湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题12 正弦和余弦

湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题12 正弦和余弦
一、单选题
1．（2021九上·宝山期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021九上·肇源期中）在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（　　）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
3．（2021九上·滨湖期中）如图，边长为10的等边 中，点 在边 上，且 ，将含30°角的直角三角板（ ）绕直角顶点 旋转， 、 分别交边 、 于 、 .连接 ，当 时， 长为（　　）
A．6 B． C．10 D．
4．（2021九上·宁波期中）如图，△ABC中，cosB ，sinC ，AC＝5，则△ABC的面积是（　　）
A． B．12 C．14 D．21
5．（2021九上·深圳期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（　　）
A．1 B． C． D．
6．（2021九上·广饶期中）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为（　　）
A． B． C．1 D．
7．（2021九上·广饶期中）在△ABC中，若|sinA- |+( -cosB)2=0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
8．（2021·婺城模拟）如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（　　）
A． B．75sin80° C． D．
9．（2021·绍兴模拟）已知 是锐角三角形，若 ，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2021·新丰模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）
A． B． C． D．
12．（2021九上·开福期末）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为（　　）
A． B．asin26.5° C．acos26.5° D．
二、填空题
13．（2021九上·广饶期中）在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD= ，BD= ，则CD的长为　 　．
14．（2021九上·广饶期中）在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD= ，BD= ，则CD为　 　
15．（2021八下·武侯期中）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为　 　，四边形DPQB面积的最大值为　 　．
16．（2021九上·长兴期末）如图，已知在 中， ， ， ，点 在边 上，将 沿着过点 的一条直线翻折，使点 落在边 上的点 处，连结 ， ，若 ，则 的长是　 　.
17．（2020·上海模拟）如图，在 中，AD=3，AB=5， ，将 绕着点B顺时针旋转 后，点A的对应是点 ，联结 ，如果 ，那么 的值是　 　．
18．（2020九下·镇平月考）如图，O是坐标原点，边长为2的菱形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，cos∠AOC＝ ，函数 的图象经过顶点B，则k的值为　 　.
三、作图题
19．（2021·岑溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别是 ， ， .
（ 1 ）画出 向左平移6个单位长度后得到的 ；
（ 2 ）以点 为位似中心，将 缩小为原来的 ，得到 ，请在y轴右侧画出 ，并直接写 的值.
（不写解答过程，直接写结果，保留作图痕迹.）
四、解答题
20．（2021九上·长春期中）如图，在 中， ， ， ．求 的三个三角函数值．
21．（2019九上·莘县期中）已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．
五、综合题
22．（2021九上·黄浦期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∠B＝45°，tan∠ACB＝3，AC＝ .
求：
（1）△ABC的面积；
（2）sin∠ACD的值．
23．（2021九上·宁波期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA ，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝　 　，sad120°＝　 　
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知sinA ，试求sadA的值．
（3）直线y x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，点M，N分别在线段AB，OA上，且△MON是等腰三角形，设△MON的顶角为θ，当sadθ 时，求点M的坐标．（请直接 出结果）
24．（2021九上·广饶期中）（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+ cos45°+
（2）先化简，再求代数式 的值，其中x=4cos30°-tan45°
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= =5，
∴sinB= ，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB=5，再利用锐角三角函数计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．
故答案为：C．
【分析】根据 在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍， 求解即可。
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，
在等边 中， ， ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠A=∠B=60°，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
已知
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 .
故答案为：B.
【分析】过点Q作QK⊥AC于K，根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=10，由平行线的性质可得∠DPQ=∠E=60°，∠DQP=∠F=30°，推出∠ADP=∠QPB，证明△ADP∽△BPQ，根据相似三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质可得BP，BQ，进而求出CQ、KC、DK，由三角函数的概念求出KQ，然后根据勾股定理就可求得DQ.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作AH⊥BC，
则AH=ACsinC=5×=3，
∴CH==4，
∵cosB=，
∴∠B=45°，
∴BH=AH=3，
∴BC=BH+CH=3+4=7，
∴S△ABC=BC×AH=×7×3=.
故答案为：A.
【分析】作AH⊥BC，在Rt△AHC中，根据三角函数的定义求出AH，则可根据勾股定理求出HC，然后求出△AHB是等腰直角三角形，则可求出BH长，再求出BC，最后计算△ABC的面积即可.
