【精品解析】湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题13 正切

湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题13 正切
一、单选题
1．（2021九上·阳谷月考） 的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
2．（2021九上·昆明月考）如图， 中， 于点D，若 ， ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021九上·吉林月考）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与y轴交于点C，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点B，连接 ，若 ，则 的值是（　　）
A． B． C．2 D．3
4．（2021·永州）下列计算正确的是（　　）
A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝
C． ＝±2 D．a2 a3＝a6
5．（2021·宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）
A． B．2 C． D．
6．（2021·巴中）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）
A．sinB B．sinC
C．tanB D．sin2B+sin2C＝1
7．（2021·巴中）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将 BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·浙江模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点 ， ， ， 都在格点处， 与 相交于点 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2021·深圳）计算 的值为（　　）
A． B．0 C． D．
10．（2021·深圳）在正方形 中， ，点E是 边的中点，连接 ，延长 至点F，使得 ，过点F作 ，分别交 、 于N、G两点，连接 、 、 ，下列正确的是（　　）
① ； ② ； ③ ； ④ ．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．（2021九上·无锡期中）已知 是锐角， ，则 =　 　°.
12．（2021九上·哈尔滨月考）已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是　 　．
13．（2021九上·新泰月考）如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 的值是　 　．
14．（2021九上·沙坪坝月考）如图的正方形网格中， 的顶点都在格点上，则 值为　 　.
15．（2021·绵阳）在直角 中， ， ， 的角平分线交 于点 ，且 ，斜边 的值是　 　.
16．（2021·南县）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝ ，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 　 　.
三、作图题
17．（2021·香坊模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的端点在小正方形的顶点上．分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．
（1）在图中画出以 为腰的等腰直角三角形 ；
（2）在图中画出面积为6的等腰三角形 ，并直接写出 的值．
18．（2021·武汉模拟）如图，在 的正方形网格中，A，B，C，E均为小正方形的顶点，用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹.
（1）将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ；
（2）在 上画点T，使 ；
（3）在 上画点F（不与点C重合），使 ；
（4）在 上画点N，使 .
四、解答题
19．（2021·崆峒模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值.
20．（2021·西山模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（2021九上·建湖期末）如图，在 中， ， ， .求： 、 .
五、综合题
22．（2021九上·广饶期中）（1）计算：
（2）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
23．（2021九上·新泰月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA= .
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值.
24．（2021·广东）如图，在 中， ，作 的垂直平分线交 于点D，延长 至点E，使 ．
（1）若 ，求 的周长；
（2）若 ，求 的值．
25．（2021·上海）已知在 中， ， ， 为 边上的中线．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案为：B
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可。
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】先证明，利用相似的性质得到求出AD的长，最后利用正切的定义求解即可。
3．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
过B作BD⊥y轴于D，
∵S△OBC=1，
∴BD=1，
∵tan∠BOC= ，
∴ ，
∴OD=3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数 在第一象限内的图象交于点B，
∴k2=1×3=3．
故答案为：D．
【分析】先根据直线求出点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得CD的长，从而求得点B的坐标，求得结论。
4．【答案】A
【知识点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A.因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；
B.tan30°＝ ，因此选项B不符合题意；
C. ＝2，因此选项C 不符合题意；
D.a2 a3＝a2+3＝a5，因此选项D 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据非零数的0次幂为1可判断A；根据特殊角的三角函数值可判断B；根据算术平方根的概念可拍的C；根据同底数幂的乘法法则可判断D.
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD= BC=6，
∴AD= ，
过点O作OF⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OD，
∵
∴ ，即： ，解得：OD=3，
∴tan∠OBD= ，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD=BC=6，利用勾股定理可得AD的值，过点O作OF⊥AB，由角平分线的性质可得OF=OD，然后根据三角形的面积公式可得OD的值，接下来根据三角函数的概念进行求解.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴ ， ， ， ，只有A错误.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理可求得AB、AC、BC的值，推出△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，然后根据三角函数的概念求出sinB、sinC、tanB的值，据此进行判断.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中： ，
∴ ，
设 ，则
在直角三角形ADE中： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵∠DEB=90°，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质以及点C的坐标可得BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，由勾股定理求出OE，进而得到AE的值，设CD=DE=x，则AD=8-x，在Rt△ADE中，应用勾股定理可求得x的值，得到DE的值，然后根据三角函数的概念进行求解.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接格点CE，则△DCE是直角三角形.
