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第25章：概率初步（简答题专练）
1．每年的4月23日为“世界 ( http: / / www.21cnjy.com )读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的形象大使，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率．21世纪教育网版权所有
【答案】恰好选中甲和乙的概率为
【分析】本题利用树状图和列表法求出所有可能出现的结果，再求出符合条件的个数，然后利用概率公式即可求解．21cnjy.com
【详解】列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁
由列表可以看出，总共有12种可能出现的结果，其中恰好选中甲和乙的有2种结果，
所以：P(恰好选中甲和乙)=．
【点评】本题考查了利用树状图和列表法求概率，解题的关键是学会利用画树状图或列表法求出所有可能的结果，然后利用概率公式求概率．www.21-cn-jy.com
2．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．2·1·c·n·j·y
统计结果如表：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到有记号球的次数m 25 44 57 105 160 199
摸到有记号球的频率 0.25 0.22 0.19
（1）请你完成上表中数据，并估计摸到有记号球的概率是多少？
（2）估计盒中共有球多少个？没有记号球有多少个？
【答案】（1）0.21，0.20，0.20；0.20；（2）40个，32个
【分析】（1）根据表格中n和m的数值代入求解即可；
（2）根据题意得出得出摸到有记号球的概率是0.2，然后求出盒中球的总个数，即可求出没有记号球的个数．www-2-1-cnjy-com
【详解】解：（1）根据105÷500＝0.21，160÷800＝0.2，199÷1000≈0.2，
故摸到有记号球的概率是：0.2；
（2）根据图表可以得出摸到有记号球的概率是0.2，
设盒中共有x个球，可列方程：＝0.2，
解得：x＝40，
故没有记号球有40－8＝32个．
【点评】此题考查了利用频率估计概率问题，解题的关键是熟练掌握频率和概率的关系．
3．一个不透明的盒子中有三张卡片 ( http: / / www.21cnjy.com )，卡片上面分别标有字母a，b，c，每张卡片除字母不同外其他都相同，小玲先从盒子中随机抽出一张卡片，记下字母后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片并记下字母，用画树状图（或列表）的方法，求小玲两次抽出的卡片上的字母相同的概率．
【答案】
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽出的卡片上的字母相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的结果数为3种，
所有小玲两次抽出的卡片上的字母相同的概率=．
4．经过某路口的汽车只能 ( http: / / www.21cnjy.com )向左转或者向右转，如果两种可能性相同，现有两辆汽车经过这个路口，请用列举法求事件“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的概率．
【答案】
【分析】画树状图，共有4个等可能的结果，其中“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有4个等可能的结果，其中“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的结果有2个，
∴“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的概率为2÷4＝．
【点评】此题考查了列举法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解．
5．如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.
【详解】画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为 .
【点评】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．
6．小华有三张卡片，小明有 ( http: / / www.21cnjy.com )两张卡片，卡片除正面上的数字不同外其它都相同，卡片上的数字如图所示．小华从自己的三张卡片中随机抽取一张，之后小明也从自己的两张卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为7的概率．
【答案】
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字和为7的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有6种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字和为7的结果有3种，
抽取的两张卡片上的数字和为7的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
7．在一个不透明的盒子里 ( http: / / www.21cnjy.com )装有四张卡片，分别标有汉字“诚”，“实”，“守”，“信”，卡片除了汉字不同外其余都相同，先随机抽取一张卡片后不放回，然后再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽到卡片上的汉字组成“诚信”的概率．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次抽到卡片上的汉字组成“诚信”的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的卡片上的汉字组成“诚信”的结果为2种，
