参考答案
1．B 2．B 3．C 4．B 5．B 6．D 7．A 8．B
9．CD 10．BC 11．BC 12．AD
3 10 2 5 13．2 14． 15．32 16． ,
20 2 3
【分析】
设 PF2 t，则 PF1 t，由椭圆定义可得 1 t 2a即 1 2 t 2 4a2 ，由勾股定理可得
2
2 1 t2 1 3 4c2 2 ，两式相除可得 e 2 ，再令m 1
2
1
,3
2
由函数的性质可得 e 的
范围，进而可得椭圆离心率的取值范围.
【详解】
设 F1 c,0 ， F2 c, 0 ，由椭圆的定义可得 PF1 PF2 2a，
设 PF t，则 PF t 2，所以 1 t 2a，即 1 t 2 4a22 1 ，①
π 2 2
因为 F1PF2 ，所以 1 t 4c2 ，②2
2 1 c2 2
两式相除可得 e 1 2 a2 ，
令m 1
3 ,3
可得 m 1， 2
2
e2 1 m 1
2 1 m2 2 2m 2 1 1
所以
1 2 m2
m 2
2 2 1
m m
2
2 1 1 1 ，
m 2 2
3 1 1 2
因为 m 3，所以 ，
2 3 m 3
1 1
所以当 即m 2 1 2， 1时 e2取得最小值 2 ，此时 e最小为 ，m 2 2
1 1 2 3
当 或 即m 5 3， 时 e2 5取得最大值 ，此时 e最大为 ，m 3 3 2 9 3
2 5
所以椭圆离心率的取值范围为 x ，
2 3
2 5
故答案为： , .
2 3
17．
答案第 1页，共 7页
（1） x y 3 0
（2） x 1 2 y 2 2 4
【分析】
（1）根据 AB的斜率求出中垂线的斜率，然后结合中点坐标公式求出 AB的中点，进而结合
点斜式即可求出结果；
（2）结合圆的性质求出圆心，进而结合两点间的距离公式即可求出半径，从而求出结果.
（1）
x y 1 0 x 3
，解得 ，故 A 3,2 ,…………………………2分
2x y 4 0 y 2
2 0
则 AB的中点坐标为 2,1 ，且 kAB 1 ,因此中垂线的斜率为 k 1，………………4分3 1
所以线段 AB的垂直平分线的方程 y 1 x 2 ，即 x y 3 0，……………………5分
（2）
由（1）知线段 AB的垂直平分线的方程为 x y 3 0，
x y 3 0 x 1
则 2x y 0 ，解得 ，……………………………………………………………7分 y 2
故圆心为 1,2 2 2，因此半径为 1 3 2 2 2 ，………………………………9分
所以圆的标准方程为 x 1 2 y 2 2 4 .………………………………………………10分
18．
（1）400，390
（2）8100（人）
【分析】
（1）该地区 9月份前 10天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项 a1 40，公差 d 40的
等差数列，由此能求出求出该地区在 9月 10日和 9月 11日这两天的流感病毒的新感染者人
数．
（2） 9月份后 20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项 b1 390，公差 d1 10的等差
数列，由此能求出该地区 9月份流感病毒的新感染者人数．
（1）
解：由题意知，该地区 9月份前 10天流感病毒的新感染者人数，
构成一个首项 a1 40，公差 d 40的等差数列，…………………………………………1分
答案第 2页，共 7页
所以 9月 10日的新感染者人数为 a10 40 (10 1) 40 400（人 )，………………………3分
所以 9月 11日的新感染者人数为 a11 400 10 390（人 )；………………………………5分
（2）
10(40 400)
解：9月份前 10天流感病毒的新感染者人数和为： S10 2200 )2 （人 ，……7分
9月份后 20天流感病毒的新感染者人数，
构成一个首项 b1 390，公差 d1 10的等差数列，…………………………………………8分
所以后 20天新感染者人数和为T20 20 390
20(20 1)
( 10) 5900（人 )，……………10分
2
所以该地区 9月份流感病毒的新感染者共有 2200 5900 8100人．……………………12分
19．(1) 证明见解析；(2) arc sin 2 13 ；(3) 6 7 .
13 7
【分析】
(1) 利用线面垂直的判定定理，证明CE 平面 ABD；
(2) 建系，利用坐标法求解；
(3) 利用(2)中的坐标系，套用点到平面的距离公式求解.
