湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题15 解直角三角形的应用
一、单选题
1．（2021九上·无锡期中）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，坡面AB= ，则堤高的高度是（ ）
A．3 B． C．6 D．
2．（2021九上·阳谷月考）如图，河堤横断面的坡比BC：AC是1： ，AC＝6m．则坡面AB的长度是（ ）
A．12m B．8 m C．4 m D．6m
3．（2021九上·新泰月考）如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
4．（2021九上·新泰月考）如图，从点 看一山坡上的电线杆 ，观测点 的仰角是 ，向前走 到达 点， 测得顶端点 和杆底端点 的仰角分别是 和 ，则该电线杆 的高度（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·哈尔滨月考）如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为α，此时飞机的高度AC为a米，则AB的距离为（ ）米
A．atanα B． C． D．
6．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 .据此，可求得学校与工厂之间的距离 等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
9．（2021·十堰）如图，小明利用一个锐角是 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 为 ， 为 （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（ ）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
二、填空题
11．（2021九上·肇源期中）某人沿着坡度 的山坡起点向上走了50米，则他离地面高 米．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）
12．（2021九上·宁波期中）如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里面盛了一些溶液，当它支在桌子倾斜到液面与杯壁呈52°才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面 cm．（sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
13．（2021九上·平阳期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球.已知小明与篮框内的距离BC=5米，眼镜与底面的距离AB=1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知 ，则点D到底面的距离CD是 米.
14．（2021九上·阳谷月考）如图，轮船在 处观测灯塔 位于北偏西70°方向上，轮船从 处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头 处，此时，观测灯塔 位于北偏西25°方向上，则灯塔 与码头 的距离是 海里．
15．（2021九上·济宁月考）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 m（结果精确到1m， ）．
16．（2021九上·新泰月考）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为 米．
三、解答题
17．（2021九上·长春期中）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为 和 如果这时气球的高度 为 米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B之间的距离（结果精确到 米）．[参考数据： ， ， ]
18．（2021九上·肇源期中）一条自西向东的观光大道ｌ上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（答案可保留根号）
19．（2021九上·无锡期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截.问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.
四、综合题
20．（2021九上·沙坪坝月考）如图，在建筑物 的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡 的坡比为 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角a为35°，然后小李沿斜坡 走了 米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角 为18°，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离 长度为28.8米，（参考数据： ， ， ， ）
（1）求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米.
（2）求建筑物 的高度.
21．（2021·徐州）如图，斜坡 的坡角 ，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点 ，过其另一端 安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线 ，垂足为点 为 与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 .
参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
（1）求 的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点 的太阳光线与 所成的角 .后排光伏板的前端 在 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 的最小值为多少（结果取整数）？
22．（2021·荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上.
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度是1：2，
即 ，
∴
又∵在 中， ， ，
∴
解之得： （取正值）.
故答案为：C.
【分析】根据迎水坡AB的坡度可得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求解即可.
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡比BC：AC是1： ，AC＝6m，
∴ ＝ ，
解得，BC＝2 （m），
由勾股定理得，AB＝ ＝4 （m），
故答案为：C．
【分析】根据坡比的定义可以得到BC：AC=1：，再将AC=6代入计算可求出BC的长，最后利用勾股定理求出AB即可。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】由题已知：四边形CDEF为矩形，
∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
又∵EF=CD=10m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故答案为：C．
【分析】利用坡比的比值关系，求出AE与BF的长度即可得出下底的长。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE= PE= x，
∵AB=AE-BE=6米，
则x- x=6，
解得：x=9+3 ．
则BE=3 +3．
在直角△BEQ中，QE= BE= （3 +3）=3+ ．
∴PQ=PE-QE=9+3 -（3+ ）=6+2 ．
答：电线杆PQ的高度是（6+2 ）米．
故答案为：A．
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．在直角△APE中，在直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE、BE，根据AB=AE-BE=6米，即可列出方程求出x的值，再在直角△BEQ中，利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解。
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】由题意得，∠B＝α，
在Rt△ABC中，sinB ，
则AB ，
故答案为：C．
【分析】根据正弦的定义计算得出答案。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】
，
.