∴两次摸出的卡片上的汉字组成“诚信”的概率P＝；
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
8．第一盒中有1个白球、1个黑球，第 ( http: / / www.21cnjy.com )二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
【答案】
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．
【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
白 黑
白 白、白 黑、白
黑1 白、黑1 黑1、黑
黑2 白、黑2 黑、黑2
共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，
所以取出的2个球都是白球的概率为．
答：取出的2个球都是白球的概率为．
【点评】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．
9．某校9年2班有2名男生和3 ( http: / / www.21cnjy.com )名女生报名参加志愿者活动．若从报名者中随机选取2名学生参加志愿者活动，请你用列表法或画树状图求选取的两名学生是一男一女的概率21*cnjy*com
【答案】
【详解】试题分析：列举出所有情况，看选取的两名学生是一男一女的情况数占总情况数的多少即可．
试题解析：解： 画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
由树状图可得出：共有20种情况，由树状图可知共有20种等可能结果，其中选取的2名学生是一男一女的结果有12种，所以概率为 ．
点睛：本题考查了用列表与树状图求概率问题；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
10．小颖和小丽做“摸球”游 ( http: / / www.21cnjy.com )戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4，5，6，7，8的八个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏对双方是否公平？请说明理由．
【答案】个游戏对双方不公平，理由见详解．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字之积为奇数的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【详解】解：这个游戏对双方不公平．理由：列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 4 6 8 10 12 14 16
3 3 6 9 12 15 18 21 24
4 4 8 12 16 20 24 28 32
5 5 10 15 20 25 30 35 40
6 6 12 18 24 30 36 42 48
7 7 14 21 28 35 42 49 56
8 8 16 24 32 40 48 56 64
所有等可能的情况有64种，其中两次数字之积为奇数共16种，
故小颖获胜的概率为：16÷64＝，则小丽获胜的概率为：1-=，
∵＜，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．【来源：21·世纪·教育·网】
11．某校每学期都要对优秀的学生进行表 ( http: / / www.21cnjy.com )扬，而每班采取民主投票的方式进行选举，然后把名单报到学校．若每个班级平均分到3位三好生、4位模范生、5位成绩提高奖的名额，且各项均不能兼得、现在学校有30个班级，平均每班50人．21·世纪*教育网
（1）作为一名学生，你恰好能得到荣誉的机会有多大？
（2）作为一名学生，你恰好能当选三好生、模范生的机会有多大？
（3）在全校学生数、班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人数中，哪些是解决上面两个问题所需要的？【出处：21教育名师】
（4）你可以用哪些方法来模拟实验？
【答案】（1）；（2）、；（3）班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人数；（4）详见解析.
【分析】（1）直接用获奖总人数除以全班人数即可得到获得荣誉的机会
（2）直接用当选三好生、模范生的总人数除以学生人数即可
（3）由前两问可得后四项为必须数据
（4）利用不同颜色的球来模拟实验即可
【详解】（1）全班共有50名学生，共有12名学生获奖，所以恰好能得到荣誉的机会为；
（2）恰好能当选三好生的机会为，能当选模范生的机会为；
（3）班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人数；
（4）用50个小球，其中3个红球 ( http: / / www.21cnjy.com )、4个白球、5个黑球，其余均为黄球，把它们装进不透明的口袋中搅均，闭着眼从中摸出一个球，则摸到非黄球的机会就是得到荣誉的机会，摸到红球或白球的机会就是当选为三好生和模范生的机会．
【点评】考查可能性事件几率的计算，熟练掌握基础知识是集体关键
12．有四张正面分别写有 ( http: / / www.21cnjy.com )数字：20，15，10，5的卡片，背面完全相同，将卡片洗匀后背面朝上．放在桌面上小明先随机抽取一张，记下牌面上的数字（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张，记下牌面上的数字．如果卡片上的数字分别对应价值为20元，15元，10元，5元的四件奖品，请用列表或画树状图法求小明两次所获奖品总值不低于30元的概率？
【答案】列表见解析，
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中两次所获奖品总值不低于30元的有4种结果，