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°，
∵tan∠ABF＝2，
∴ ＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2＋NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，
∴x1＝0（舍），x2＝ ，
∴AN＝4﹣x＝4﹣ ＝ ，MF＝4﹣2x＝4﹣ ＝ ，
∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴ ＝ ，即 ，
∴EF＝ ，
∴DE＝EF＝ ．
故答案为：C．
【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，AN＝4﹣x，由轴对称性可得DE=EF，DA=AF=4，证明△ADE≌△AFE（SSS），可得∠D=∠AFE=90°，由勾股定理求出x的值，由锐角三角函数的定义可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
连接BC
∵每个小正方形的边长均为1
∴AB=，BC=，AC=
∵（）2+（）2=（）2
∴三角形ABC为直角三角形
∴cos∠BAC===
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合勾股定理，求出三角形三边的长度，继而由勾股定理的逆定理判断三角形ABC的形状，求出∠BAC的余弦值即可。
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意可得，sinA=，cosB=
∴∠A=30°，∠B=45°
∴∠C=180°-30°-45°=105°。
故答案为：C.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性，结合特殊角的锐角三角函数值，求出∠C的度数即可。
8．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵E、G是AB的三等分点，
∴AE=EG=GB=，
∴AE：EG：GB=1：1：1，
∵ AC∥EF∥GH，
∴，
∴CF=FH，
过E点作ME⊥GH于M，
∵EF∥GH，
∴EM即为EF与GH之间的距离，
在Rt△EMG中，
sin∠EGM=，
∵∠EGM=∠EGH=80°，
且EF与GH之间的距离为25cm，
∴EM=25cm，
∴sin∠EGM=sin80°=，
∴EG==（cm），
∵EG=AB，
∴AB=3EG=3×=（cm），
故答案为：C.
【分析】 利用E、G是AB的三等分点，可得到AE：EG：GB=1：1：1，利用平行线分线等成比列定理可证得CF=FH，过E点作ME⊥GH于M，可推出EM即为EF与GH之间的距离；在Rt△EMG中，利用锐角三角函数的定义可证得sin∠EGM=，根据EF与GH之间的距离可得到EM的长，利用解直角三角形可求出EG的长；然后根据AB=3EG，可求出AB的长.
9．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的边角关系“大边对大角”可知∠C＞∠B，然后根据正弦函数递增的特点可判断求解.
10．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴sin = ，即AB= .
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数sin=可求解.
11．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA＝ ＝5，
∴cosα= ，
故答案为：C．
【分析】由点A的坐标为（4，3），可得OA＝ ＝5，根据锐角三角函数的定义即可求解．
12．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为： ，
故答案为：A.
【分析】由锐角三角函数tan∠ABC=可求解.
13．【答案】1或5
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①如图1，若△ABC为锐角三角形，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵cos∠BAD＝ ，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
∵AB2＝AD2＋BD2，
∴9x2＝4x2＋5，
解得：x＝1或x＝ 1（舍），
∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，
∴CD＝AC AD＝1；
②如图2，若△ABC为钝角三角形，
同理可得，AD＝2，AB＝AC＝3，
∴CD＝AC＋AD＝5，
故答案为：1或5．
【分析】分两种情况：①如图1，若△ABC为锐角三角形，②如图2，若△ABC为钝角三角形，再利用锐角三家函数和勾股定理求解即可。
14．【答案】1或5
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵cos∠BAD==
∴设AD=2x，则AB=3x，∵AB2=AD2+BD2
∴9x2=4x2+（）2，解得x=1或x=-1（舍去）
∴AB=AC=3x=3，AD=2x=2
∴CD=AC-AD=1
②当△ABC为钝角三角形时，根据①可得，AD=2x=2
AB=AC=3x=3，∴CD=AC+AD=5
【分析】根据题意，由三角形的形状进行分类讨论，结合勾股定理计算得到答案即可。
15．【答案】；
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；等边三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，当P在E的位置时，DP最短，
∴DP最小=DE=ADsin60°=2×=，
S△DPQ=PQ×DE=×1×=，
当Q到DB的距离最大时，△BDQ的面积最大，则四边形DPQB面积的最大，这时Q与C重合，
∴BD边上的高h=CF=BC×sinB=6×=3，
∴S△BQD最大=BD×QF=×（6-2）×3=6，
四边形DPQB面积的最大值= S△BQD最大+S△DPQ=6+=，
故答案为：，.
