2021-2022学年高中数学人教版A版（2019）选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算 课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
1.1.1 空间向量及其运算
一、回顾旧知
1.我们已经学过向量的概念，请同学们回顾：
（1）.向量的概念是什么？基本要素是什么？如何表示？
（2）.什么是向量的模？
既有大小又有方向的量就叫做向量;
几何表示法
向量的大小，长度
A
B
坐标表示法
大小和方向
1.我们已经学过向量的概念，请同学们回顾：
（3）.什么是零向量与单位向量？
（4）.什么是相等向量？相反向量？
长度为1个单位长度的向量叫单位向量
相等向量：方向相同且模相等的向量
相反向量：方向相反且模相等的向量
长度(模)为0的向量叫零向量
一、回顾旧知
2．提出问题：
（1）.我们学过平面向量的哪些运算？
向量的加减法运算
实数与向量的乘积
两个向量的数量积运算
一、回顾旧知
2．提出问题：
（2）.平面向量的加减法法则是什么？
满足什么样的运算律？
平面向量的加法法则是“平行四边形法则”和“三角形法则”，向量的加法满足交换律、结合律 。
平面向量的减法法则是 “三角形法则”， 向量的减法不满足交换律、结合律。
一、回顾旧知
（1）三角形法则：
A
B
C
AB+BC=AC
（2）平行四边形法则：
首
尾
相
接
O
A
B
C
OA+OB=OC
起
点
相
同
平面向量的加法法则
加法的运算律：
一、回顾旧知
平面向量的加法法则推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。
一、回顾旧知
2、减法运算：
O
A
B
起
点
相
同
三角形法则
OB-OA=AB
注：向量加法与减法的关系
O
A
B
C
一、回顾旧知
1．我们以前研究向量（特别是多于两个向量时）是在同一个平面内研究，即所研究的向量都在同一个平面内，为此我们称它为平面向量。
二、引入新课
问：难道向量只有平面上的吗？
2．（凭直觉）举出一个“似乎是空间中的向量”的例子
A
C
B
F1
F2
F3
O
G
钢板受力
手中的一支笔
二、引入新课
三、探究新知
1．提出问题：让我们类比平面向量的相关概念、表示方法，大胆的猜想给出空间向量的相关概念、表示方法。
平面向量 空间向量
定义 既有大小又有方向的量 既有大小又有方向的量
表示方法 几何表示法： 。 几何表示法： 。
模 向量的大小，记为： 。 向量的大小，记为： 。
零向量 模为0的向量 模为0的向量
单位向量 模为1的向量 模为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量 方向相反且模相等的向量
三、探究新知
3．提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间向量能否在空间中平移？
4.类比平面向量的加减法法则，空间向量的加减法法则应怎样定义？加减法满足哪些运算律？
任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到同一个平面内
a
b
a
b
a
b
+
O
A
B
b
C
三、探究新知
4．提出问题：类比平面向量的加减法法则，空间向量的加减法法则应怎样定义？加减法满足哪些运算律？
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
空间向量的加法运算满足交换律和结合律
问：空间向量的加法法则能否推广至若干个向量相加？
三、探究新知
a + b
a + b + c
a + b
a + b + c
空间向量的加法法则推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。
三、探究新知
三、理解新知
1．提出问题：
(1).零向量的方向应当怎样定义？
(2).单位向量的方向确定吗？
(3).所有单位向量移到同一起点上，终点构成一个什么图形？
规定零向量的方向是任意的
不确定
构成一个半径为1的球
三、理解新知
B
A
C
A1
D
B1
D1
C1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
四、运用新知
A
B
C
A1
D
B1
D1
C1
M
共线向量与共面向量
回 顾
a
O
B
b
结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.
b
a
一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，
（1）
（2）当 时， 的方向与 的方向相同；
当 时， 的方向与 的方向相反。
特别的，当 　时，
平面向量数乘的定义
它的长度和方向规定如下：
回 顾
回 顾
平面向量数乘的运算规律：
一、空间向量数乘运算
1.实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量.
当 时，
当 时，
与向量 方向相同；
与向量 方向相同；
是零向量.
当 时，
（1）方向：
（2）大小：
的长度是 的长度的 倍.
2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
一、空间向量数乘运算
问题：平面向量中，
的充要条件是：存在唯一
的实数 ，使
能否推广到空间向量中呢？
零向量与任意向量共线.
二、共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
共线向量定理:
对空间任意两个向量 ， 。
存在实数λ,使
如图，l为经过已知点A且平行已知非零向量的直线，若点P是直线l上任意一点，则
对空间任意一点O,
所以
即
若在l上取 则有
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.
由此可判断空间任意三点共线。.
a
l
A
B
P
O
由 知存在唯一的t, 满足
①
②
因为
所以
特别的，当t = 时，
则有
a
A
B
P
O
进一步，
t
1-t
P点为A,B 的中点
A、B、P三点共线
三、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量
既可能共面，也可能不共面
d
b
a
c
如果空间向量 与两不共线向量 ， 共面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有
那么什么情况下三个向量共面呢？
反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位
置关系？
C
2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线，
则向量 与向量 ， 共面的充要条件是
存在实数对x,y使
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x, y,使
C
对空间任一点O,有
填空：
1-x-y
x
y
C
③
式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
③
作用：由此可判断空间任意四点共面
P与A,B,C共面
引例.　已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？
例1.　如图，已知平行四边形ABCD，过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使
求证：
　　⑴四点E、F、G、H共面；
　　⑵平面EG//平面AC.
　
O
B
A
H
G
F
E
C
D
共线向量 共面向量
定义 向量所在直线互相平行或重合 平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
定理
推论
运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面
小结
共面