∴小明两次所获奖品总值不低于30元的概率为
【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握以上知识是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
13．随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成 ( http: / / www.21cnjy.com )为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．求两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率．
【答案】．
【分析】画出树状图，得出所有等可能情况数及两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况数，利用概率公式即可得答案．
【详解】用A、B、C分别表示“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式，画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
由树状图可知：共有9种等可能情况，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的情况有2种，
∴两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为．
【点评】本题考查简单的概率计算，正确画出树状图，熟练掌握概率公式是解题关键．
14．请你设计一个双人的摸球游戏，使游戏对双方都是公平的；并说明，在你设计的游戏中，游戏者获胜的概率是多少．
【答案】见解析
【分析】设计的摸球游戏小球的标号中奇数和偶 ( http: / / www.21cnjy.com )数相等即可，列表得出所有等可能的情况数有16种，其中小明、小华获胜的结果各有4种，再由概率公式求解即可．21教育网
【详解】解：小明和小亮一起玩一个 ( http: / / www.21cnjy.com )摸球游戏，他们手里各自拿一个不透明的袋子，每个袋子装有标号分别为2，3，4，5的4个小球，小球除标号外其他均相同．游戏规则是，小明和小亮从各自的袋子中随机摸出一个球，然后将摸出的小球标号相加，如果和为偶数，则小亮胜，如果和为奇数，则小明胜．
列表如下：
2 3 4 5
2
3
4
5
所有等可能的情况数有16种，其中小明、小亮获胜的结果各有4种，
则小明获胜的概率是，
小亮获胜的概率是，
，
这个游戏规则对双方是公平的，
即游戏者获胜的概率是．
【点评】本题考查了游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15．“航天知识竞赛”活动中， ( http: / / www.21cnjy.com )获得“小宇航员”称号的小明得到了A、B、C三枚纪念章．如图，A、B、C三枚纪念章正面上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”和“天宫一号”的图案．三枚纪念章除正面图案不同外，其余均相同，小明将这三枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取一枚，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的概率．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】树状图见解析，
【分析】通过树状图法分别列出等可能的情况，然后选择至少有一张印有“嫦娥五号”图案的情况，利用概率的求解公式进行求解即可得解．
【详解】根据题意，树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
两次抽到图案的等可能情况有9种，至少有一张印有“嫦娥五号”图案的情况有5种
则小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的概率为．
【点评】本题主要考查了通过树状图或列举法求简单概率的方法，熟练掌握概率的求解公式是解决本题的关键．
16．某封闭的纸箱中有红色、黄色的 ( http: / / www.21cnjy.com )玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目，小亮向纸箱中放入25个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为25％，摸到黄球的频率为40％，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目．
【答案】红球35个，白球40个.
【分析】先通过白球的数目和频率算出放入白球后纸箱中球的总数，然后根据黄球频率算出黄球数目，最后算出红球数目．
【详解】解：放入白球后纸箱中球总数为：
25÷25%=100（个）
黄球数目为：100×40%=40（个）
红球数目为：100-25-40=35（个）
答：原纸箱中红球35个，黄球40个.
【点评】本题关键是通过白球频率算出放入白球后纸盒中球的数目.
17．在5个不透明的袋子中分别装 ( http: / / www.21cnjy.com )有10个球，其中，1号袋中有10个红球，2号袋中有8红2白球，3号袋中有5红5白球，4号袋中有1红9白球，5号袋中有10个白球，从各个袋子中摸到白球的可能性一样吗？请将袋子的序号按摸到白球的可能性从小到大的顺序排列.
【答案】解：1号，2号，3号，4号，5号
【分析】利用概率公式分别求出各袋中摸到白球的概率即可得出答案．
【详解】从各个袋子中摸到白球的可能性不一样
1号袋中摸到白球的可能性为0，
2号袋中摸到白球的可能性为，
3号袋中摸到白球的可能性为，
4号袋中摸到白球的可能性为，
5号袋中摸到白球的可能性为1，
因为，
所以摸到白球的可能性从小到大的顺序为1号，2号，3号，4号，5号.
