2021-2022学年高中数学人教版A版（2019）选择性必修一3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程
引例:
若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它的两端
都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动
笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？
结论: 平面内到一个定点的距离等于定长的
点的轨迹是圆.
思考:平面内到两定点
的距离之和等于定长
的点的轨迹又是什么？
结论:平面内到两个定点的距离等于定长的点的轨迹是
椭圆.
若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上
不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖
一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？
探究1:
若细绳长不变, 两定点的距离逐步拉大,则该轨迹
有何变化？
探究2:
结论:平面内到两个定点的距离等于定长的点的轨迹是
椭圆.
若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上
不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖
一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？
探究1:
若细绳长不变, 两定点的距离逐步拉大,则该轨迹
有何变化？
探究2:
结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是 ；
（2）当2a=2c时，轨迹是 ；
（3）当2a<2c时， ；
椭圆
以F1、 F2为端点的线段
无轨迹
平面上到两个定点的距离的和等于定长2a,（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。
椭圆定义：
如图：
一、椭圆的定义
F1
F2
M
2c
若a=4,图中给定三角形周长等于： .
16
O
x
y
F1
F2
M
如图所示:F1、F2为两定点，且
|F1F2|=2c，求平面内到两定点
F1、F2距离之和为定值2a(2a>2c)
的动点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴
建立直角坐标系，
(-c,0)
(c,0)
(x,y)
设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，
则椭圆就是集合P={M||MF1|+ |MF2|=2a}
如何化简
则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。
问题: 求曲线方程的基本步骤？
（1）建系设点;
（2）写出条件；
（3）列出方程；
（4）化简方程；
（5）下结论。
O
x
y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
(x,y)
整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0，
(a>b>0)
两边同除以a2(a2-c2)得:
P
那么①式
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
①
你能在图中找出
表示a，c， ，
的线段吗？
O
x
y
F1
F2
M
O
x
y
F1
F2
M
椭圆的标准方程
-a
例题:
1.已知椭圆方程为 ,
则(1)a= , b= , c= ;
(2)焦点在 轴上,其焦点坐标为 ,
焦距为 。
(3)若椭圆方程为 ,
其焦点坐标为 .
5
4
3
(-3,0)、(3,0)
6
x
(0,3)、(0,-3)
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，
则点P到右焦点的距离是 ；
(5)若CD为过左焦点F1的弦，
则 CF1F2的周长为 ，
F2CD的周长为 。
1.已知椭圆方程为 ,
F1
F2
C
D
4
16
20
O
x
y
2.(课本例1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程.
解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知
所以
又因为 ,所以
因此, 所求椭圆的标准方程为
2.(课本例1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程.
解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
①
②
联立①②,
因此, 所求椭圆的标准方程为
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定焦点的位置；
（2）设出椭圆的标准方程；
（3）用待定系数法确定a、b的值，
写出椭圆的标准方程.
巩固练习
1、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则
动点P的轨迹为（ ）
变式：
（1）动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则
动点P的轨迹为（ ）
（2）动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是9，则
动点P的轨迹为（ ）
A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
D
B
A
小结:
(1)椭圆的定义
平面上到两个定点的距离的和等于定长2a
(大于2c)的点的轨迹叫椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。
(2)椭圆的两种标准方程
y
o
F1
F2
M
x
y
x
o
F2
F1
M
定 义
图 形
标准方程
焦点及位置
判定
a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a
作业:
P109 2