湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题14 解直角三角形
一、单选题
1．（2021九上·黄浦期中）已知 ，AB＝m，∠ACB＝90°，则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·长春期中）如图，河坝横断面迎水坡 的坡比为 ．坝高 为 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·济宁月考）在Rt ABC中，∠C＝90°，sinA ，BC＝2，则AB等于（ ）
A． B．4 C．4 D．6
4．（2021九上·吉林月考）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取 的垂线 上的一点C，测得 米， ，则小河宽 为（ ）米
A． B． C． D．
5．（2021·哈尔滨模拟）在 中， ， ， ，则 的长是（ ）
A． B．3 C． D．
6．（2021·双阳模拟）某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的 处测得楼顶的仰角为 ，则楼房 的高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
7．（2021·海东模拟）如图，在 中， ， ，过点A作 的垂线交 于点D， 平分 交 于点E．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．3
8．（2021·朝阳模拟）如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得 ，则树的高度 为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·义安模拟）定义：在 的 中，我们把 的对边与 的对边的比叫做 的邻弦，记作 ，即 ．则 的值为（ ）．
A． B．1 C． D．
10．（2021·牡丹模拟）如图，已知矩形 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；③作射线 ，交边 于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·肇源期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，则AB的长为 ．
12．（2021九上·宁波期中）已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，tan∠ABC＝2，AC＝2，则AB＝ ．
13．（2021九上·哈尔滨月考）在△ABC中，AB＝5，tan∠ABC＝ ，AC＝ ，则BC＝ ．
14．（2021九上·哈尔滨开学考）如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝ ，则cos∠ADC＝ ．
15．（2021·婺城模拟）寒假在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2.使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO′后，使电脑变化至AD′位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12cm.
（1）∠CAO′＝ ；
（2）显示屏的顶部B比原来升高了 cm.
16．（2021·婺城模拟）有一种双层长方体垃圾桶AB＝70cm，BC＝25cm，CF＝30cm，侧面如图1所示，隔板EG等分上下两层，下方内桶BCHG绕底部轴（CF）旋转开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边CH的长度应设计为 ；现将CH调整为25cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，则可完全放入下方桶内的球体的直径不大于 .
三、解答题
17．（2021九上·肇源期中）如图，在 中， ，AD是BC边上的高，若 ， ，求AC的长．
18．（2021·陕西模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝ ， D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC+CD＝9.求BE，CE的长.
19．（2021·长葛模拟）如图，AD是△ABC的高， ，求△ABC的周长.
四、综合题
20．（2021·嘉定模拟）某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．（备注： ， ， ）
（1）如果长方形的边与街道的边缘成45°角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？（结果保留一位小数）
（2）如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？
21．（2020九上·垦利期末）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，BD＝AC＝10，tanB＝ ．
（1）求AD的长；
（2）求cos∠C的值和S△ABC．
22．（2021九上·平桂期末）已知：如图，在 中， ， ， .求：
（1） 的面积；
（2） 的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中，∠ACB＝90°，由三角函数的定义可得：
， ， ，
又∵
∴
故答案为：D
【分析】利用锐角三角函数，再结合AB=m计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1： ；
∴AC=BC÷tanA= 米，
∴ 米．
故答案为：B．
【分析】先利用坡度较求出AC的长，再利用勾股定理求解即可。
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ，
， ，
，
故答案为：D．
【分析】根据正弦的定义可以得到，再将BC=2代入计算即可。
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APC=90°，
∵PC=50米，∠PCA=44°，
∴tan44°= ，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50 tan44°米．
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法求解即可。
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
．
．
故答案为：A．
【分析】利用锐角三角函数先求出AB=3，再利用勾股定理计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，∠ABC=90°，
∵BC=35，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出∠ABC=90°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点A作 于点F，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】如图，过点A作AF垂直BC于F，由题意可得 ，进而可得AC=AE+CE=6，，然后根据等腰直角三角形的性质可求解。
8．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
，
，
m.
故答案为：D.