【分析】连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，根据垂线段最短的性质可知当P在E的位置时，DP最短，然后在Rt△AED中，利用三角函数求出AE长即可； 四边形DPQB面积等于△PDQ的面积与△BQD的面积之和，由于△DPQ的面积是定值，则只要求△PDQ的面积最大即可；由于其底边BD一定，只要求BD上的高最大即可，由题意可知这时Q与C重合，于是根据等边三角形的性质求出高h，则其面积可求，最后求四边形DPQB面积即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图作CF⊥AB于F，垂足为F.
在Rt△ACB中，
∵
∴
在Rt△ACB中，
∴
又
∴
在 中，
∴
由题意得，
设
∵
∴
在△ 中，
∴BD= a
∵∠
∴∠
∴∠
又∵∠
∴△
∴
∴
在 中，
∴
又由前面知， ，
∴
解得， 或0（舍去）
∴
故答案为 .
【分析】如图作CH⊥AB于H.由题意EF=BF，设EF=BF=a，则BD= a，只要证明△ECD∽△BCE，可得EC2=CD CB，延长构建方程即可解决问题.
17．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图：作 ，连接 与 交于 ,作 于
∵
∴
∴
∴
∴
在 中，根据等面积法得出：
∴
∴
又∵
∴
故答案为：
【分析】作 ，连接 与 交于 ,作 于 ,得出 ,从而得出 为 的中点，从而转化相关线段关系即可．
18．【答案】
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥OC于D，
∵OA=2，∠AOC=60°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标为：（ ， ），
∴点B的坐标为：（ ， ），
∵点B在函数 的图象上，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据题意，作AD⊥OC于D，由三角函数求出点A的坐标，然后得到点B的坐标，即可求出k的值.
19．【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
A1( 4，2)， B1( 2，0)， C1( 2， 4)
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
A2(1，1)， B2(2，0)， C2(2， 2).
由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A(2，2)， C(4， 4)， B(4，0)，则D(4，2)，
故AD=2，CD=6，AC= ，
∴sin∠ACB= ，
即sin∠A2C2B2= .
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位，再顺次连接即得△A1B1C1；
（2）根据位似图形的性质先求出A2、B2、C2的坐标，再描点连接即得 △A2B2C2；利用勾股定理求出AC，由sin∠ACB= 即得 的值 .
20．【答案】解： 中， ， ， ，
，
，
，
．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用三角函数的定义求解即可。
21．【答案】解：∵ ,
设DE＝12x，则AD＝13x，勾股定理得AE＝5x,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=13x,
∵BE＝16cm,
∴13x-5x＝16,解得x＝2,
∴ AD=13×2=26cm ,
则菱形的周长=AD×4=26×4=104 cm
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据正弦值和勾股定理设出DE＝12x,AD＝13x，AE＝5x,利用BE=16cm,列方程求出边长即可解题.
22．【答案】（1）解：如图，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACB=3，AC= ，
设CH=x，AH=3x，
根据勾股定理得AC= x，
∴CH=1，AH=3，
在Rt△ABH中，∠B=45°，
∴BH=AH=3，
∴S△ABC= ×4×3=6；
（2）解：作DF⊥BC于F，作DE垂直AC于E
∵S△ACD= × ×DE=3，
∴DE= ，
∵AH⊥BC，DF⊥BC，CD是AB边上的中线，
∴DF= AH= ，
∴BF=DF= ，
在Rt△CDF中，CD= ，
∴在Rt△CDE中，sin∠ACD= ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出 CH=1，AH=3， 再求出 BH=AH=3， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）根据题意先求出 DE= ， 再求出 BF=DF= ， 最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
23．【答案】（1）1；
（2）解： 如图，在AB上截取AD=AC，过D作DE⊥BC于E，
∵ sinA ，
设BC=3，AB=5，
∴AC==4，
∴BD=AB-AD=AB-AC=5-4=1，
∴BE=1×=，ED=1×=，
EC=BC-BE=3-=，
∴DC==，
∴ .