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠DOB.
在Rt△DCE中，
∵DE＝3，CE＝4，
∴tan∠DOB＝tan∠DCE＝ ＝ .
故答案为：B.
【分析】连接格点CE，则△DCE是直角三角形，由平行线的性质可得∠DCE＝∠DOB，则tan∠DOB＝tan∠DCE，然后根据正切函数的概念进行求解.
9．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】把代入，再根据绝对值的意义进行计算，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】① ，①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ （ ），∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ （ ），∴ ，故②正确；
③∵ ， ，∴ ，
∵在 和 中： ， ，
∴ （ ），∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故③错误；
④由上述可知： ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故④正确．
故选B．
【分析】①先证出∠GFB=∠EDC，得出，即可判断①正确；
②先证出△DEC≌△FEM，得出EM=EC，从而得出DM=FC，进而证出△DMN≌△FCN，得出MN=NC，即可判断②正确；
③先证出MC∥GE，得出，再求出EF，CF的长，得出，即可判断③错误；
④先求出BF的长，根据，求出GB的长，利用，即可判断④正确.
11．【答案】60
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 是锐角， ，
∴ ，
又∵ ，
.
故答案为： .
【分析】根据已知条件可得tanα=，然后由α为锐角结合特殊角的三角函数值可得α的度数.
12．【答案】 或
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）当点P在边DC上，
∵四边形ABCD为边长为3的正方形，∠C=90°，
∴BC=DC=3，
∵DP=1，
∴PC=3-1=2，
∴tan∠BPC= ；
（2）当点P在边CD的延长线上，
∵DP=1，DC=3，
∴PC=PD+DC=1+3=4，
∵BC=3，∠C=90°，
∴tan∠BPC= ．
故答案为： 或 ．
【分析】分（1）当点P在边DC上，（2）当点P在边CD的延长线上，两种情况分类讨论即可。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．
在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+42，
解得x=5，
∴CE=8-5=3，
∴tan∠CBE= ．
故答案为 ．
【分析】折叠后形成的图形相互全等，设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE，再利用三角函数的定义即可求出答案。
14．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB的延长线于点D，由方格纸的特点可知，CD=4，BD=3.
∴tan∠ABC=
故答案为： .
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，再根据三角函数的概念进行求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF， ，
又 ，
∴四边形CEDF为正方形，
， ，
在 中， ，
∵ ，
，
， ， ，
，
即 ，
又 ，
，
∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
，
，
，
即 （舍负），
故答案为： .
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由角平分线的性质可得DE＝DF，易得四边形CEDF为正方形，则DE=EC=CF=FD，∠ECD=∠EDC=45°，根据CD的值可得DE=EC=CF=FD=2，根据三角函数的概念可得 ，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，推出，根据三角函数的概念表示出AE、BF，然后根据AC·BC=(CE+AE)(CF+BF)进行求解.
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴ ＝ ，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴ ＝（ ）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝ ＝ ，
∴∴ ＝（ ）2＝ .
故答案为： .
【分析】由旋转的性质可知：∠BAC＝∠B′AC′，由角的和差关系可得∠BAB′＝∠CAC′，然后证明△ACC′∽△ABB′，由相似三角形的性质以及三角函数的概念求解即可.
17．【答案】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：如图， 即为所求．
．
【知识点】锐角三角函数的定义；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义，画出图形即可；
（2）画出底和高相对应的值的等腰三角形即可，再构造直角三角形，求出 的值．
18．【答案】（1）解：由旋转的性质可得如图所示：
则线段 即为所求线段
（2）解：根据相似三角形的性质可得如图所示：
（3）解：过点A作AF⊥BC于点F，连接EF，则EF=EC，
（4）解：把线段AB逆时针旋转90°，得到线段AH，然后取AH的中点，连接BH交AC于点N，如图所示：
则 .