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．有3个完全相同的小球，把它们分别标 ( http: / / www.21cnjy.com )号为1，2，3，放在一个不透明的口袋中，从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再从口袋中随机摸出一个小球，记下标号．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球号码恰好都大于1的概率．
【答案】
【分析】先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出两次摸出的小球号码恰好都大于1的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
由图可得共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球号码恰好都大于1的有4种结果，
∴两次摸出的小球号码恰好都大于1的概率=．
【点评】本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键．
19．篮球课上，朱老师向学生详细地 ( http: / / www.21cnjy.com )讲解传球的要领时，叫甲、乙、丙、丁四位同学配合朱老师进行传球训练，朱老师把球传给甲同学后，让四位同学相互传球，其他人观看体会，当甲同学第一个传球时，求甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的概率
【答案】．
【分析】画出树状图，然后找到甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的结果数多即可得．
【详解】由题意可画如下的树状图：
( http: / / www.21cnjy.com )
由树状图可知，共有9种等可能性的结果，其中甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的结果有3种
甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的概率．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求 ( http: / / www.21cnjy.com )概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．小明抛硬币的过程(每枚硬币只有正面朝上和反面朝上两种情况)见下表，阅读并回答问题：
抛掷结果 10次 50次 500次 5000次
出现正面次数 3 24 258 2498
出现正面的频率 30% 48% 51.6% 49.96%
(1)从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30%，那么，小明抛完10次时，得到 次反面，反面出现的频率是 ；21·cn·jy·com
(2)当他抛完5000次时，反面出现的次数是 ，反面出现的频率是 ；
(3)通过上表我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于
，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于 .
【答案】(1) 7 ；70% (2) 2502； 50.04% (3) 抛掷总次数
【详解】分析：仔细审题，确定表格中的数据特点，根据表格获取数据求解.
详解：（1）从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30％，那么，小明抛完10次时，得到7次反面，反面出现的频率是=0.7=70%；
（2）当他抛完5000次时，反面出现的次数是5000-2498=2502，反面出现的频率是2502÷5000=0.5004=50.04%；
（3）通过上面我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于抛掷总次数，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于1.
点睛：此题主要考查了频率的相关知识，是基础题，考查从表中获取和处理数据的能力以及概率的基础知识.
21．某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．
（1）求取出纸币的总额是30元的概率；
（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）先列表得到所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；21教育名师原创作品
（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．
试题解析：（1）列表：
( http: / / www.21cnjy.com )
共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，所以取出纸币的总额是30元的概率=；
（2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．
考点：列表法与树状图法．
22．第一盒中有2个白球、1 ( http: / / www.21cnjy.com )个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．
【答案】.
【分析】先画出树状图得到所有等可能的情况数，然后找出符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.
【详解】根据题意画出树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等．其中1白1黄的有3种，
所以P(1黄1白)．
【点评】本题考查了列表法或树 ( http: / / www.21cnjy.com )状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，三张不透明的卡片， ( http: / / www.21cnjy.com )正面图案分别是“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇和陈薇的头像，依次记为A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后小华再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求小明和小华抽取的是同一位“人民英雄”的概率．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小明小华两次抽到图案都是同一位“人民英雄"的情况，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解法一：根据题意，画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
容易看出，有9种等可能结果，而小明小华两次抽到图案都是同一位“人民英雄"的有3种可能结果，所以P(小明和小华抽取的是同一位“人民英雄")==．
解法二：根据题意，列表如下：
小明结果小华 A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
从表中可以看出，有9种等可能结果，而小明小华两次抽到图案都是同一位“人民英雄"的有3种可能结果，所以P(小明和小华抽取的是同一位“人民英雄")==．【版权所有：21教育】
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．一盒乒乓球中共有6只，其中2只次品，4 ( http: / / www.21cnjy.com )只正品，正品和次品大小和形状完全相同，每次任取3只，出现了下列事件：（1）3只正品；（2）至少有一只次品；（3）3只次品；（4）至少有一只正品
指出这些事件分别是什么事件．
【答案】见解析
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】（1），（2）可能发生，也可能不发生，是随机事件．
（3）一定不会发生，是不可能事件．
（4）一定发生，是必然事件．
【点评】本题考查了必然事件、不可能 ( http: / / www.21cnjy.com )事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
25．小明购买双色球福利彩票时，两次分别购 ( http: / / www.21cnjy.com )买了1张和100张，均未获奖，于是他说：“购买1张和100张中奖的可能性相等．”小华说：“这两个事件都是不可能事件．”他们的说法对吗？请说明理由．
【答案】小明和小华的说法都错误，理由见解析.