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案。
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：令∠A=45°如图，作BH⊥AC，垂足为H， 在Rt△BHC中，∠C=30°，
∴BC=2BH，
在Rt△BHA中， ，
∴
∴
故答案为：C
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】 四边形 是矩形， ，
，
由题意， 平分
故答案为：D．
【分析】先求出，再求出，最后求点的坐标即可。
11．【答案】3＋
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°．
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD．
∵∠A＝30°， ，
∴ ，
∴ ．
由勾股定理得： ，
∴ ．
故答案是：3＋
【分析】先求出CD＝BD，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，
∴tan∠ABC＝==2，
∴BC=1，
∴AB= ==.
故答案为：.
【分析】在Rt△ABC中，根据正切三角函数的定义求出BC长，然后根据勾股定理求AB长即可.
13．【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，当∠C为锐角时，过点A作AE⊥BC于E，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
如图所示，当∠ACB为钝角时，过点A作AE⊥BC交BC延长线于E，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为： 或 ．
【分析】分如图所示，当∠C为锐角时，过点A作AE⊥BC于E，如图所示，当∠ACB为钝角时，过点A作AE⊥BC交BC延长线于E的两种情况，根据直角三角函数的定义分别求出BE与CE的值即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝10，
∴cos∠ADC＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算AD的长，然后利用余弦定理即可求解。
15．【答案】（1）30
（2）
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：（1） 于C， ，
，
，
（2）如图，过点B作 交AO的延长线于D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在同一直线上，
，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了 .
【分析】（1）解直角三角形即可求解；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，解直角三角形求得BD的长，由C、O′、B′三点共线可得结果，计算O′B′＋O′C BD即可求解．
16．【答案】；21
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】①点 恰好能卡在原 点的位置
故答案为：
②如图：
根据旋转， ， ，
过点 作 于点 ，交 于点
过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，交 于点 ，过 作 于点
又
，
球体的直径不大于21
故答案为21.
【分析】①点 恰好能卡在原 点的位置，则BH=BG=AB的值，在直角三角形BCH中，用勾股定理可求得CH的值；
②如图：根据旋转的性质和等边对等角可得∠C BH=∠HBG =45°，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，解直角三角形可求得sin∠JBK的值；过点 作 于点 ，交 于点 ，过 作 于点 ，解直角三角形可求得HM的值，再根据线段的构成ML=HL-HM可求解.
17．【答案】解：根据题意，
∵ ，AD是BC边上的高，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先求出 ， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
18．【答案】解：∵DE⊥AB
∴∠DEB=90°，∵sinB＝ ，
∴设DE=3x，DB=5x，则BE=4x
∵CD＝DE，AC+CD＝9，
∴AC=9-3x，
∵∠DEB=90°，∠ACB＝90°，
∴∠DEB=∠ACB
∵∠B=∠B
∴△ABC∽△DBE，
∴
∴
∴BC=12-4x，
∵BC=CD+DB
∴12-4x=3x+5x
∴x=1
∴BE=4x=4
∴BC=8，AB=10
过点C作CF⊥AB于点F，
由面积法可得
AC×BC=AB×CF
∴6×8=10CF
∴CF=4.8
∵
∴
∴BF=6.4
∴EF=BF-BE=6.4-4=2.4
∴在Rt△CFE中，
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 由sinB＝，DE⊥AB于点E可设DE＝3x，DB＝5x，结合已知可将AC用含x的代数式表示出来，由同角的余角相等可得∠DEB=∠ACB，由有两个角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DBE，于是得比例式可求出x的值，从而可得BE及BC，AB的值；过点C作CF⊥AB于点F，由面积法可得CF的值，再由∠B的正切值得BF，根据线段的构成EF=BF-BE可求得EF的值，然后用勾股定理可求得CE．
19．【答案】解：在 中， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，即 ，
∴
∴ ， ，
∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在直角三角形ACD中，根据锐角三角函数sinC==可求得AD的值；在直角三角形ABD中，由已知条件cosB=结合特殊角的三角函数值可得∠B=∠BAD=45°；用勾股定理可求得AB、CD的值，然后根据三角形的周长=AC+BD+CD可求解.
