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第21章：一元二次方程（填空题专练）
1．已知关于x的一元二次方程没有实数根，即实数c的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据题意可知，判别式，求解即可．
【详解】解：∵方程没有实数根，
∴，
解得
故答案为
【点评】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握相关关系是解题的关键．
2．关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1 x2的值为 ___．
【答案】2．
【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，
∴，
∴x1+x2﹣x1 x2=1-（-1）=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若为一元二次方程的两个根，则有，熟记知识点是解题的关键．
3．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
【答案】3
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得 ( http: / / www.21cnjy.com )到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．21世纪教育网版权所有
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．www.21-cn-jy.com
4．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 __．21·世纪*教育网
【答案】
【分析】由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小刚看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程．www-2-1-cnjy-com
【详解】解：小明看错了一次项系数，
；
小刚看错了常数项，
，
．
正确的一元二次方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
5．关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
【答案】3
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．21·cn·jy·com
【详解】解：由题意得：，
，
，
化成整式方程为，
解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．2-1-c-n-j-y
6．如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是___________．
【答案】
【分析】根据关于的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入，即可解答本题．【出处：21教育名师】
【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是，
，
，
．
故答案为：2020．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）．
【答案】5（答案不唯一，只有即可）
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围．
【详解】解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=0，
∵△=36-4（9-c）=4c≥0，
解上式得c≥0．
故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）．
【点评】本题考查了一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 =b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 <0时，一元二次方程没有实数根.关键在于求出c的取值范围．
8．若是方程的两个根，则_________．
【答案】-3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
故答案是：-3．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是一元二次方程的两个根，则，是解题的关键．21教育名师原创作品
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少 如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程___________．
【答案】或
【分析】设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．21*cnjy*com
【详解】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，
依题意得：
即或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．设、是方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】2020
【分析】由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果
【详解】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：2020
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．方程是关于x的一元二次方程，则_________．
【答案】-3
【分析】根据一元二次方程的定义进行分析即可.
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程
所以|n|-1=2，n-3≠0
解得n=-3
故答案为：-3.
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
12．某校要组织一次篮球赛邀请赛，参赛的每两 ( http: / / www.21cnjy.com )个队之间都要比赛一场，根据场地和时间条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为___________________.
【答案】
【详解】试题分析：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为： x（x﹣1）=2×5．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程
13．某班有一人患了流感，经过两轮传染后，班上有人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是________．
【答案】
【分析】设未知数求解即可.
【详解】设一个人可传染x人，则两轮后共有x（x+1）+x+1人感染，即x2+2x+1=49，求得x=6(x=－8舍去)，所以若4人患上了流感，第一轮共有4+4人感染.
【点评】正确理解题意是解题的关键.
14．近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年将投入3600万元，设该市投入教育经费的年平均增长率为，根据题意则可以列出的方程是______．
【答案】
【分析】已知2018年教育经费投入为250 ( http: / / www.21cnjy.com )0万，根据增长率计算可得2019年教育经费的投入，然后再用同样的方法计算2020年教育经费的投入等于3600万即可．
【详解】解：根据题意可得：该县投入教育经费的年平均增长率率为x，根据题意得：
2019年投入的教育经费为：，
2020年投入的教育经费为：，
∴可列方程为：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握平均增长率问题的计算公式．
15．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠B=90°，AB=6cm，点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，__________秒后△PBQ的面积等于8cm2．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】4或2
【分析】首先设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，进而可得PB=6-x，QB=2x，再根据三角形的面积公式可得（6-x）2x=8，再解即可．
【详解】解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：
（6-x）2x=8，
解得：x1=2，x2=4，
故答案为2或4．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握三角形的面积公式．
16．某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛场，则有______支球队参加比赛．
【答案】10
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x-1）场，再根据题意列出方程为x（x-1）=45．
【详解】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x-1），
∴共比赛了45场，
∴x（x-1）=45，
解得：x1=10，x2=-9（舍去），
故答案为：10.