【详解】试题分析：分别根据随机事件的意义分析得出即可．
试题解析：小明的说法错误，因为买10 ( http: / / www.21cnjy.com )0张中奖的可能性比买1张的中奖可能性大；小华的说法错误，这两个事件都是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件．
26．如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机 ( http: / / www.21cnjy.com )会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗 请你利用列举法说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】该游戏不公平.
【分析】首先根据题意画树状图或列出表格，然 ( http: / / www.21cnjy.com )后由树状图或表格即可求得所有等可能的结果与小力胜、小明胜的情况，继而求得小力胜与小明胜的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平．
【详解】根据题意列树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
由树状图可知，游戏结果有12中情况，其中两数之积为非负有7种，则两数之积为非负的概率为，两数之积为负的情况有5种，则两数之积为为负的概率为.≠，因此该游戏不公平
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
27．用力旋转如图所示的甲转盘和乙转盘的指针，如果指针停在蓝色区域就称为成功．
( http: / / www.21cnjy.com )
A同学说：“乙转盘大，相应的蓝色部分的面积也大，所以选乙转盘成功的机会比较大．”
B同学说：“转盘上只有两种颜色，指针不是停在红色上就是停在蓝色上，因此两个转盘成功的机会都是50％．”
你同意两人的说法吗 如果不同意，请你预言旋转两个转盘成功的机会有多大
【答案】不同意这两名学生的看法，它们的说法都不正确；25%.
【分析】首先求出转动甲、乙两个转盘指针停在蓝色区域的可能性；比较两个可能性的大小即可得出正确判断.
【详解】不同意这两名学生的看法，它们的说法都不正确．理由如下：
因为无论转动甲转盘还是转动乙转盘，蓝色区域所占面积均为总面积的，
所以，转动两个转盘成功的可能性都是，因此成功的机会都是25%.
【点评】此题考查几何概率，掌握可能性的求法，也就是求部分量占总量的几分之几是解题的关键.
28．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 200 500 1000 1500 2000
优等品频数m 188 471 946 1426 1898
优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；
（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．21*cnjy*com
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 问至少取出了多少个黑球？2-1-c-n-j-y
【答案】（1）如图见解析；（2）0.946；（3）①；②至少取出了9个黑球．
【分析】（1）根据统计表中的数据，先描出各点，然后折线连结即可；
（2）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（3）①用黄球的个数除以球的总个数即可；
②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）如图；
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（3）①∵袋中一共有球5+13+22=40个，其中有5个黄球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；
②设从袋中取出了x个黑球，由题意得
≥，解得x≥8，
故至少取出了9个黑球．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，绘制频数（率）分布折线图，难度较易，熟练掌握其知识点是解此题的关键.
