2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1 等比数列的概念 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
§4.3.1 等比数列的概念
事实
下定义
等差数列
通项公式
性质
等差数列前n项和
等差中项
《孙子算经》
今有出门望九堤，
堤有九木，木有九枝，
枝有九巢，巢有九禽，
禽有九雏，雏有九毛，
毛有九色，问各几何？
2.《庄子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.形象地说明了事物具有无限可分性。
用数学眼光来看，如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“棰”的长度依次是？
②
1
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20分钟就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是？
2,4,8,16, 32,64,…
③
4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是多少？
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息
第三年末 元
第四年末 元
第五年末 元
存入 元
第一年末 元
第二年末 元
4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是多少？
即5年内每年末得到的本利和分别是
④
追问1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
追问2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
等差数列 等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示
等差数列 等比数列
公差可正、可负、可为零
① 公比可正、可负、不可为零
②
③非零常数列既是等差数列也是等比数列
追问4：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？
等差中项 等比中项
由三个数组成等差数列，叫做与等差中项，根据等差数列的定义可知
由三个数 组成等比数列，叫做与的等比中项.
根据等比数列的定义可知
问题2 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
追问1：回忆等差数列的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？
等比数列的推导过程 ...... 当 时上式也成立 所以首项 ，公比 为的等比数列的通项公式为 由定义式可得（n-1）个等式
......
把（n-1）个等式左右两侧分别依次相乘，得到
等比数列 的通项公式为
归纳法
累乘法
问题3 在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比满足什么条件的数列与相应的函数建立类似的联系？
当时
，即
指数型函数
(为常数, )
，，...，,…
构成一个等比数列，其首项为，公比为.
追问1： 类比指数函数的性质，你能说说公比的等比数列的单调性么？
追问1： 类比指数函数的性质，你能说说公比的等比数列的单调性么？
追问1： 类比指数函数的性质，你能说说公比的等比数列的单调性么？
等比数列的单调性
指数函数的单调性
等比数列的单调性
单调递减
单调递减
单调递减
单调递减
单调递增
单调递增
单调递增
单调递增
不变
不变
不变
“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然的奥秘，在几何学中它应该是最不容忽视的。” ——开普勒
德国天文学家、数学家
（1571-1630）
例1若等比数列 的第4项和第6项分别是48和12，求 的第5项
给定两个独立条件
等比数列通项公式
数列的某一项
求的通项公式
+
例2 已知等比数列 的公比为 ，试用 的第 项 表示
等比数列的任意一项都可以由数列的某一项和公比表示
解：由题意得
②的两边分别除以①的两边得
所以
①
②
总结提升
等差数列
等比数列
类比
抽象概念
代数运算
归纳法
累乘法
累加法
通项公式
函数角度
数
一次函数
指数函数
数
形
形
？