（3）解：如图，①当OM = MN时，作DM⊥x轴于D，则∠OMN为 θ ，
∴OD=ON，
∵sadθ ==，
∴，
设OD=3k，则OM=5k，MD==4k，
∴M（3k，4k），
∵M在直线 y = x+6 上，
∴4k= ×3k+6，
解得k=1，
∴M（3，4）；
②当OM=ON时，作DM⊥x轴于D，则∠OMN为 θ ，
∵sadθ ==，
∴，
设OM=5k，MN=6k，
∵OM2-OD2=MD2=MN2-DN2，
∴OD=1.4k，DN=3.6k，
则MD=4.8k，
∴M（1.4k，4.8k），
∵M点在直线y = x+6 上，
∴4.8k=×1.4k+6，
解得k=，
∴M ；
③当ON=MN时，∠MNO= θ ，
利用②的方法可得M（k，），
将其代入y= x+6 中，
解得k=，
∴M（3，4）；
综上，M点坐标为 （3，4）， .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)∵等边三角形的腰和底边相等，
∴sad60°=1，
如图，∠A=120°，AB=AC，作高AD，
∴∠B=∠C=30°，
设高AD=1，则AB=2，
∴BD==，
∴BC=2BD=2，
∴.
故答案为：1， .
【分析】(1)先根据题意画出等腰三角形，然后把每边的长度表示出来，再根据角的正对定义分别求值即可；
(2)在AB上截取AD=AC，过D作DE⊥BC于E，设BC=3，AB=5，根据勾股定理求出AC，然后根据平行线分线段成比例和勾股定理求出DC，最后根据角的正对定义分别求值即可；
(3)分三种情况讨论，①当OM = MN时，②当OM=ON时，③当ON=MN时，分别作垂线，构造直角三角形，分别根据勾股定理和角的正对的定义把M点坐标表示出来，然后代入y x+6中求解，即可解答.
24．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式 ，
，
原式 ．
【知识点】分式的化简求值；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值，化简式子求出答案即可；
（2）根据分式的基本性质，化简代数式，继而由特殊角的锐角三角函数求出x的值，求出代数式的值即可。
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题12 正弦和余弦
一、单选题
1．（2021九上·宝山期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= =5，
∴sinB= ，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB=5，再利用锐角三角函数计算求解即可。
2．（2021九上·肇源期中）在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（　　）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．
故答案为：C．
【分析】根据 在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍， 求解即可。
3．（2021九上·滨湖期中）如图，边长为10的等边 中，点 在边 上，且 ，将含30°角的直角三角板（ ）绕直角顶点 旋转， 、 分别交边 、 于 、 .连接 ，当 时， 长为（　　）
A．6 B． C．10 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，
在等边 中， ， ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠A=∠B=60°，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
已知
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 .
故答案为：B.
【分析】过点Q作QK⊥AC于K，根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=10，由平行线的性质可得∠DPQ=∠E=60°，∠DQP=∠F=30°，推出∠ADP=∠QPB，证明△ADP∽△BPQ，根据相似三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质可得BP，BQ，进而求出CQ、KC、DK，由三角函数的概念求出KQ，然后根据勾股定理就可求得DQ.
4．（2021九上·宁波期中）如图，△ABC中，cosB ，sinC ，AC＝5，则△ABC的面积是（　　）
A． B．12 C．14 D．21
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作AH⊥BC，
则AH=ACsinC=5×=3，
∴CH==4，
∵cosB=，
∴∠B=45°，
∴BH=AH=3，
∴BC=BH+CH=3+4=7，
∴S△ABC=BC×AH=×7×3=.
故答案为：A.
【分析】作AH⊥BC，在Rt△AHC中，根据三角函数的定义求出AH，则可根据勾股定理求出HC，然后求出△AHB是等腰直角三角形，则可求出BH长，再求出BC，最后计算△ABC的面积即可.