29．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，
投篮次数（n） 50 100 150 209 250 300 350
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 175
投中频率（n/m） 0.56 0.60 0.49
（1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）；
（2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？
【答案】（1）0.52，0.50，0.51，0.58；（2）P≈0.5；
【详解】试题分析：（1）用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案；
（2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
试题解析：（1）根据题意得：
78÷150=0.52；
104÷209≈0.50；
152÷300≈0.51；
175÷350≈0.58；
填表如下：
投篮次数（n） 50 100 150 209 250 300 350
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 175
投中频率（n/m） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.49 0.51 0.58
故答案为0.52，0.50，0.51，0.58；
（2）由题意得：
投篮的总次数是50+100+150+209+250+300+350=1409（次），
投中的总次数是28+60+78+104+123+152+175=720（次），
则这名球员投篮的次数为1409次，投中的次数为720，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为0.5
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第25章：概率初步（简答题专练）
1．每年的4月23日为“世界读书日” ( http: / / www.21cnjy.com )，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的形象大使，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率．21教育网
2．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．21·cn·jy·com
统计结果如表：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到有记号球的次数m 25 44 57 105 160 199
摸到有记号球的频率 0.25 0.22 0.19
（1）请你完成上表中数据，并估计摸到有记号球的概率是多少？
（2）估计盒中共有球多少个？没有记号球有多少个？
3．一个不透明的盒子中有三 ( http: / / www.21cnjy.com )张卡片，卡片上面分别标有字母a，b，c，每张卡片除字母不同外其他都相同，小玲先从盒子中随机抽出一张卡片，记下字母后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片并记下字母，用画树状图（或列表）的方法，求小玲两次抽出的卡片上的字母相同的概率．21cnjy.com
4．经过某路口的汽车只能向左转或者向右转 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果两种可能性相同，现有两辆汽车经过这个路口，请用列举法求事件“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的概率．www.21-cn-jy.com
5．如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．【来源：21·世纪·教育·网】
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6．小华有三张卡片，小明 ( http: / / www.21cnjy.com )有两张卡片，卡片除正面上的数字不同外其它都相同，卡片上的数字如图所示．小华从自己的三张卡片中随机抽取一张，之后小明也从自己的两张卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为7的概率．2-1-c-n-j-y
7．在一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别标 ( http: / / www.21cnjy.com )有汉字“诚”，“实”，“守”，“信”，卡片除了汉字不同外其余都相同，先随机抽取一张卡片后不放回，然后再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽到卡片上的汉字组成“诚信”的概率．21*cnjy*com
8．第一盒中有1个白球、1个黑 ( http: / / www.21cnjy.com )球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
9．某校9年2班有2名男生和3名女 ( http: / / www.21cnjy.com )生报名参加志愿者活动．若从报名者中随机选取2名学生参加志愿者活动，请你用列表法或画树状图求选取的两名学生是一男一女的概率【版权所有：21教育】
10．小颖和小丽做“摸球” ( http: / / www.21cnjy.com )游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为：1，2，3，4，5，6，7，8的八个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之积为奇数，则小颖胜；两次数字之积为偶数，则小丽胜．试分析这个游戏对双方是否公平？请说明理由．
11．某校每学期都要对优秀的学生进行 ( http: / / www.21cnjy.com )表扬，而每班采取民主投票的方式进行选举，然后把名单报到学校．若每个班级平均分到3位三好生、4位模范生、5位成绩提高奖的名额，且各项均不能兼得、现在学校有30个班级，平均每班50人．21教育名师原创作品
（1）作为一名学生，你恰好能得到荣誉的机会有多大？
（2）作为一名学生，你恰好能当选三好生、模范生的机会有多大？
（3）在全校学生数、班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人数中，哪些是解决上面两个问题所需要的？21·世纪*教育网
（4）你可以用哪些方法来模拟实验？
12．有四张正面分别写有数 ( http: / / www.21cnjy.com )字：20，15，10，5的卡片，背面完全相同，将卡片洗匀后背面朝上．放在桌面上小明先随机抽取一张，记下牌面上的数字（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张，记下牌面上的数字．如果卡片上的数字分别对应价值为20元，15元，10元，5元的四件奖品，请用列表或画树状图法求小明两次所获奖品总值不低于30元的概率？21*cnjy*com
13．随着信息技术的迅猛发 ( http: / / www.21cnjy.com )展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．求两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率．
14．请你设计一个双人的摸球游戏，使游戏对双方都是公平的；并说明，在你设计的游戏中，游戏者获胜的概率是多少．
15．“航天知识竞赛”活动中，获得“小 ( http: / / www.21cnjy.com )宇航员”称号的小明得到了A、B、C三枚纪念章．如图，A、B、C三枚纪念章正面上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”和“天宫一号”的图案．三枚纪念章除正面图案不同外，其余均相同，小明将这三枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取一枚，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的概率．
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16．某封闭的纸箱中有红色、 ( http: / / www.21cnjy.com )黄色的玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目，小亮向纸箱中放入25个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为25％，摸到黄球的频率为40％，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目．
17．在5个不透明的袋子中分别装有 ( http: / / www.21cnjy.com )10个球，其中，1号袋中有10个红球，2号袋中有8红2白球，3号袋中有5红5白球，4号袋中有1红9白球，5号袋中有10个白球，从各个袋子中摸到白球的可能性一样吗？请将袋子的序号按摸到白球的可能性从小到大的顺序排列.