故答案为：D.
【分析】利用即可求出AB.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD tan30°＝15× ＝5 ，
∴CE＝CD＋DE＝ .
故答案为：D.
【分析】证明四边形ABCD是矩形，可得AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，求出ED＝AD tan30°＝5 ，利用CE＝CD＋DE即可求出结论.
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
11．【答案】25
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡度 ，
∴坡角=30°．
∴他离地面的高度=50×sin30°=25（米）．
故答案为：25．
【分析】先求出坡角=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
12．【答案】21.15
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，先取点，设过A点作桌面的垂线AD，过流水口B作桌面的垂线BC，作BE⊥AD于点E，
在Rt△BCF中，有∠BFC=52°， BF= 15cm，
BC=BFsin52°=15×0.79= 11.85cm，
∵四边形BEDC是矩形，
∴DE=BC= 11 .85cm，
∴BEIICD，
∴∠EBF =∠BFC= 52°，
∴∠ABE= 90°-52°=38° ，
∴∠BAE= 90°-38°= 52°，
在Rt△ABE中，AB = 15cm，
AE=ABcos52°=15×0.62 =9.3cm，
∴AD=AE+DE=9.3+11.85=21.15cm，
即此时杯子最高处距离桌面21.15cm.
故答案为：21.15.
【分析】过最高点作桌面的垂线AD，过流水口B作桌面的垂线BC，作BE⊥AD于点E，先解Rt△BCF，求出DE的长，再解Rt△ABE，求出AE长，最后根据线段间的和差关系计算即可.
13．【答案】3.2
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可知四边形ABCE是矩形，
∴CE=AB=1.7，AE=BC=5；
在Rt△AED中，
解之：DE=1.5，
∴DC=EC+DE=1.5+1.7=3.2.
故答案为：3.2.
【分析】利用矩形的判定和性质，可求出AE，CE的长；再利用解直角三角形求出DE的长，然后根据DC=EC+DE，代入计算可求出DC的长.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点B作BD⊥AC，交AC于点D
由题可知AB＝20海里，∠DAB＝60°，∠C＝45° ，
∵在Rt△ABD中，sin∠DAB＝ ，
∴sin60°＝ ，
∴BD＝ 海里，
∵在Rt△BCD中，sin∠C＝ ，
∴sin45°＝ ，
∴BC＝ 海里，
故答案为： ．
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC于点D，根据题意分别求出∠CBA的度数和AB的长，根据正弦的定义、等腰直角三角形的性质计算即可得到答案。
15．【答案】57
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出下图： ， ，垂足分别为点 、点 ， ， ， ， ，垂足为点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即乙楼高度约为57 ．
【分析】根据题意画出下图： ， ，垂足分别为点 、点 ， ， ， ， ，垂足为点 ，可得四边形ABCE是矩形，进而得到CE=AB=21，在 中，可求出AE，然后在 中，求出DE，即可求解。
16．【答案】180
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．
则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=270．
在Rt△ACD中，tan∠CAD ，∴AD 90 ．
在Rt△ABD中，tan∠BAD ，∴BD=AD tan30°=90 90，∴BC=CD﹣BD=270﹣90=180．则这栋大楼的高为180米．
故答案为：180．
【分析】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．利用∠CAD的正切函数求出邻边AD的长，进而可在Rt△ABD中，利用已知角的三角函数求出BD的长，由BC=CD﹣BD即可求出高度。
17．【答案】解：由已知，得 ， ， ， ， 于点D
，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
．
（米）．
答：建筑物A、B间的距离约为 米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】证明是等腰三角形，得出BD=CD=80米，再由锐角三角函数定义求出AD的长，即可求解。
18．【答案】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=x km．
在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AD= CD= x km．
在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x km．
∵AD BD=AB，
∴ x x=2，
∴x= +1．
故景点C到观光大道l的距离约为 km．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先求出 BD=CD=x km，再求出 x x=2， 最后求解即可。
19．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，
∵∠BAC＝75° 30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴AC＝ CD，
∵BC AE，
∴∠DBC＝∠BAE＝90° 30°＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝ ，
∵AD BD＝AB，
∴ 海里，
解得：BD＝10 海里，
∴CD＝ 海里，
∴AC＝ CD （海里），
∴ 小时
答：经过 小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，易得△ACD是等腰直角三角形，则AC＝CD，由平行线的性质可得∠DBC＝∠BAE＝60°，则∠BCD＝30°，由含30°角的直角三角形的性质可得BC=2BD，则AD＝CD＝BD，由AD BD＝AB可得BD，进而求出CD、AC，据此不难求出t的值.