5．（2021九上·深圳期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°，
∵tan∠ABF＝2，
∴ ＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2＋NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，
∴x1＝0（舍），x2＝ ，
∴AN＝4﹣x＝4﹣ ＝ ，MF＝4﹣2x＝4﹣ ＝ ，
∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴ ＝ ，即 ，
∴EF＝ ，
∴DE＝EF＝ ．
故答案为：C．
【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，AN＝4﹣x，由轴对称性可得DE=EF，DA=AF=4，证明△ADE≌△AFE（SSS），可得∠D=∠AFE=90°，由勾股定理求出x的值，由锐角三角函数的定义可得出答案。
6．（2021九上·广饶期中）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
连接BC
∵每个小正方形的边长均为1
∴AB=，BC=，AC=
∵（）2+（）2=（）2
∴三角形ABC为直角三角形
∴cos∠BAC===
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合勾股定理，求出三角形三边的长度，继而由勾股定理的逆定理判断三角形ABC的形状，求出∠BAC的余弦值即可。
7．（2021九上·广饶期中）在△ABC中，若|sinA- |+( -cosB)2=0，则∠C的度数是（　　）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意可得，sinA=，cosB=
∴∠A=30°，∠B=45°
∴∠C=180°-30°-45°=105°。
故答案为：C.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性，结合特殊角的锐角三角函数值，求出∠C的度数即可。
8．（2021·婺城模拟）如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（　　）
A． B．75sin80° C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵E、G是AB的三等分点，
∴AE=EG=GB=，
∴AE：EG：GB=1：1：1，
∵ AC∥EF∥GH，
∴，
∴CF=FH，
过E点作ME⊥GH于M，
∵EF∥GH，
∴EM即为EF与GH之间的距离，
在Rt△EMG中，
sin∠EGM=，
∵∠EGM=∠EGH=80°，
且EF与GH之间的距离为25cm，
∴EM=25cm，
∴sin∠EGM=sin80°=，
∴EG==（cm），
∵EG=AB，
∴AB=3EG=3×=（cm），
故答案为：C.
【分析】 利用E、G是AB的三等分点，可得到AE：EG：GB=1：1：1，利用平行线分线等成比列定理可证得CF=FH，过E点作ME⊥GH于M，可推出EM即为EF与GH之间的距离；在Rt△EMG中，利用锐角三角函数的定义可证得sin∠EGM=，根据EF与GH之间的距离可得到EM的长，利用解直角三角形可求出EG的长；然后根据AB=3EG，可求出AB的长.
9．（2021·绍兴模拟）已知 是锐角三角形，若 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的边角关系“大边对大角”可知∠C＞∠B，然后根据正弦函数递增的特点可判断求解.
10．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴sin = ，即AB= .
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数sin=可求解.
11．（2021·新丰模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA＝ ＝5，
∴cosα= ，
故答案为：C．
【分析】由点A的坐标为（4，3），可得OA＝ ＝5，根据锐角三角函数的定义即可求解．
12．（2021九上·开福期末）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为（　　）
A． B．asin26.5° C．acos26.5° D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为： ，
故答案为：A.
【分析】由锐角三角函数tan∠ABC=可求解.
二、填空题
13．（2021九上·广饶期中）在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD= ，BD= ，则CD的长为　 　．
【答案】1或5
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①如图1，若△ABC为锐角三角形，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵cos∠BAD＝ ，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
∵AB2＝AD2＋BD2，
∴9x2＝4x2＋5，
解得：x＝1或x＝ 1（舍），
∴AB＝AC＝3x＝3，AD＝2x＝2，
∴CD＝AC AD＝1；
②如图2，若△ABC为钝角三角形，
同理可得，AD＝2，AB＝AC＝3，
∴CD＝AC＋AD＝5，
故答案为：1或5．
【分析】分两种情况：①如图1，若△ABC为锐角三角形，②如图2，若△ABC为钝角三角形，再利用锐角三家函数和勾股定理求解即可。
14．（2021九上·广饶期中）在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD= ，BD= ，则CD为　 　
【答案】1或5
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵cos∠BAD==
∴设AD=2x，则AB=3x，∵AB2=AD2+BD2
∴9x2=4x2+（）2，解得x=1或x=-1（舍去）
∴AB=AC=3x=3，AD=2x=2
∴CD=AC-AD=1
②当△ABC为钝角三角形时，根据①可得，AD=2x=2
AB=AC=3x=3，∴CD=AC+AD=5
【分析】根据题意，由三角形的形状进行分类讨论，结合勾股定理计算得到答案即可。
15．（2021八下·武侯期中）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为　 　，四边形DPQB面积的最大值为　 　．
【答案】；
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；等边三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，当P在E的位置时，DP最短，
∴DP最小=DE=ADsin60°=2×=，
S△DPQ=PQ×DE=×1×=，
当Q到DB的距离最大时，△BDQ的面积最大，则四边形DPQB面积的最大，这时Q与C重合，
∴BD边上的高h=CF=BC×sinB=6×=3，
∴S△BQD最大=BD×QF=×（6-2）×3=6，
四边形DPQB面积的最大值= S△BQD最大+S△DPQ=6+=，
故答案为：，.