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是从实际问题中抽象出相等关系．
17．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ， 最高销售限价b（b＞a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c＝a+k（b﹣a），这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得 ，据此可得，最佳乐观系数k的值等于______ ．
【答案】##
【分析】根据等式的性质把比例式变形，再用含k的式子代入，解关于k的方程即可．
【详解】解：∵，
∴（c-a）2=（b-a）（b-c），
∵c＝a+k（b﹣a），
∴c-a=k（b-a），
∴k2（b-a）2=（b-a）（b-c），
∵b＞a，
∴b-a≠0，
∴k2（b-a）= b-c，
把c＝a+k（b﹣a）代入得， k2（b-a）=b-a-k（b-a）
∴k2=1-k即k2+k-1=0
解得，
∵0≤k≤1
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了等式的性质，解一元二次方程，解题关键是通过等式变形得出关于k的一元二次方程．
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
【答案】k≥1．
【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得k≥1，∴k的取值范围是k≥1．故答案为k≥1．【来源：21·世纪·教育·网】
考点：根的判别式．
19．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则－mn＋=_______．
【答案】25
【详解】试题分析：由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即﹣mn+=﹣3mn=16+9=25．【版权所有：21教育】
故答案为25．
考点：根与系数的关系．
20．当x=_______时，代数式(x-1)(x-5)与(3x-1)(x-1)的值相等．
【答案】1或-2
【分析】根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：(x-1)(x-5)=(3x-1)(x-1)，
整理得：x2+x-2=0，
(x-1)(x+2)=0，
解得：x=1或-2．
故答案为：1或-2．
【点评】本题主要考查解一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】31
【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：31．
【点评】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．
22．若关于x的一元二次方程x2+3x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为________
【答案】
【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：∵ 一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=．
故答案为：
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
23．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）
【答案】1.65
【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．
【详解】解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225，
∵0.0304＞0.0225，
∴6.0225比5.9696更逼近6，
∴ 方程x2+2x=6的一个解大约是1.65，
故答案为：1.65．
【点评】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近．21cnjy.com
24．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为_____．
【答案】-1.
【详解】分析：先把x=0代 ( http: / / www.21cnjy.com )入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
详解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．【来源：21cnj*y.co*m】
25．若关于x的方程是一元二次方程，则______．
【答案】3
【分析】根据一元二次方程的概念可直接进行求解即可．
【详解】解：由关于x的方程是一元二次方程可得：
，
解得：；
故答案为3．
【点评】本题主要考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键．
26．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解 ( http: / / www.21cnjy.com )是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是_____．2·1·c·n·j·y
【答案】x1=﹣1，x2=﹣3．
【分析】换元法即可求解,见详解.
【详解】令2x+3=t,则方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0化为t2+2t﹣3=0,
解得：t=1或-3,即2x+3=1或2x+3=-3
解得：x1=﹣1，x2=﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键.
27．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为______．
【答案】x+x2=0
【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2x=0．
故答案为：x2-2x=0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
28．若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设与交点为，根据题意关于y轴对称和二次函数的对称性，可找到的值（只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条件的方程
【详解】设与交点为，
根据题意
则
的对称轴为
故设
则方程为：
故答案为：
【点评】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键21教育网
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第21章：一元二次方程（填空题专练）
1．已知关于x的一元二次方程没有实数根，即实数c的取值范围是________．
2．关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1 x2的值为 ___．
3．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
4．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 __．21教育网
5．关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
6．如果关于的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是___________．
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）．
8．若是方程的两个根，则_________．
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少 如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程___________．
10．设、是方程的两个实数根，则的值为________．
11．方程是关于x的一元二次方程，则_________．
12．某校要组织一次篮球赛邀请赛，参赛的每 ( http: / / www.21cnjy.com )两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为___________________.
13．某班有一人患了流感，经过两轮传染后，班上有人被传染患上了流感，按这样的传染速度，若人患了流感，则第一轮传染后患上流感的人数是________．21cnjy.com
14．近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年将投入3600万元，设该市投入教育经费的年平均增长率为，根据题意则可以列出的方程是______．21·cn·jy·com
15．如图，在△ABC中，∠B=90°，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=6cm，点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，__________秒后△PBQ的面积等于8cm2．www.21-cn-jy.com
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16．某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛场，则有______支球队参加比赛．
17．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ， 最高销售限价b（b＞a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c＝a+k（b﹣a），这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得 ，据此可得，最佳乐观系数k的值等于______ ．
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
19．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则－mn＋=_______．
20．当x=_______时，代数式(x-1)(x-5)与(3x-1)(x-1)的值相等．
21．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
22．若关于x的一元二次方程x2+3x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为________
23．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）
24．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为_____．
25．若关于x的方程是一元二次方程，则______．
26．我们知道方程x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是_____．21世纪教育网版权所有
27．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为______．
28．若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____．
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