20．【答案】（1）由题意得：如图1，120÷24=5（米），
∵如图2，EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1（米），
答：按图1停放，一个停车位占街道长5米，按图2停放，一个停车位占街道长3.1米；
（2）∵如图2，
BC=2.2×sin45°=2.2× ≈1.54（米），GH=5×sin45°=5× ≈3.5（米），
∴BE=BC+GH≈5.04（米），
∴（120-5.04）÷3.1+1≈38（个），
答：最多可停放38辆车．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用解直角三角形，直接求解，即可；
（2）先算出第一辆车所占的停车位长，以及后面每辆车所占的停车位长，进而即可求解．
21．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB＝ ＝ ，
∵BD＝AC＝10，
∴AD＝8；
（2）解：∵∠ADC＝90°，AC＝10，AD＝8，
∴CD＝ ＝ ＝6，
∴BC＝BD+CD＝16，
∴cosC＝ ＝ ＝ ，
∴S△ABC＝ BC AD＝ ×16×8＝64．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADB＝∠ADC＝90°， 再求出 tanB＝ ＝ ， 最后计算求解即可；
（2）利用勾股定理先求出CD=6，再利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
22．【答案】（1）解：作AH⊥BC，垂足为点H.
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴BH=3，AH=3 ，
∴S△ABC= ×8×3 =12 ，
（2）解：∵BC=8，BH=3，∴CH=5.
在Rt△ACH中，∵AH=3 ，CH=5，
∴AC=2 .
∴cosC= .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）作AH⊥BC，垂足为点H，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BH=AB可求得BH的值，然后用勾股定理可求得AH的值，根据S△ABC=BC×AH可求得三角形ABC的面积；
（2）由线段的构成得CH=BC-BH，用勾股定理可求得AC的值，然后根据cosC=可求解.
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题14 解直角三角形
一、单选题
1．（2021九上·黄浦期中）已知 ，AB＝m，∠ACB＝90°，则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中，∠ACB＝90°，由三角函数的定义可得：
， ， ，
又∵
∴
故答案为：D
【分析】利用锐角三角函数，再结合AB=m计算求解即可。
2．（2021九上·长春期中）如图，河坝横断面迎水坡 的坡比为 ．坝高 为 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1： ；
∴AC=BC÷tanA= 米，
∴ 米．
故答案为：B．
【分析】先利用坡度较求出AC的长，再利用勾股定理求解即可。
3．（2021九上·济宁月考）在Rt ABC中，∠C＝90°，sinA ，BC＝2，则AB等于（ ）
A． B．4 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ，
， ，
，
故答案为：D．
【分析】根据正弦的定义可以得到，再将BC=2代入计算即可。
4．（2021九上·吉林月考）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取 的垂线 上的一点C，测得 米， ，则小河宽 为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APC=90°，
∵PC=50米，∠PCA=44°，
∴tan44°= ，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50 tan44°米．
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法求解即可。
5．（2021·哈尔滨模拟）在 中， ， ， ，则 的长是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
．
．
故答案为：A．
【分析】利用锐角三角函数先求出AB=3，再利用勾股定理计算求解即可。
6．（2021·双阳模拟）某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的 处测得楼顶的仰角为 ，则楼房 的高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，∠ABC=90°，
∵BC=35，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出∠ABC=90°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．（2021·海东模拟）如图，在 中， ， ，过点A作 的垂线交 于点D， 平分 交 于点E．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点A作 于点F，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】如图，过点A作AF垂直BC于F，由题意可得 ，进而可得AC=AE+CE=6，，然后根据等腰直角三角形的性质可求解。
8．（2021·朝阳模拟）如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得 ，则树的高度 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
，
，
m.
故答案为：D.