【知识点】相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出线段AM.
（2）利用相似三角形的性质，在线段AB上画出点T即可.
（3）过点A作AF⊥BC于点F，连接EF，可知EF=EC.
（4）利用旋转的性质，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段AH，再取AH的中点，连接BH交AC于点N.
19．【答案】解： 在 中， ，
，
则 ，
，
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 在中 利用勾股定求出AC的长，由 ， ，分别计算即可.
20．【答案】解：原式 ，
，
，
∵ ，
∴原式 ；
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，利用特殊角三角函数值求出x值，最后将x值代入计算即可.
21．【答案】解：如图，过点C作 于点D，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ， .
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过点C作CD⊥AB于点D，利用等腰三角形的性质或勾股定理先求出BD、CD，再利用直角三角形的边角间关系求出AB、AC的长即可．
22．【答案】（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ， ，
原式 ．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
23．【答案】（1）解：在Rt△ADE中，因为AE=6，cosA= ，所以AD= =10，
由勾股定理，得 = =8.
因为DE⊥AB，DC⊥BC，
所以由角平分线的性质，得CD=DE=8.
（2）解：由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18，
在△ADE与△ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得： 即 ，
得： .
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质得出CD=DE=8；
（2）AD=10，DC=8，得出AC=AD+DC=18，由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC的值.
24．【答案】（1）解：如图，连接 ，设 垂直平分线交 于点F，
∵ 为 垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：设 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
在 中， ．
∴ ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）设AD=x，则BD=CD=3x，AC=4x，由勾股定理可表示出AB=x，从而可计算出。
25．【答案】（1）∵ ，
∴
∴AB=10
∴ = ；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵ 为 边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG= 3
CG=
∴在Rt△BFG中， = ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 利用 可求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）过点F作FG⊥BD，由AC⊥BD可得FG∥AC，可得FG是△ACD的中位线，从而可得FG= 3，CG= ，在Rt△BFG中，由 = 即可得出结论.
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题13 正切
一、单选题
1．（2021九上·阳谷月考） 的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案为：B
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可。
2．（2021九上·昆明月考）如图， 中， 于点D，若 ， ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】先证明，利用相似的性质得到求出AD的长，最后利用正切的定义求解即可。
3．（2021九上·吉林月考）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与y轴交于点C，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点B，连接 ，若 ，则 的值是（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
过B作BD⊥y轴于D，
∵S△OBC=1，
∴BD=1，
∵tan∠BOC= ，
∴ ，
∴OD=3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数 在第一象限内的图象交于点B，
∴k2=1×3=3．
故答案为：D．
【分析】先根据直线求出点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得CD的长，从而求得点B的坐标，求得结论。
4．（2021·永州）下列计算正确的是（　　）
A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝
C． ＝±2 D．a2 a3＝a6
【答案】A
【知识点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A.因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；
B.tan30°＝ ，因此选项B不符合题意；
C. ＝2，因此选项C 不符合题意；
D.a2 a3＝a2+3＝a5，因此选项D 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据非零数的0次幂为1可判断A；根据特殊角的三角函数值可判断B；根据算术平方根的概念可拍的C；根据同底数幂的乘法法则可判断D.
5．（2021·宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD= BC=6，
∴AD= ，
过点O作OF⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴OF=OD，
∵
∴ ，即： ，解得：OD=3，
∴tan∠OBD= ，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD=BC=6，利用勾股定理可得AD的值，过点O作OF⊥AB，由角平分线的性质可得OF=OD，然后根据三角形的面积公式可得OD的值，接下来根据三角函数的概念进行求解.
6．（2021·巴中）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）
A．sinB B．sinC
C．tanB D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴ ， ， ， ，只有A错误.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理可求得AB、AC、BC的值，推出△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，然后根据三角函数的概念求出sinB、sinC、tanB的值，据此进行判断.