【详解】
(1)过点 E作 EF / /AD交 BD与点 F ，因为 AD 平面 ABC，所以 EF 平面 ABC ,
又CE AB，
所以以E为坐标原点， EB为 x轴， EC为 y轴， EF为 z轴建系如图，………………2分
A 2,0,0 ，B 2,0,0 ，C 0,2 3,0 ，D 2,0,3 ， E 0,0,0
AD 0,0,3 ， EC 0,2 3,0 ， ED 2,0,3 ……………………………………4分
设平面CDE的法向量为 n x, y, z ，
n EC 0, 2 3y 0,
由 得，
n ED 0 2x 3z 0
答案第 3页，共 7页
解得 y 0，取 x 3， z 2， n 3,0,2 …………………………………………5分
记直线 AD和平面CDE所成角为 ，0 90
sin | A D n | 6 2 13则有 ， arcsin 2 13 .…………………………7分
| AD || n | 3 13 13 13
(3) BC 2, 2 3,0 , BD 4,0,3 ………………………………………………8分
设平面BCD的法向量为m x, y, z
m BC 0, 2x 2 3y 0,
由 得
m BD 0 4x 3z 0
取 x 3，则 y 3， z 4，m 3, 3,4 ……………………………………10分
AD m 12 6 7
点 A到平面 BCD的距离为 .………………………………12分
m 2 7 7
20 2．（1） Sn n ；（2） d 2或 d 2 .
【分析】
（1）设数列 Sn 公差为 d1，由通项公式再平方可以得到 Sn关于 d1的式子，再由 Sn求得通
项公式 an ，由 a1 1求出 d1，这时就求出了 Sn .
（2）由等差数列前 n项和公式代入题中式子，得到关于 a1与 d的二次式，将 d看成参数，
则式子为关于 a1的一元二次方程，因为 a1肯定存在，则这个一元二次方程的判别式大于等于
零，据此解出 d的取值范围.
【详解】
（1）∵数列 Sn 为等差数列，设其公差为 d1，
∴ Sn S1 (n 1)d1 a1 (n 1)d1 (n 1)d1 1，
∴ Sn (n 1)
2d 21 2d1(n 1) 1，………………………………………………………………1分
∴当 n 2时， an S S
2 2 2 2
n n 1 [(n 1) d1 2d1(n 1) 1] [(n 2) d1 2d1(n 2) 1]
(2n 3)d1 2d1 2nd1 d1………………………………………………3分
当 n 1时也应成立，此时 a1 2d1 d1 d1 1，故 d1 1…………………………………4分
此时 an 2nd1 d1 2n 1，…………………………………………………………………5分
Sn (n 1)
2 2(n 1) 1 n2 .…………………………………………………………………6分
答案第 4页，共 7页
（2）∵ an 为等差数列，首项为 a1，
5 4
∴ S5 5a1 d 5a 1 10d ，…………………………………………………………7分2
S 7a 7 67 1 d 7a 21d，………………………………………………………………8分2 1
∴ 5a1 10d 7a1 21d 35 0，
∴ a1 2d a1 3d 1 0，
整理得， a21 5da 6d
2
1 1 0，…………………………………………………………10分
上述方程对 a1有解，故 (5d)2 4(6d 2 1) d 2 4 0，
∴ d , 2 2, .……………………………………………………………………12分
21．
1 x
2 y2
（ ） 1
4 3
1
（2）存在直线 l满足条件，其方程为 y x
2
【分析】
2 2 3
（1）设椭圆C x y 的方程为 2 2 1(a b 0)，根据椭圆C的长半轴长为 2，且经过点M 1,a b 2
，
a 2
可得 1 9 ，即可得到答案；
2 2 1 a 4b
（2）由题意得直线 l的斜率必存在，设直线 l的方程为： y k(x 2) 1，利用韦达定理，代
4 4k 2 5
入向量等式可得 2 ，求出 k的值，即可得到答案；3 4k 4
3
（1）∵中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆 C的长半轴长为 2 ，且经过点M 1, ，
2
x2 y2
∴设椭圆 C的方程为 2 2 1(a b 0)，a b
a 2
由题意得 1 9 ，解得b2 3，……………………………………………………3分
2 2 1 a 4b
x2C y
2
∴椭圆 的方程为 1．…………………………………………………………4分
4 3
（2）
∵过点 P(2,1)的直线 l与椭圆 C相交于不同的两点 A，B，
∴若存在直线 l满足题意，则直线 l的斜率必存在，
设直线 l的方程为： y k(x 2) 1，
答案第 5页，共 7页
x2 y2
1
由 4 3 ，
y k(x 2) 1
得 3 4k 2 x2 8k(2k 1)x 16k 2 16k 8 0，………………………………………6分
∵直线 l与椭圆 C相交于不同的两点 A、B，
设 A、B两点的坐标分别为 x1, y1 , x2 , y2 ，
∴Δ [ 8k(2k 1)]2 4 3 4k 2 16k 2 16k 8 0，
整理，得32(6k 3) 0
1
，解得 k 2，………………………………………………7分
8k(2k 1) 2
又 x1 x2 2 , x1x
16k 16k 8
2 2 ，…………………………………………8分3 4k 3 4k
∵ 2PA PB PM ，即 x1 2 x2 2 y1 1 y
5
2 1 ，4
5
∴ x1 2 x2 2 1 k 2 | PM |2 ，4
2 5
∴ x1x2 2 x1 x2 4 1 k ，4
16k 2 16k 8 8k(2k 1) 2
∴ 2 2 2 4
2 4 4k 5
1 k 2 ，…………………………10分
3 4k 3 4k 3 4k 4
1 1 1
解得 k ，∵ k ，∴ k ，……………………………………………………11分
2 2 2
1
∴存在直线 l满足条件，其方程为 y x．…………………………………………12分
2
22．
（1）证明见解析
13
（2）
13
（3） BM
1
BD，证明见解析
3
【分析】
（1）由已知中 DE 平面 ABCD，ABCD是边长为 3的正方形，我们可得DE AC，AC BD，
结合线面垂直的判定定理可得 AC 平面 BDE；
（2）以 D为坐标原点，DA，DC，DE方向为 x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分
别求出平面 BEF和平面 BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角的余弦值；
（3）由已知中 M是线段 BD上一个动点，设M t,t,0 .根据 AM //平面 BEF，则直线 AM的
方向向量与平面 BEF法向量垂直，数量积为 0，构造关于 t的方程，解方程，即可确定 M
答案第 6页，共 7页
点的位置.