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案。
9．（2021·义安模拟）定义：在 的 中，我们把 的对边与 的对边的比叫做 的邻弦，记作 ，即 ．则 的值为（ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：令∠A=45°如图，作BH⊥AC，垂足为H， 在Rt△BHC中，∠C=30°，
∴BC=2BH，
在Rt△BHA中， ，
∴
∴
故答案为：C
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
10．（2021·牡丹模拟）如图，已知矩形 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；③作射线 ，交边 于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】 四边形 是矩形， ，
，
由题意， 平分
故答案为：D．
【分析】先求出，再求出，最后求点的坐标即可。
二、填空题
11．（2021九上·肇源期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，则AB的长为 ．
【答案】3＋
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°．
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD．
∵∠A＝30°， ，
∴ ，
∴ ．
由勾股定理得： ，
∴ ．
故答案是：3＋
【分析】先求出CD＝BD，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．（2021九上·宁波期中）已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，tan∠ABC＝2，AC＝2，则AB＝ ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，
∴tan∠ABC＝==2，
∴BC=1，
∴AB= ==.
故答案为：.
【分析】在Rt△ABC中，根据正切三角函数的定义求出BC长，然后根据勾股定理求AB长即可.
13．（2021九上·哈尔滨月考）在△ABC中，AB＝5，tan∠ABC＝ ，AC＝ ，则BC＝ ．
【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，当∠C为锐角时，过点A作AE⊥BC于E，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
如图所示，当∠ACB为钝角时，过点A作AE⊥BC交BC延长线于E，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为： 或 ．
【分析】分如图所示，当∠C为锐角时，过点A作AE⊥BC于E，如图所示，当∠ACB为钝角时，过点A作AE⊥BC交BC延长线于E的两种情况，根据直角三角函数的定义分别求出BE与CE的值即可得出答案。
14．（2021九上·哈尔滨开学考）如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝ ，则cos∠ADC＝ ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝10，
∴cos∠ADC＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算AD的长，然后利用余弦定理即可求解。
15．（2021·婺城模拟）寒假在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2.使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO′后，使电脑变化至AD′位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12cm.
（1）∠CAO′＝ ；
（2）显示屏的顶部B比原来升高了 cm.
【答案】（1）30
（2）
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：（1） 于C， ，
，
，
（2）如图，过点B作 交AO的延长线于D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在同一直线上，
，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了 .
【分析】（1）解直角三角形即可求解；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，解直角三角形求得BD的长，由C、O′、B′三点共线可得结果，计算O′B′＋O′C BD即可求解．
16．（2021·婺城模拟）有一种双层长方体垃圾桶AB＝70cm，BC＝25cm，CF＝30cm，侧面如图1所示，隔板EG等分上下两层，下方内桶BCHG绕底部轴（CF）旋转开，若点H恰好能卡在原来点G的位置，则内桶边CH的长度应设计为 ；现将CH调整为25cm，打开最大角度时，点H卡在隔板上，如图2所示，则可完全放入下方桶内的球体的直径不大于 .
【答案】；21
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】①点 恰好能卡在原 点的位置
故答案为：
②如图：
根据旋转， ， ，
过点 作 于点 ，交 于点
过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，交 于点 ，过 作 于点
又
，
球体的直径不大于21
故答案为21.
【分析】①点 恰好能卡在原 点的位置，则BH=BG=AB的值，在直角三角形BCH中，用勾股定理可求得CH的值；
②如图：根据旋转的性质和等边对等角可得∠C BH=∠HBG =45°，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，解直角三角形可求得sin∠JBK的值；过点 作 于点 ，交 于点 ，过 作 于点 ，解直角三角形可求得HM的值，再根据线段的构成ML=HL-HM可求解.
三、解答题
17．（2021九上·肇源期中）如图，在 中， ，AD是BC边上的高，若 ， ，求AC的长．
【答案】解：根据题意，
∵ ，AD是BC边上的高，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先求出 ， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
18．（2021·陕西模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝ ， D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC+CD＝9.求BE，CE的长.