7．（2021·巴中）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将 BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中： ，
∴ ，
设 ，则
在直角三角形ADE中： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵∠DEB=90°，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质以及点C的坐标可得BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，由勾股定理求出OE，进而得到AE的值，设CD=DE=x，则AD=8-x，在Rt△ADE中，应用勾股定理可求得x的值，得到DE的值，然后根据三角函数的概念进行求解.
8．（2021·浙江模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点 ， ， ， 都在格点处， 与 相交于点 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接格点CE，则△DCE是直角三角形.
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠DOB.
在Rt△DCE中，
∵DE＝3，CE＝4，
∴tan∠DOB＝tan∠DCE＝ ＝ .
故答案为：B.
【分析】连接格点CE，则△DCE是直角三角形，由平行线的性质可得∠DCE＝∠DOB，则tan∠DOB＝tan∠DCE，然后根据正切函数的概念进行求解.
9．（2021·深圳）计算 的值为（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】把代入，再根据绝对值的意义进行计算，即可得出答案.
10．（2021·深圳）在正方形 中， ，点E是 边的中点，连接 ，延长 至点F，使得 ，过点F作 ，分别交 、 于N、G两点，连接 、 、 ，下列正确的是（　　）
① ； ② ； ③ ； ④ ．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】① ，①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ （ ），∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ （ ），∴ ，故②正确；
③∵ ， ，∴ ，
∵在 和 中： ， ，
∴ （ ），∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故③错误；
④由上述可知： ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故④正确．
故选B．
【分析】①先证出∠GFB=∠EDC，得出，即可判断①正确；
②先证出△DEC≌△FEM，得出EM=EC，从而得出DM=FC，进而证出△DMN≌△FCN，得出MN=NC，即可判断②正确；
③先证出MC∥GE，得出，再求出EF，CF的长，得出，即可判断③错误；
④先求出BF的长，根据，求出GB的长，利用，即可判断④正确.
二、填空题
11．（2021九上·无锡期中）已知 是锐角， ，则 =　 　°.
【答案】60
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 是锐角， ，
∴ ，
又∵ ，
.
故答案为： .
【分析】根据已知条件可得tanα=，然后由α为锐角结合特殊角的三角函数值可得α的度数.
12．（2021九上·哈尔滨月考）已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是　 　．
【答案】 或
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）当点P在边DC上，
∵四边形ABCD为边长为3的正方形，∠C=90°，
∴BC=DC=3，
∵DP=1，
∴PC=3-1=2，
∴tan∠BPC= ；
（2）当点P在边CD的延长线上，
∵DP=1，DC=3，
∴PC=PD+DC=1+3=4，
∵BC=3，∠C=90°，
∴tan∠BPC= ．
故答案为： 或 ．
【分析】分（1）当点P在边DC上，（2）当点P在边CD的延长线上，两种情况分类讨论即可。
13．（2021九上·新泰月考）如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 的值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．
在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+42，
解得x=5，
∴CE=8-5=3，
∴tan∠CBE= ．
故答案为 ．
【分析】折叠后形成的图形相互全等，设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE，再利用三角函数的定义即可求出答案。
14．（2021九上·沙坪坝月考）如图的正方形网格中， 的顶点都在格点上，则 值为　 　.
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB的延长线于点D，由方格纸的特点可知，CD=4，BD=3.
∴tan∠ABC=
故答案为： .
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，再根据三角函数的概念进行求解.
15．（2021·绵阳）在直角 中， ， ， 的角平分线交 于点 ，且 ，斜边 的值是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF， ，
又 ，
∴四边形CEDF为正方形，
， ，
在 中， ，
∵ ，
，
， ， ，
，
即 ，
又 ，
，
∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
，
，
，
即 （舍负），
故答案为： .
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由角平分线的性质可得DE＝DF，易得四边形CEDF为正方形，则DE=EC=CF=FD，∠ECD=∠EDC=45°，根据CD的值可得DE=EC=CF=FD=2，根据三角函数的概念可得 ，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，推出，根据三角函数的概念表示出AE、BF，然后根据AC·BC=(CE+AE)(CF+BF)进行求解.