【分析】连接QD，过D作DE⊥AC于E，过Q作QF⊥BD于F，根据垂线段最短的性质可知当P在E的位置时，DP最短，然后在Rt△AED中，利用三角函数求出AE长即可； 四边形DPQB面积等于△PDQ的面积与△BQD的面积之和，由于△DPQ的面积是定值，则只要求△PDQ的面积最大即可；由于其底边BD一定，只要求BD上的高最大即可，由题意可知这时Q与C重合，于是根据等边三角形的性质求出高h，则其面积可求，最后求四边形DPQB面积即可.
16．（2021九上·长兴期末）如图，已知在 中， ， ， ，点 在边 上，将 沿着过点 的一条直线翻折，使点 落在边 上的点 处，连结 ， ，若 ，则 的长是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图作CF⊥AB于F，垂足为F.
在Rt△ACB中，
∵
∴
在Rt△ACB中，
∴
又
∴
在 中，
∴
由题意得，
设
∵
∴
在△ 中，
∴BD= a
∵∠
∴∠
∴∠
又∵∠
∴△
∴
∴
在 中，
∴
又由前面知， ，
∴
解得， 或0（舍去）
∴
故答案为 .
【分析】如图作CH⊥AB于H.由题意EF=BF，设EF=BF=a，则BD= a，只要证明△ECD∽△BCE，可得EC2=CD CB，延长构建方程即可解决问题.
17．（2020·上海模拟）如图，在 中，AD=3，AB=5， ，将 绕着点B顺时针旋转 后，点A的对应是点 ，联结 ，如果 ，那么 的值是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图：作 ，连接 与 交于 ,作 于
∵
∴
∴
∴
∴
在 中，根据等面积法得出：
∴
∴
又∵
∴
故答案为：
【分析】作 ，连接 与 交于 ,作 于 ,得出 ,从而得出 为 的中点，从而转化相关线段关系即可．
18．（2020九下·镇平月考）如图，O是坐标原点，边长为2的菱形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，cos∠AOC＝ ，函数 的图象经过顶点B，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥OC于D，
∵OA=2，∠AOC=60°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标为：（ ， ），
∴点B的坐标为：（ ， ），
∵点B在函数 的图象上，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据题意，作AD⊥OC于D，由三角函数求出点A的坐标，然后得到点B的坐标，即可求出k的值.
三、作图题
19．（2021·岑溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别是 ， ， .
（ 1 ）画出 向左平移6个单位长度后得到的 ；
（ 2 ）以点 为位似中心，将 缩小为原来的 ，得到 ，请在y轴右侧画出 ，并直接写 的值.
（不写解答过程，直接写结果，保留作图痕迹.）
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
A1( 4，2)， B1( 2，0)， C1( 2， 4)
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
A2(1，1)， B2(2，0)， C2(2， 2).
由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A(2，2)， C(4， 4)， B(4，0)，则D(4，2)，
故AD=2，CD=6，AC= ，
∴sin∠ACB= ，
即sin∠A2C2B2= .
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位，再顺次连接即得△A1B1C1；
（2）根据位似图形的性质先求出A2、B2、C2的坐标，再描点连接即得 △A2B2C2；利用勾股定理求出AC，由sin∠ACB= 即得 的值 .
四、解答题
20．（2021九上·长春期中）如图，在 中， ， ， ．求 的三个三角函数值．
【答案】解： 中， ， ， ，
，
，
，
．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用三角函数的定义求解即可。
21．（2019九上·莘县期中）已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．
【答案】解：∵ ,
设DE＝12x，则AD＝13x，勾股定理得AE＝5x,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=13x,
∵BE＝16cm,
∴13x-5x＝16,解得x＝2,
∴ AD=13×2=26cm ,
则菱形的周长=AD×4=26×4=104 cm
【知识点】勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据正弦值和勾股定理设出DE＝12x,AD＝13x，AE＝5x,利用BE=16cm,列方程求出边长即可解题.
