
则 数列 是以为首项，以为公比的等比数列，
则所求前5项之和为
故答案为： ， 31
【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式直接求解即可.
17.（2021·梅州模拟）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则 ．
【答案】 502
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】由数列 的前 项和 ，且满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，即 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
则 ，所以 ，
所以
.
故答案为：502.
【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，结合等比数列的通项公式以及等比数列前n项和公式计算出结果即可。
四、解答题
18.（2021高二上·南阳月考）在数列 中，
（1）求证:数列 是等比数列;
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】 （1）由已知得 ，又
所以数列 是公比为4的等比数列
（2）由（1）得 ，
所以
.
【考点】等差数列的前n项和，等比数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)将 变形为 ， 结合等比数列的定义，即可得证；
(2) 由（1）得 ， ，结合等差数列和等比数列的求和公式即可求得 数列 的前 项和 .
19.（2021·河北模拟）已知数列 ， 满足 ，且 是公差为1的等差数列， 是公比为2的等比数列.
（1）求 ， 的通项公式；
（2）求 的前n项和 .
【答案】 （1）因为 是公差为1的等差数列， ，所以 .
又 是公比为2的等比数列， ，所以 ，
故 .
（2）因为 ，所以 为递增数列，
又 ， ， ，故当 时，恒有 ，
故
记 的前n项和为 ，
则 .
当 时， ；
当 时， .
综上， .
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】 (1 )利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
(2)先研究数列 单调性,对n分类讨论，再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
20.（2021高一下·内江期末）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】 （1）由题意可知
解得
所以数列 的通项公式为 .
（2）
数列 的前 项和 .
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列前n项和公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（2）利用 结合（1）中的数列 的通项公式， 从而求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
21.（2021·中卫模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和为 ．
【答案】 （1）解：由 可知数列 是公比为2的等比数列，所以 ．
又因为 ，所以 ，所以 ．
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：由（1）知 ，
所以 .
【考点】等差数列的前n项和，等比数列，等比数列的通项公式
【解析】【分析】 （1）由等比数列的定义和通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求；
（2）由对数的运算性质和等差数列的求和公式，计算可得所求和.
22.（2021·海南模拟）在等比数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】 （1）解：设 的公比为 ，
∴由题设，得 ，又 ，得 ，
∴
（2）解：由（1）， .
当 为奇数时， ；
当 为偶数时， .
而 ，
∴
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）将已知的二等式用a1,q表示，联立求解a1,q的值，进而得到 的通项公式 ；
（2）由 这一关系，以及（1）所得的结果，先写出 . 后计算 进下得到结果。
23.（2021·长春模拟）已知等比数列 满足： ．
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，其前 项和为 ，若 恒成立，求 的最小值．
【答案】 （1）解：由题意可得： ，
解得： ， ，
故 的通项公式为 ，
（2）解： ，
， ，
令 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
又 ，
，
又 ，
，
即 ，
故 ，
故 的最小值为
【考点】函数单调性的性质，等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）利用数列 的通项公式结合 ， 从而求出数列的通项公式，进而求出 ， ， 令 ， 再利用分类讨论的方法结合增函数的定义和减函数的定义，从而判断出函数的单调性，再利用函数的单调性结合不等式 恒成立问题求解方法，进而求出 的取值范围，进而求出 的最小值。
24.（2020高二上·黄陵期末）已知 是等比数列， ， 是等差数列， ，
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】 （1）解：设等比 的公比为 ，由 ，得 ，解得 ，
所以 ；
设等差 的公差为 ，由 ，得 ，解得 ，
所以
（2）解：由（1）得 ．
所以
．
所以数列 的前 项和
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）分别求出等差数列和等比数列的公差和公比，然后可得两数列的通项公式；
（2）由（1）得到数列 的通项公式，再根据分组求和法求解，即可得到结果。
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