20．【答案】（1）解：过A作 ，
∵ 的坡比 ，
设 ，
∴在 中，
∴ ，
∴ ；
答：小李从斜坡B走到A处高度上升了10米.
（2）解：延长角 的水平边交 于H则 ，
在 中，
设 ，在 中， ，
∴
∵四边形 是矩形，
∴
又∵ ，
在 中， ，
，
；
∴ ；
答：建筑物 的高度为40.8米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过A作AG⊥BC，由坡比可设AG=5x，BG=12x，由勾股定理可得AB=13x=26，求出x的值，进而可得AG；
（2）延长角α的水平边交DF于H，则AH⊥DF，由勾股定理求出CG，设EF=m，根据β的正切函数求出CF，由矩形的性质可得AH=GF=8+3m，表示出DH，根据α的正切函数可得m的值，由DF=DE+EF进行求解.
21．【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴ 的最小值为 。
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ADF中，由求出AF， 在Rt△AEF中，由求出AE即可；
（2） 设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，由三角形外角的性质可得=45°，利用解直角三角形分别求出DF、FG， 由AG=AF+FG求出AG， 由求出AN， 在Rt△ANM中，由求出AM，利用EM=AM-AE求出EM即得结论.
22．【答案】（1）解：如图1，作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， .
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
（2）解： ，
.
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：
∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 作 ，交AB的延长线于C，设 ， ， 由，解出x值即可；
（2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD， 以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，可得∠PDB=90°，
由（1）得可得，据此可得∠PBD=60°，由∠CBD=∠PBD-∠PBC，求出∠CBD的度数即可.
1 / 1湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题15 解直角三角形的应用
一、单选题
1．（2021九上·无锡期中）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，坡面AB= ，则堤高的高度是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度是1：2，
即 ，
∴
又∵在 中， ， ，
∴
解之得： （取正值）.
故答案为：C.
【分析】根据迎水坡AB的坡度可得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，运用勾股定理求解即可.
2．（2021九上·阳谷月考）如图，河堤横断面的坡比BC：AC是1： ，AC＝6m．则坡面AB的长度是（ ）
A．12m B．8 m C．4 m D．6m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡比BC：AC是1： ，AC＝6m，
∴ ＝ ，
解得，BC＝2 （m），
由勾股定理得，AB＝ ＝4 （m），
故答案为：C．
【分析】根据坡比的定义可以得到BC：AC=1：，再将AC=6代入计算可求出BC的长，最后利用勾股定理求出AB即可。
3．（2021九上·新泰月考）如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（ ）
A．55m B．60m C．65m D．70m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】由题已知：四边形CDEF为矩形，
∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
又∵EF=CD=10m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故答案为：C．
【分析】利用坡比的比值关系，求出AE与BF的长度即可得出下底的长。
4．（2021九上·新泰月考）如图，从点 看一山坡上的电线杆 ，观测点 的仰角是 ，向前走 到达 点， 测得顶端点 和杆底端点 的仰角分别是 和 ，则该电线杆 的高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE= PE= x，
∵AB=AE-BE=6米，
则x- x=6，
解得：x=9+3 ．
则BE=3 +3．
在直角△BEQ中，QE= BE= （3 +3）=3+ ．
∴PQ=PE-QE=9+3 -（3+ ）=6+2 ．
答：电线杆PQ的高度是（6+2 ）米．
故答案为：A．
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．在直角△APE中，在直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE、BE，根据AB=AE-BE=6米，即可列出方程求出x的值，再在直角△BEQ中，利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解。
5．（2021九上·哈尔滨月考）如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为α，此时飞机的高度AC为a米，则AB的距离为（ ）米
A．atanα B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】由题意得，∠B＝α，
在Rt△ABC中，sinB ，
则AB ，
故答案为：C．
【分析】根据正弦的定义计算得出答案。
6．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
7．（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 .据此，可求得学校与工厂之间的距离 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】
，
.