【答案】解：∵DE⊥AB
∴∠DEB=90°，∵sinB＝ ，
∴设DE=3x，DB=5x，则BE=4x
∵CD＝DE，AC+CD＝9，
∴AC=9-3x，
∵∠DEB=90°，∠ACB＝90°，
∴∠DEB=∠ACB
∵∠B=∠B
∴△ABC∽△DBE，
∴
∴
∴BC=12-4x，
∵BC=CD+DB
∴12-4x=3x+5x
∴x=1
∴BE=4x=4
∴BC=8，AB=10
过点C作CF⊥AB于点F，
由面积法可得
AC×BC=AB×CF
∴6×8=10CF
∴CF=4.8
∵
∴
∴BF=6.4
∴EF=BF-BE=6.4-4=2.4
∴在Rt△CFE中，
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 由sinB＝，DE⊥AB于点E可设DE＝3x，DB＝5x，结合已知可将AC用含x的代数式表示出来，由同角的余角相等可得∠DEB=∠ACB，由有两个角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△DBE，于是得比例式可求出x的值，从而可得BE及BC，AB的值；过点C作CF⊥AB于点F，由面积法可得CF的值，再由∠B的正切值得BF，根据线段的构成EF=BF-BE可求得EF的值，然后用勾股定理可求得CE．
19．（2021·长葛模拟）如图，AD是△ABC的高， ，求△ABC的周长.
【答案】解：在 中， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，即 ，
∴
∴ ， ，
∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在直角三角形ACD中，根据锐角三角函数sinC==可求得AD的值；在直角三角形ABD中，由已知条件cosB=结合特殊角的三角函数值可得∠B=∠BAD=45°；用勾股定理可求得AB、CD的值，然后根据三角形的周长=AC+BD+CD可求解.
四、综合题
20．（2021·嘉定模拟）某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．（备注： ， ， ）
（1）如果长方形的边与街道的边缘成45°角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？（结果保留一位小数）
（2）如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？
【答案】（1）由题意得：如图1，120÷24=5（米），
∵如图2，EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1（米），
答：按图1停放，一个停车位占街道长5米，按图2停放，一个停车位占街道长3.1米；
（2）∵如图2，
BC=2.2×sin45°=2.2× ≈1.54（米），GH=5×sin45°=5× ≈3.5（米），
∴BE=BC+GH≈5.04（米），
∴（120-5.04）÷3.1+1≈38（个），
答：最多可停放38辆车．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用解直角三角形，直接求解，即可；
（2）先算出第一辆车所占的停车位长，以及后面每辆车所占的停车位长，进而即可求解．
21．（2020九上·垦利期末）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，BD＝AC＝10，tanB＝ ．
（1）求AD的长；
（2）求cos∠C的值和S△ABC．
【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB＝ ＝ ，
∵BD＝AC＝10，
∴AD＝8；
（2）解：∵∠ADC＝90°，AC＝10，AD＝8，
∴CD＝ ＝ ＝6，
∴BC＝BD+CD＝16，
∴cosC＝ ＝ ＝ ，
∴S△ABC＝ BC AD＝ ×16×8＝64．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADB＝∠ADC＝90°， 再求出 tanB＝ ＝ ， 最后计算求解即可；
（2）利用勾股定理先求出CD=6，再利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
22．（2021九上·平桂期末）已知：如图，在 中， ， ， .求：
（1） 的面积；
（2） 的余弦值.
【答案】（1）解：作AH⊥BC，垂足为点H.
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴BH=3，AH=3 ，
∴S△ABC= ×8×3 =12 ，
（2）解：∵BC=8，BH=3，∴CH=5.
在Rt△ACH中，∵AH=3 ，CH=5，
∴AC=2 .
∴cosC= .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）作AH⊥BC，垂足为点H，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BH=AB可求得BH的值，然后用勾股定理可求得AH的值，根据S△ABC=BC×AH可求得三角形ABC的面积；
（2）由线段的构成得CH=BC-BH，用勾股定理可求得AC的值，然后根据cosC=可求解.
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