18．有3个完全相同的小球，把它们分别标号 ( http: / / www.21cnjy.com )为1，2，3，放在一个不透明的口袋中，从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再从口袋中随机摸出一个小球，记下标号．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球号码恰好都大于1的概率．
19．篮球课上，朱老师向学生详细 ( http: / / www.21cnjy.com )地讲解传球的要领时，叫甲、乙、丙、丁四位同学配合朱老师进行传球训练，朱老师把球传给甲同学后，让四位同学相互传球，其他人观看体会，当甲同学第一个传球时，求甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的概率
20．小明抛硬币的过程(每枚硬币只有正面朝上和反面朝上两种情况)见下表，阅读并回答问题：
抛掷结果 10次 50次 500次 5000次
出现正面次数 3 24 258 2498
出现正面的频率 30% 48% 51.6% 49.96%
(1)从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30%，那么，小明抛完10次时，得到 次反面，反面出现的频率是 ；2·1·c·n·j·y
(2)当他抛完5000次时，反面出现的次数是 ，反面出现的频率是 ；
(3)通过上表我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于
，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于 .
21．某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．
（1）求取出纸币的总额是30元的概率；
（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
22．第一盒中有2个白球、1个黄球 ( http: / / www.21cnjy.com )，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．www-2-1-cnjy-com
23．如图，三张不透明的卡片，正面图案 ( http: / / www.21cnjy.com )分别是“人民英雄”国家荣誉称号获得者张伯礼、张定宇和陈薇的头像，依次记为A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后小华再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求小明和小华抽取的是同一位“人民英雄”的概率．【来源：21cnj*y.co*m】
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24．一盒乒乓球中共有6只， ( http: / / www.21cnjy.com )其中2只次品，4只正品，正品和次品大小和形状完全相同，每次任取3只，出现了下列事件：（1）3只正品；（2）至少有一只次品；（3）3只次品；（4）至少有一只正品
指出这些事件分别是什么事件．
25．小明购买双色球福利彩票时，两次 ( http: / / www.21cnjy.com )分别购买了1张和100张，均未获奖，于是他说：“购买1张和100张中奖的可能性相等．”小华说：“这两个事件都是不可能事件．”他们的说法对吗？请说明理由．
26．如图，两个转盘中指针落在每个数字上的 ( http: / / www.21cnjy.com )机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗 请你利用列举法说明理由．
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27．用力旋转如图所示的甲转盘和乙转盘的指针，如果指针停在蓝色区域就称为成功．
( http: / / www.21cnjy.com )
A同学说：“乙转盘大，相应的蓝色部分的面积也大，所以选乙转盘成功的机会比较大．”
B同学说：“转盘上只有两种颜色，指针不是停在红色上就是停在蓝色上，因此两个转盘成功的机会都是50％．”
你同意两人的说法吗 如果不同意，请你预言旋转两个转盘成功的机会有多大
28．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 200 500 1000 1500 2000
优等品频数m 188 471 946 1426 1898
优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；
（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．21世纪教育网版权所有
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 问至少取出了多少个黑球？【出处：21教育名师】
29．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，
投篮次数（n） 50 100 150 209 250 300 350
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 175
投中频率（n/m） 0.56 0.60 0.49
（1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）；
（2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？
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