故答案为：D.
【分析】利用即可求出AB.
8．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
9．（2021·十堰）如图，小明利用一个锐角是 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 为 ， 为 （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD tan30°＝15× ＝5 ，
∴CE＝CD＋DE＝ .
故答案为：D.
【分析】证明四边形ABCD是矩形，可得AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，求出ED＝AD tan30°＝5 ，利用CE＝CD＋DE即可求出结论.
10．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（ ）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
二、填空题
11．（2021九上·肇源期中）某人沿着坡度 的山坡起点向上走了50米，则他离地面高 米．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）
【答案】25
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡度 ，
∴坡角=30°．
∴他离地面的高度=50×sin30°=25（米）．
故答案为：25．
【分析】先求出坡角=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
12．（2021九上·宁波期中）如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里面盛了一些溶液，当它支在桌子倾斜到液面与杯壁呈52°才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面 cm．（sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
【答案】21.15
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，先取点，设过A点作桌面的垂线AD，过流水口B作桌面的垂线BC，作BE⊥AD于点E，
在Rt△BCF中，有∠BFC=52°， BF= 15cm，
BC=BFsin52°=15×0.79= 11.85cm，
∵四边形BEDC是矩形，
∴DE=BC= 11 .85cm，
∴BEIICD，
∴∠EBF =∠BFC= 52°，
∴∠ABE= 90°-52°=38° ，
∴∠BAE= 90°-38°= 52°，
在Rt△ABE中，AB = 15cm，
AE=ABcos52°=15×0.62 =9.3cm，
∴AD=AE+DE=9.3+11.85=21.15cm，
即此时杯子最高处距离桌面21.15cm.
故答案为：21.15.
【分析】过最高点作桌面的垂线AD，过流水口B作桌面的垂线BC，作BE⊥AD于点E，先解Rt△BCF，求出DE的长，再解Rt△ABE，求出AE长，最后根据线段间的和差关系计算即可.
13．（2021九上·平阳期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球.已知小明与篮框内的距离BC=5米，眼镜与底面的距离AB=1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知 ，则点D到底面的距离CD是 米.
【答案】3.2
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可知四边形ABCE是矩形，
∴CE=AB=1.7，AE=BC=5；
在Rt△AED中，
解之：DE=1.5，
∴DC=EC+DE=1.5+1.7=3.2.
故答案为：3.2.
【分析】利用矩形的判定和性质，可求出AE，CE的长；再利用解直角三角形求出DE的长，然后根据DC=EC+DE，代入计算可求出DC的长.
14．（2021九上·阳谷月考）如图，轮船在 处观测灯塔 位于北偏西70°方向上，轮船从 处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头 处，此时，观测灯塔 位于北偏西25°方向上，则灯塔 与码头 的距离是 海里．
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点B作BD⊥AC，交AC于点D
由题可知AB＝20海里，∠DAB＝60°，∠C＝45° ，
∵在Rt△ABD中，sin∠DAB＝ ，
∴sin60°＝ ，
∴BD＝ 海里，
∵在Rt△BCD中，sin∠C＝ ，
∴sin45°＝ ，
∴BC＝ 海里，
故答案为： ．
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC于点D，根据题意分别求出∠CBA的度数和AB的长，根据正弦的定义、等腰直角三角形的性质计算即可得到答案。
15．（2021九上·济宁月考）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 m（结果精确到1m， ）．
【答案】57
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出下图： ， ，垂足分别为点 、点 ， ， ， ， ，垂足为点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即乙楼高度约为57 ．
【分析】根据题意画出下图： ， ，垂足分别为点 、点 ， ， ， ， ，垂足为点 ，可得四边形ABCE是矩形，进而得到CE=AB=21，在 中，可求出AE，然后在 中，求出DE，即可求解。
16．（2021九上·新泰月考）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为 米．
【答案】180
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．
则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=270．
在Rt△ACD中，tan∠CAD ，∴AD 90 ．
在Rt△ABD中，tan∠BAD ，∴BD=AD tan30°=90 90，∴BC=CD﹣BD=270﹣90=180．则这栋大楼的高为180米．
故答案为：180．
【分析】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．利用∠CAD的正切函数求出邻边AD的长，进而可在Rt△ABD中，利用已知角的三角函数求出BD的长，由BC=CD﹣BD即可求出高度。
三、解答题
17．（2021九上·长春期中）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为 和 如果这时气球的高度 为 米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B之间的距离（结果精确到 米）．[参考数据： ， ， ]
【答案】解：由已知，得 ， ， ， ， 于点D