16．（2021·南县）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝ ，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴ ＝ ，
∴△ACC′∽△ABB′，
∴ ＝（ ）2，
∵∠CAB＝90°，
∴tan∠ABC＝ ＝ ，
∴∴ ＝（ ）2＝ .
故答案为： .
【分析】由旋转的性质可知：∠BAC＝∠B′AC′，由角的和差关系可得∠BAB′＝∠CAC′，然后证明△ACC′∽△ABB′，由相似三角形的性质以及三角函数的概念求解即可.
三、作图题
17．（2021·香坊模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的端点在小正方形的顶点上．分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．
（1）在图中画出以 为腰的等腰直角三角形 ；
（2）在图中画出面积为6的等腰三角形 ，并直接写出 的值．
【答案】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：如图， 即为所求．
．
【知识点】锐角三角函数的定义；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义，画出图形即可；
（2）画出底和高相对应的值的等腰三角形即可，再构造直角三角形，求出 的值．
18．（2021·武汉模拟）如图，在 的正方形网格中，A，B，C，E均为小正方形的顶点，用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹.
（1）将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ；
（2）在 上画点T，使 ；
（3）在 上画点F（不与点C重合），使 ；
（4）在 上画点N，使 .
【答案】（1）解：由旋转的性质可得如图所示：
则线段 即为所求线段
（2）解：根据相似三角形的性质可得如图所示：
（3）解：过点A作AF⊥BC于点F，连接EF，则EF=EC，
（4）解：把线段AB逆时针旋转90°，得到线段AH，然后取AH的中点，连接BH交AC于点N，如图所示：
则 .
【知识点】相似三角形的性质；锐角三角函数的定义；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出线段AM.
（2）利用相似三角形的性质，在线段AB上画出点T即可.
（3）过点A作AF⊥BC于点F，连接EF，可知EF=EC.
（4）利用旋转的性质，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段AH，再取AH的中点，连接BH交AC于点N.
四、解答题
19．（2021·崆峒模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值.
【答案】解： 在 中， ，
，
则 ，
，
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 在中 利用勾股定求出AC的长，由 ， ，分别计算即可.
20．（2021·西山模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：原式 ，
，
，
∵ ，
∴原式 ；
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，利用特殊角三角函数值求出x值，最后将x值代入计算即可.
21．（2021九上·建湖期末）如图，在 中， ， ， .求： 、 .
【答案】解：如图，过点C作 于点D，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ， .
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过点C作CD⊥AB于点D，利用等腰三角形的性质或勾股定理先求出BD、CD，再利用直角三角形的边角间关系求出AB、AC的长即可．
五、综合题
22．（2021九上·广饶期中）（1）计算：
（2）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【答案】（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ， ，
原式 ．
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
23．（2021九上·新泰月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA= .
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值.
【答案】（1）解：在Rt△ADE中，因为AE=6，cosA= ，所以AD= =10，
由勾股定理，得 = =8.
因为DE⊥AB，DC⊥BC，
所以由角平分线的性质，得CD=DE=8.
（2）解：由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18，
在△ADE与△ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得： 即 ，
得： .
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质得出CD=DE=8；
（2）AD=10，DC=8，得出AC=AD+DC=18，由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC的值.
24．（2021·广东）如图，在 中， ，作 的垂直平分线交 于点D，延长 至点E，使 ．
（1）若 ，求 的周长；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：如图，连接 ，设 垂直平分线交 于点F，
∵ 为 垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：设 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
在 中， ．
∴ ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）设AD=x，则BD=CD=3x，AC=4x，由勾股定理可表示出AB=x，从而可计算出。
25．（2021·上海）已知在 中， ， ， 为 边上的中线．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1）∵ ，
∴
∴AB=10
∴ = ；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵ 为 边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG= 3
CG=
∴在Rt△BFG中， = ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 利用 可求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）过点F作FG⊥BD，由AC⊥BD可得FG∥AC，可得FG是△ACD的中位线，从而可得FG= 3，CG= ，在Rt△BFG中，由 = 即可得出结论.
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