五、综合题
22．（2021九上·黄浦期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∠B＝45°，tan∠ACB＝3，AC＝ .
求：
（1）△ABC的面积；
（2）sin∠ACD的值．
【答案】（1）解：如图，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACB=3，AC= ，
设CH=x，AH=3x，
根据勾股定理得AC= x，
∴CH=1，AH=3，
在Rt△ABH中，∠B=45°，
∴BH=AH=3，
∴S△ABC= ×4×3=6；
（2）解：作DF⊥BC于F，作DE垂直AC于E
∵S△ACD= × ×DE=3，
∴DE= ，
∵AH⊥BC，DF⊥BC，CD是AB边上的中线，
∴DF= AH= ，
∴BF=DF= ，
在Rt△CDF中，CD= ，
∴在Rt△CDE中，sin∠ACD= ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出 CH=1，AH=3， 再求出 BH=AH=3， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）根据题意先求出 DE= ， 再求出 BF=DF= ， 最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
23．（2021九上·宁波期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA ，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝　 　，sad120°＝　 　
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知sinA ，试求sadA的值．
（3）直线y x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，点M，N分别在线段AB，OA上，且△MON是等腰三角形，设△MON的顶角为θ，当sadθ 时，求点M的坐标．（请直接 出结果）
【答案】（1）1；
（2）解： 如图，在AB上截取AD=AC，过D作DE⊥BC于E，
∵ sinA ，
设BC=3，AB=5，
∴AC==4，
∴BD=AB-AD=AB-AC=5-4=1，
∴BE=1×=，ED=1×=，
EC=BC-BE=3-=，
∴DC==，
∴ .
（3）解：如图，①当OM = MN时，作DM⊥x轴于D，则∠OMN为 θ ，
∴OD=ON，
∵sadθ ==，
∴，
设OD=3k，则OM=5k，MD==4k，
∴M（3k，4k），
∵M在直线 y = x+6 上，
∴4k= ×3k+6，
解得k=1，
∴M（3，4）；
②当OM=ON时，作DM⊥x轴于D，则∠OMN为 θ ，
∵sadθ ==，
∴，
设OM=5k，MN=6k，
∵OM2-OD2=MD2=MN2-DN2，
∴OD=1.4k，DN=3.6k，
则MD=4.8k，
∴M（1.4k，4.8k），
∵M点在直线y = x+6 上，
∴4.8k=×1.4k+6，
解得k=，
∴M ；
③当ON=MN时，∠MNO= θ ，
利用②的方法可得M（k，），
将其代入y= x+6 中，
解得k=，
∴M（3，4）；
综上，M点坐标为 （3，4）， .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；一次函数的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)∵等边三角形的腰和底边相等，
∴sad60°=1，
如图，∠A=120°，AB=AC，作高AD，
∴∠B=∠C=30°，
设高AD=1，则AB=2，
∴BD==，
∴BC=2BD=2，
∴.
故答案为：1， .
【分析】(1)先根据题意画出等腰三角形，然后把每边的长度表示出来，再根据角的正对定义分别求值即可；
(2)在AB上截取AD=AC，过D作DE⊥BC于E，设BC=3，AB=5，根据勾股定理求出AC，然后根据平行线分线段成比例和勾股定理求出DC，最后根据角的正对定义分别求值即可；
(3)分三种情况讨论，①当OM = MN时，②当OM=ON时，③当ON=MN时，分别作垂线，构造直角三角形，分别根据勾股定理和角的正对的定义把M点坐标表示出来，然后代入y x+6中求解，即可解答.
24．（2021九上·广饶期中）（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+ cos45°+
（2）先化简，再求代数式 的值，其中x=4cos30°-tan45°
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式 ，
，
原式 ．
【知识点】分式的化简求值；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值，化简式子求出答案即可；
（2）根据分式的基本性质，化简代数式，继而由特殊角的锐角三角函数求出x的值，求出代数式的值即可。
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