，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
．
（米）．
答：建筑物A、B间的距离约为 米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】证明是等腰三角形，得出BD=CD=80米，再由锐角三角函数定义求出AD的长，即可求解。
18．（2021九上·肇源期中）一条自西向东的观光大道ｌ上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（答案可保留根号）
【答案】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=x km．
在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AD= CD= x km．
在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x km．
∵AD BD=AB，
∴ x x=2，
∴x= +1．
故景点C到观光大道l的距离约为 km．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先求出 BD=CD=x km，再求出 x x=2， 最后求解即可。
19．（2021九上·无锡期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截.问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，
∵∠BAC＝75° 30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴AC＝ CD，
∵BC AE，
∴∠DBC＝∠BAE＝90° 30°＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝ ，
∵AD BD＝AB，
∴ 海里，
解得：BD＝10 海里，
∴CD＝ 海里，
∴AC＝ CD （海里），
∴ 小时
答：经过 小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，易得△ACD是等腰直角三角形，则AC＝CD，由平行线的性质可得∠DBC＝∠BAE＝60°，则∠BCD＝30°，由含30°角的直角三角形的性质可得BC=2BD，则AD＝CD＝BD，由AD BD＝AB可得BD，进而求出CD、AC，据此不难求出t的值.
四、综合题
20．（2021九上·沙坪坝月考）如图，在建筑物 的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡 的坡比为 ，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角a为35°，然后小李沿斜坡 走了 米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角 为18°，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离 长度为28.8米，（参考数据： ， ， ， ）
（1）求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米.
（2）求建筑物 的高度.
【答案】（1）解：过A作 ，
∵ 的坡比 ，
设 ，
∴在 中，
∴ ，
∴ ；
答：小李从斜坡B走到A处高度上升了10米.
（2）解：延长角 的水平边交 于H则 ，
在 中，
设 ，在 中， ，
∴
∵四边形 是矩形，
∴
又∵ ，
在 中， ，
，
；
∴ ；
答：建筑物 的高度为40.8米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过A作AG⊥BC，由坡比可设AG=5x，BG=12x，由勾股定理可得AB=13x=26，求出x的值，进而可得AG；
（2）延长角α的水平边交DF于H，则AH⊥DF，由勾股定理求出CG，设EF=m，根据β的正切函数求出CF，由矩形的性质可得AH=GF=8+3m，表示出DH，根据α的正切函数可得m的值，由DF=DE+EF进行求解.
21．（2021·徐州）如图，斜坡 的坡角 ，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点 ，过其另一端 安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线 ，垂足为点 为 与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 .
参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
（1）求 的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点 的太阳光线与 所成的角 .后排光伏板的前端 在 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 的最小值为多少（结果取整数）？
【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴ 的最小值为 。
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ADF中，由求出AF， 在Rt△AEF中，由求出AE即可；
（2） 设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，由三角形外角的性质可得=45°，利用解直角三角形分别求出DF、FG， 由AG=AF+FG求出AG， 由求出AN， 在Rt△ANM中，由求出AM，利用EM=AM-AE求出EM即得结论.
22．（2021·荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上.
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
【答案】（1）解：如图1，作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， .
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
（2）解： ，
.
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：
∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 作 ，交AB的延长线于C，设 ， ， 由，解出x值即可；
（2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD， 以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，可得∠PDB=90°，
由（1）得可得，据此可得∠PBD=60°，由∠CBD=∠PBD-∠PBC，求出∠CBD的度数即可.
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