（1）
因为 DE 平面 ABCD，所以DE AC .……………………………………………………1分
因为 ABCD是正方形，所以 AC BD，
DE BD D，从而 AC 平面 BDE.………………………………………………………2分
（2）
因为 DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz，如图所示.…………3分
ED
因为 BE与平面 ABCD所成角为 600，即 DBE 60 ，所以 3 .
DB
由 AD 3，可知DE 3 6， AF 6 .
则 A 3,0,0 ，F 3,0, 6 ，E 0,0,3 6 ，B 3,3,0 ，C 0,3,0 ，
所以 BF 0, 3, 6 ，EF 3,0, 2 6 .……………………………………………………5分
n B F 0
3y 6z 0
设平面 BEF的法向量为 n x, y, z ，则 ，即 .
n EF 0 3x 2 6z 0
令 z 6，则 n 4,2, 6 .……………………………………………………………………7分
uuur
因为 AC 平面 BDE，所以CA为平面 BDE的法向量，CA 3, 3,0 .……………………8分
所以 cos n,CA
n CA 6 13
n CA 3 2 26 13 .
因为二面角为锐角，所以二面角 F BE D 13的余弦值为 .……………………………9分
13
（3）
点 M是线段 BD上一个动点，设M t,t,0 .则 AM t 3, t,0 .…………………………10分
因为 AM //平面 BEF，所以 AM n 0，即 4 t 3 2t 0，解得 t 2 .…………………11分
此时，点 M坐标为 2,2,0 ，
即当 BM
1
BD时， AM //平面 BEF.………………………………………………………12分
3
答案第 7页，共 7页吉林省辉南县第六中学2021-2022学年高二上学期12月月考
数 学 试 卷
一、单选题（每小题5分,共计40分）
1．空间直角坐标系中的两点P(2，3，5)，Q(—2，—1，—1)则线段的中点M的坐标为（ ）
A． B． C．(0,1,3) D．
2．已知点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
3．数列满足，，且，，记数列的前项和为，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．14
4．过点且平行于的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三点不共线，为平面外一点，若由确定的点与共面，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．
6．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A． B． C． D．
7．点在直线x + y—2=0上，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．8
8．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，全对5分，漏选得2分，有错选得0分，共计20分）
9．若曲线与动直线恰有一个公共点，则实数的取值可以是（ ）
A． B．2 C． D．0
10．已知等差数列的前n项和为，若且，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．设抛物线的准线与对称轴交于点P，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A和B，则（ ）
A．P点坐标为(0，4a) B．直线AB方程为 C． D．
12．如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱A1D1、AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段B1C上存在点G，使平面EFG//平面BDC1
C．当时，直线EG与BC1所成角的余弦值为
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知向量，，，则______________
14．在三棱柱中，，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
15．若数列是等差数列，，，则________.
16．设椭圆的左 右焦点分别为 ，P是椭圆上一点，，，，则椭圆离心率的取值范围为___________.
4、解答题（17题10分，18—22题每题12分，共计70分）
17．已知直线，直线，与交于点，点.
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）求过A、B两点，且圆心在上的圆的标准方程.
18．某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
（1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
（2）该地区9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？
19．如图，是边长为4的正三角形，点是所在平面外一点，且平面，为的中点.
(1) 求直线和平面所成角的大小；
(2) 求点A到平面的距离.
20．已知等差数列的前n项和为.
（1）若数列为等差数列，且，求；
（2）若，求公差d的取值范围.
21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点；过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
22．如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°.
（1）求证：平面BDE；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论。
