一元二次方程

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一.复习
1.什么叫方程？我们学过那些方程？
2.什么叫一元一次方程？
3.什么叫分式方程？
学习目标
1.理解一元二次方程的概念，
根据一元二 次方程的一般
式，确定各项系数
2.灵活应用一元二次方程概念
解决有关问题
3.理解一元二次方程解的概
念，并能解决相关问题

问题(1) 要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米
A
C
B
雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
分析:
即
设雕像下部高xm,于是得方程
整理得
x
2-x

问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形
100㎝
50㎝
x
3600
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .
(100-2x)cm
(50-2x)cm
根据方盒的底面积为3600cm2,得
即

问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
分析:
全部比赛共
4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共 场.
即
(x-1)
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
析：设这两年的年平均增长率为x，
去年年底的图书数是5万册，
则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；
明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.
可列得方程
5（1＋x）2 = 7.2,
整理可得
5x2＋10x－2.2=0.　　　（2）
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
5x2＋10x－2.2=0.
一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程（必须满足三个特征）
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
想一想
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项

例题讲解
[例1]判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
3
5
2
3
-
=
+
y
x
练习
1． 下列方程中哪些是一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
下列方程那些是一元二次方程？
x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
3. 4. 6x2=x
5 . 2x2=5y 6. -x2=0
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点
不同点
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2

例题讲解
[例2] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的
例题讲解
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但习惯上都把二次项地系数化为正整数。
（2）一元二次方程地二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的。
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符号
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1）
2）（x-2）(x+3)=8
3）
(4)2x(x-1)=3(x-5)-4
(5)
(6)
例题讲解
例题讲解
[例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
3．方程（2a—4）x2 —2bx+a=0,
在什么条件下此方程为一元二次方程？
在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
当 2a－4≠０，即a ≠2 时是一元二次方程；
.选择题
1.方程（mx－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程则m的值为＿＿＿
A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是
A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0
C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
2.当m为何值时,方程
是关于x的一元二次方程.
D

3. 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
⑴
⑵
⑶
（4）2x(x-1)=3(x-5)-4
1.关于x的方程
在什么条件下是一元二次方程？
在什么条件下是一元一次方程？
随堂练习三
2. 关于x的方程（2m2＋m－3)xm＋1＋5x＝13 可能是一元二次方程吗？
3.若方程kx3－(x－1)2＝3(k－2)x3＋1是关于x的一元二次方程，则k＝＿＿＿
4.m为何值关于x的方程(3a＋1)x2＋6ax－3=0是一元 二次方程
5.K为何值方程（k2－9)x2＋(k－5)x＋3=0不是关于x的一元二次方程
例4 已知关于x的一元二次方程
(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
求m。
分析：一根为2即x＝2,只需把x＝2代入原方程。
一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根
思考:
你能否说出下列方程的解 （根）
1)
2)
3)
随堂练习
1.当m＝-----时，方程x2＋(m＋1)x＋m＋1＝０
　有解x＝0
2.下面哪些数是方程 的根
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.你能写出方程 的根吗

A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
B
-1
1
2
x 3.23 3.24 3.25 3.26
-0.06 -0.02 0.03 0.07
A 3＜x ＜3.23
C 3.24＜x ＜3.25
D 3.25＜x ＜3.26
B 3.23＜x ＜3.24
C
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。